26.3第一课时：二次函数与一元二次方程学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心知识点包括二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的个数关系，以及利用图象求方程近似解。课堂导入通过知识回顾一次函数与一元一次方程的联系，再结合思考环节引导学生观察具体二次函数图象与x轴的交点情况，搭建起从一次函数到二次函数的知识支架。 资料特色在于以小球飞行等实例渗透模型意识，通过归纳二次函数与方程根的关系培养推理能力，利用图象操作和近似求解过程提升几何直观。分层练习和课堂检测设计贴合学生认知，帮助巩固知识，促进学生用数学眼光观察、用数学思维思考，有效落实核心素养。

人教版九年级数学上册第26章二次函数 26.3第一课时：二次函数与一元二次方程学案 一、素养目标 1.知道二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；； 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解； 3.通过二次函数与一元二次方程关系学习，培养模型意识、推理能力，提升数学抽象等核心素养 . 二、教学重点、难点 重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 三、教学过程 知识回顾 1.关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为x＝1，则当x＝____时，一次函数y＝kx＋b的函数值为0. 2.一次函数y＝kx＋b的图象如右下图所示，则关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为______. 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如 果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标 时，函数值是多少？ (1) y＝x2＋x－2； (2) y＝x2－8x＋16； (3) y＝x2－x＋1. 由此，你能说说方程x2＋x－2＝0，x2－8x＋16＝0， x2－x＋1＝0的根的情况吗？ (1)抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此可知，方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根－2，1. (2)抛物线y＝x2－8x＋16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4.当x＝4时，函数值是0.由此可知，方程x2－8x＋16＝0有两个相等的实数根4. (3)抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点. 由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根. ( 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与 x 轴的公共点的情况. )x2＋x－2＝0，x2－8x＋16＝0，x2－x＋1＝0. y＝x2＋x－2，y＝x2－8x＋16，y＝x2－x＋1. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么相应的二次 函数的图象与x轴有两个公共点；(x2＋x－2＝0，Δ＞0) 如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么相应的二次函 数的图象与x轴有一个公共点；(x2－8x＋16＝0，Δ＝0) 如果一元二次方程没有实数根，那么相应的二次函数的图象 与x轴没有公共点. (x2－x＋1＝0，Δ＜0) 归纳 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.分别对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根． 例1如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h＝20t－5t2. 小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h＝20t－5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20＝20t－5t2的根的问题. 解：当h＝20时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 20＝20t－5t2 即 t2－4t＋4＝0 解方程，得 t1＝t2＝2 这说明，当自变量t＝2时，二次函数h＝20t－5t2的函数值为20，即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 练习 关于例1，回答下列问题：(h＝20t－5t2) (1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？ (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ 例2 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的根的近似值 (结果保留小数点后一位). 解：画出函数y＝x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点 的横坐标大约是－0.7，2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根 为x1≈－0.7，x2≈2.7. 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的 相应方程的根，一般是近似的. 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 点(2，－2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0，点(3，1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0. 因为抛物线y＝x2－2x－2是一条连续不断的曲线，所以抛 物线y＝x2－2x－2在2＜x＜3这一段经过x轴. 也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0， 即方程x2－2x－2＝0在2，3之间有根. 通过取平均数的方法不断缩小根的范围. 当x＝＝2.5时，y＝－0.75＜0. 所以这个根在2.5，3之间. 当x＝＝2.75时，y＝0.0625＞0. 所以这个根在2.5，2.75之间. 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间…… 可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875－2.75|＝0.0625＜0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值. 练习 利用函数图象求下列方程根的近似值(结果保留小数点后一位)： (1) x2－3x＋1＝0 (2) －x2－x＋1＝0 答案：略 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课围绕二次函数与一元二次方程的关联展开教学，着重渗透数形结合思想，引导学生理解函数图象与x轴交点横坐标对应方程的根。课堂上多数学生能掌握基础对应关系，但部分学生难以结合图象判断方程根的个数，知识转化运用能力偏弱。同时课堂练习梯度设置不够合理，对学困生的针对性点拨不足。后续教学会增加图象实操观察题型，精简讲解时长，分层设计习题，强化知识互通解题训练，帮助学生吃透重难点。 6、 课堂检测 1、如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D． （1）求点D的坐标及直线AD的解析式； （2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当△CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值； 参考答案： 1、解：（1） (2)对称轴,， 令 ,设, ,当时，最大，为 此时，直线BC解析式可求得 2、解：（1）令x＝0，则y＝2 ∴C（0，2） ∵对称轴为x＝＝，且C，D关于对称轴对称 ∴D（，2） 令y＝0，则0＝﹣x2+x+2 ∴x1＝﹣，x2＝2 ∴A（﹣，0），B（2，0） 设直线AD解析式y＝kx+b 解得：k＝1，b＝ ∴直线AD解析式y＝x+ （2）如图1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT 设M（m，2），则T（m，m+） ∵A（﹣，0），D（，2） ∴AH＝DH ∴∠DAH＝∠ADH＝45°＝∠CDA ∵MT∥DH，KN∥CD ∴∠KNT＝∠KTN＝45°＝∠CDA ∴KT＝KN，MT＝MD ∵MN∥BD， ∴∠MND＝∠ADB且∠CDA＝∠DAB ∴△ADB∽△MND ∴ ∴ND＝MD ∵DT＝MD ∴NT＝MD ∵KN∥CD ∴＝ ∴KT＝MT ∴KM＝MT＝（﹣m） ∴S△CMN＝CM×KM＝m×（﹣m）＝﹣m2+m ∴当m＝时，S△CMN最大值． ∴M（，2） 如图2 作M关于y轴对称点M1（﹣，2），作O关于BD的对称点O1（，） ∵MP+PQ+OQ＝M1P+PQ+O1Q ∴M1，P，Q，O1共线时，MP+PQ+OQ值最小 ∴最小值为M1Q1＝ 学科网（北京）股份有限公司 $