江苏苏州市2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷1

**基本信息** 以春晚魔术改良、诚信用水等真实情境为载体，覆盖空间向量、导数、概率统计等核心知识，设置基础巩固到创新应用的梯度题型，考查数学抽象、运算推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|空间向量运算、导数定义、概率公式|结合散点图分析线性回归，考查数据观念| |填空题|3题15分|空间梯形判定、相关系数计算|通过构造函数比较大小，体现逻辑推理| |解答题|5题77分|正四棱锥二面角、二项式定理、分布列与期望|融入社会主义核心价值观情境，综合考查数学建模与运算求解能力|

2026年苏州市高二第二学期期末模拟试卷1 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设点、、，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B．设，若，，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 6．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，定义集合．若，则（   ） A．在上单调递减 B．是在上的最小值 C．存在，使得0是的极大值点 D．存在，存在使得 8．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（   ） A．x与y负相关 B． C．回归直线过点 D．时的残差为0.05 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（   ） A． B． C． D． 11．设函数，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 14．已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．如图，在正四棱锥中，，为与的交点，点E，F分别为棱，的中点，且.    (1)求的长度； (2)求二面角的正弦值； (3)若，且A，E，F，G四点共面，求的值. 16．已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： (1)a的值; (2)展开式中的系数（用数字作答）： (3)从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 17．春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 18．“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 19．已知. (1)当在处切线的斜率为，求此切线的方程； (2)在（1）的前提下，求的极值； (3)若有个不同零点，求的取值范围． 答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设点、、，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，可得出、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可得出的值. 【详解】由题意可得，所以，， 所以. 故选：C. 2．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 3．若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 4．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 5．下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B．设，若，，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】D 【分析】A选项，根据相关系数的定义作出判断；B选项，利用二项分布的期望和方差公式得到方程，求出答案；C选项，根据样本中心点的定义作出判断；D选项，由超几何分布和二项分布的定义得到D错误. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，A正确； 对于B，，解得，，故B正确； 对于C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确； 对于D，由于是不放回地随机摸出个球作为样本， 所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，且，故D错误. 故选：D 6．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 7．已知函数的定义域为，定义集合．若，则（   ） A．在上单调递减 B．是在上的最小值 C．存在，使得0是的极大值点 D．存在，存在使得 【答案】D 【分析】对于ABD：举特例，结合题意分析判断即可；对于C：根据题意利用反证法结合极值点的定义分析判断. 【详解】对于选项ABD：例如，其图象如图所示： 当时，对任意，，均有，即； 当时，对任意，，均有，即； 当时，因为在内单调递减， 则存在，对，均有，即； 当，对任意，均存在，使得，即； 综上所述：符合题意. 显然在上不是单调递减，故A错误； 不是在上的最小值，故B错误； 若，则，故D正确； 对于选项C：因为，则存在，对任意，均有， 假设0是的极大值点，则存在，对任意，均有， 两者相矛盾，假设不成立，故C错误； 故选：D. 8．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（   ） A．x与y负相关 B． C．回归直线过点 D．时的残差为0.05 【答案】C 【分析】由经验回归方程系数为可对A判断求解；分别求出，然后求出，从而可对B、C判断求解；利用残差知识可对D求解判断. 【详解】A：由经验回归方程为，线性系数为，则与正相关，故A错误； B、C：由，所以，所以回归直线过点，故C正确； 又，解得，故B错误； D：时，，则残差为：，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【详解】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD 10．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：，故A正确； 由，，而，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确； 故选：ACD 11．设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求导研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可判断AB，举反例判断C，按照、和分类讨论的符号即可判断D. 【详解】设，则， 令，即，解得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 因为，所以，故A正确； 因为，所以，又， 且，所以，所以，故B正确； 当时，，故选项C错误； ，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 【答案】/1.875 【分析】根据参考数据及公式先利用相关系数求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 由， 解得， 所以. 故答案为： 14．已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】构建函数，利用导数分析的单调性，再确定的大小关系，结合单调性即可得解.. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，其定义域为，求导得， 当时，；当时，则，函数在上递增，在上递减， ， ， 则， 于是，即，而都小于1， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．如图，在正四棱锥中，，为与的交点，点E，F分别为棱，的中点，且.    (1)求的长度； (2)求二面角的正弦值； (3)若，且A，E，F，G四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，根据两向量垂直数量积为，得到的值； （2）分别计算平面和的法向量，利用向量法求解即可； （3）求出平面的一个法向量，利用A，E，F，G四点共面，得出，即可求解. 【详解】（1）在正四棱锥中，以O为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.    因为，则，，，. 设，则，. 所以，. 因为，所以，解得. 所以. （2）由（1）知，，， ，. 设平面的法向量为. 由得 则，取，则， 即平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 由得 取，则，， 即平面的一个法向量为. 设二面角的大小为，则， 所以， 即二面角的正弦值为. （3）由， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 因为，， 由得 则，取，则，     即平面的一个法向量为. 因为A，E，F，G四点共面，则， 所以， 解得. 16．已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： (1)a的值; (2)展开式中的系数（用数字作答）： (3)从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）写出二项展开式的通项并令的指数为0，利用常数项为即可求得； （2）利用通项公式，令，得，即可得解； （3）由通项可知展开式中有理项共有6项，无理项有5项，再利用分类分步计数原理即可求得结果. 【详解】（1）根据展开式的通项可得， 令，解得， 即时，常数项， 解得； （2）由（1）知， 令，解得， 故展开式中的系数为； （3）令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项， 取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种. 17．春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先计算出左右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案； （2）计算出左右手所取两球颜色相同的概率，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 故两只手中所取的球颜色不同的概率为； （2）的可能取值为0,1,2， 左手所取两球颜色相同的概率为， 右手所取两球颜色相同的概率为， 故， ， ， 分布列如下： 0 1 2 期望为. 18．“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【详解】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 19．已知. (1)当在处切线的斜率为，求此切线的方程； (2)在（1）的前提下，求的极值； (3)若有个不同零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 (3) 【分析】（1）由可求出的值，可得出函数的解析式，求出的值，再利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，结合函数极值的定义可得结果； （3）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得出函数的零点个数，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，所以，解得， 所以，所以， 故所求切线方程为，即. （2）当时，，令，解得，列表得： ＋ 单调递减 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. （3）因为，则， ①当时，由得，此时函数只有一个零点，不合乎题意； ②当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 函数的极小值为，且， 当时，由零点存在定理可知，使得， 当时，，，所以， 所以， 取，所以，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 此时函数有两个零点； ③当时，，令得或. （i）当时，即时，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数的极大值为， 故当时，， 由于函数在上单调递增，故函数在上至多一个零点， 此时函数在上至多一个零点，不合乎题意； （ii）当时，即当时，对任意的，恒成立， 此时函数在上至多一个零点，不合乎题意； （iii）当时，即当时，列表如下 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当且时，， 由于函数在上单调递增，故函数在上至多一个零点， 所以函数在上至多一个零点. 综上所述，实数的取值范围是. 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $