2025-2026学年八年级下册期末复习尖兵必做：四边形压轴题

**基本信息** 聚焦四边形综合应用，以问题链串联性质探究、动态变换与实际应用，覆盖核心考点与思想方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质基础|4题（如正方形中点计算、菱形角度证明）|静态几何证明与计算|从特殊四边形性质出发，结合全等、勾股定理构建推理链条| |动态变换|8题（折叠、动点、旋转问题）|含翻折/旋转的动态探究|以轴对称/旋转不变性为核心，关联函数思想与分类讨论| |实践应用|8题（面积最值、路径优化等）|跨情境综合题|从几何模型抽象实际问题，体现模型意识与应用能力|

2025—2026学年人教版八年级下册期末复习尖兵必做： 四边形压轴题 1．（25-26八年级下·陕西延安·期中）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用为万元 【分析】（1）在正方形中，，，得．在中，由勾股定理得．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）过作于，证得，．由角平分线和等腰三角形性质推出，为等腰直角三角形，故，再证为等腰直角三角形，得，则可得到； （3）当面积最大时，为等腰直角三角形，此时与重合．将总费用转化为，构造等腰直角三角形，当T，N，M共线时费用最小，计算得最低总费用为万元． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ，， ， ，， 在中，， 为的中点， ； （2）证明：如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 即； （3）解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， 由（2）同理得，， 由题意得，四边形是正方形，且边长为， ∴， ， 是直角三角形， 将沿翻折得， 是直角三角形， 是的中点， ， 当时，的面积最大， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值，则点与重合， ∴取得最小值， ∴， ∵修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元， ∴修建水渠和小路的最低总费用为： （万元）． 【点睛】本题核心是利用直角三角形斜边中线、全等三角形和等腰直角三角形的性质，结合几何最值思想，将代数费用问题转化为几何线段和的最小值问题求解． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）阅读材料 对于直角三角形我们有如下结论：直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在中，，若，则． 请根据以上材料，解决下列问题： 如图2，在菱形中，，是线段上的动点（点不与点重合），在的右上方作菱形，且，连接，． (1)当点与点重合时，________（度）． (2)当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由． (3)交于点，当点是的中点时，求证：点是的中点． 【答案】(1)； (2)解：不变，理由如下： 在上截取，则． ， ． ． 又，， ． 在菱形中，， ， ． 在菱形中，，， ， ． (3)证明：由（2）可得，，，，，， 延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为． ． 是的中点， 设． 在中，， ， 由勾股定理可得：． ， ． ， ． ， 在中， 由勾股定理可得：， ，即是的中点． 取的中点，连接， 则， ，且在上， 点与点重合， 点是的中点． 【分析】（1）根据菱形的性质，求出的度数，利用角的和差关系即可得出结果； （2）在上截取，证明，得到，再利用角的和差关系进行求解即可； （3）延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，根据菱形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，推出为的中点，取的中点，连接，中位线定理得到，又，得到重合，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）【问题背景】如图，正方形的边长为10，，分别为边，上的点． (1)【问题发现】如图1，若，则与的数量关系为__________． (2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，若是的中点，连接，求证：． (3)【问题拓展】如图3，若，，点在边上，且满足，请直接写出的长． 【答案】(1)（或相等） (2)证明：如图1，延长，，交于点． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ∴点是线段的中点， 又， ． (3)的长为8或2 【分析】（1）由正方形的性质易得，则有； （2），延长，，交于点．由正方形的性质可证明，再证明，则可得点是线段的中点，进而可证明结论成立； （3）分两种情况：当点靠近点时；当点靠近点时，利用平行四边形的判定与性质及全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴（或相等）． （2）证明：略； （3）解：的长为8或2． ①如图2，当点靠近点时，过点作，交于点． ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ． ，，， ， ， ， ； ②如图3，当点靠近点时，过点作．同理，可得． 综上所述，的长为8或2． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，再展开压平，连接． ①求证：四边形是菱形； ②求折痕的长； (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，求折痕的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①先说明，再根据折叠的性质得，，，进而说明，可得，则此题可解； ②连接，设cm，则cm，，再根据勾股定理求出，以及，然后根据可得答案； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，设，则，可得，再根据勾股定理求出，即可得，，然后根据“角角边”证明，进而求出，接下来将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，可得，再说明四边形为矩形，即可得出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）①证明∵四边形是矩形， ∴∥， ∴． ∵将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：连接 设cm，则cm，， ∵四边形是矩形， ∴cm，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于点，过点作于点. 设，则， ∵点为的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴∥，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵∥， ∴，， 在和中 ∴， ∴，， ∴． ∵将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或 (3)的值为或 (4)的值为5或或 【分析】（1）如图所示，过点作于点G，则，得到四边形是矩形，可得，在中由勾股定理即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当时；当时；结合矩形的性质列方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当时，，，；当时，，；由此列式求解即可； （4）根据题意，分类讨论：当四边形是菱形；四边形是菱形时；四边形是菱形时；结合菱形的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图所示，过点作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点P的运动时间为秒， ，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动， ∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒， ∴当点Q从所用时间和为6秒，此时点P，D重合， 设点的运动时间为秒， 当时，，，则， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 当时，，，， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 综上所示，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，，若时， ∴当时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示，则四边形是矩形，， 同理可得，，则， ∴， 又， ∴， 解得，此时点B，Q重合； 综上所示，的值为或； （4）解：点是边上的一点，且， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，设交于点F， 则，， 同理可得，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所示，的值为5或或． 6．（25-26八年级下·河南漯河·期中）综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)是等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，取中点F，连接并延长，使得，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，过点F作的垂线交于点G，连接．求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，为的中点， ∵F是的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； (2) 【分析】（1）由菱形的性质得，，，再证明是的中位线，得，，则，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据三角形中位线定理得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，则可求，根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，正方形中，点P是对角线上一点，连接，过点P作的垂线，交于点E． (1)如图1，过点P作，垂足为M．求证：M为的中点； (2)如图2，延长交于点F，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若F为的中点，求的值． 【答案】(1)证明：如图，过点P作于点N，连接， 根据正方形的对称性可知，， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴M为的中点． (2)（Ⅰ）证明：由（1）得， 又∵， ∴， 如图，将绕点A顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． （Ⅱ） 【分析】（1）过点P作于点N，连接，根据正方形对称性得；通过证四边形是正方形，得，再证得，进而推得，结合由等腰三角形三线合一证即可求证； （2）（Ⅰ）由（1）得，结合推得，将绕点A顺时针旋转到，根据旋转后全等三角形的性质得，进而推得，再证得，从而得； （Ⅱ）设正方形的边长为，，表示出、、的长度，用勾股定理列方程求解，进而得的值． 【详解】（1）略 （2）（Ⅰ）略 （Ⅱ）解：设正方形的边长为，，则， 由（Ⅰ）知， ∴， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴． 【点睛】第（2）第（Ⅰ）小问考查了“半角模型”，作旋转是解题的关键． 9．（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和等腰直角三角形．连接、． (1)点P为线段的中点，连接 ① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系； ② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明； (2)将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）． 【答案】(1)① ； ② 证明：如图，过点作交的延长线于点，连接， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵点P为线段的中点， ∴ ∴，即 (2) 【分析】（1）①证明，得出，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得；延长交于点，设，则，得出，即可证明； ②过点作交的延长线于点，连接，证明得出，进而证明是的中位线，可得，根据平行线的性质，进而可得结论； （2）连接，过点作于点，证明得出，，进而证明，得出，，设，,，进而根据勾股定理表示出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点P为线段的中点， ∴ ∴； ∵ ∴ 如图，延长交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴ 又∵等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴， 设，,，则 在中， ，即 在中，，即 ∴ ∴ 10．（2026·山西吕梁·二模）综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点． 猜想证明： (1)如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考： (2)如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (3)隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)的长为，或 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，进而得出，根据矩形的性质，即可求解； （2）由（1）可知，，，进而证明得出四边形是平行四边形，根据折叠的性质可得，即可得证； （3）设，分类讨论，分别画出图形，当时，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 理由如下：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）四边形是菱形 证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （3）解：设， 如图，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则， ∴， 在中， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 如图，当重合时，，解得：，即 如图，当是等腰梯形时，如图 ∵，则， ∴， 在中， ∴ 解得： 综上所述，的长为，或 11．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 12．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)③④ (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求． （2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算． （3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系． （4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算． 【详解】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形． （2）解： ； （3）解：数量关系：，证明如下： 设对角线、交于点， 由勾股定理： ，， ∴； 同理，，， ∴， ∴． （4）解： ∵，分别是，的中点， ∴，，，且． 又∵，四边形是垂美四边形， 由（3）的结论得： ， 代入，，，得 ， 整理得， 解得（边长为正，舍去负根）． 13．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，已知矩形，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒． (1)若E，F不重合，G，H分别在，上，且，．求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形； (2)若G、H分别是、的中点，试问当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形； (3)若G、H分别是折线，上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ，，，， ． ，， ， 由题意得， ， ， ，， ， ∴以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形； (2)当t为4.5秒或0.5秒时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，，再证明，得到，，进而得出，即可由平行四边形的判定定理得出结论； （2）连接，当时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形，分两种情况：①当点E，F相遇前，则，②当点E，F相遇后，则，分别求出t值即可； （3）连接、．先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，得出，然后设，则，由勾股定理得，即，解得，则，从而求得，即可由求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， 在中，． 由（1）可知以E、G、F、H为顶点的四边形是平行四边形． 、H分别是、的中点， ， ∴当时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形， 分两种情况：①当点E，F相遇前，则， 解得； ②当点E，F相遇后，则， 解得， 即当t为4.5秒或0.5秒时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形． （3）解：如图所示，连接、． ∵四边形是菱形， ，，． ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， ， 设，则， 由勾股定理得， 即，解得， ， ， ，即t为秒时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形． 14．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）解：①， ， 四边形是正方形， 轴， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）证明：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 15．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，的直角顶点在轴正半轴上，为坐标原点，面积为，且， (1)求的长； (2)为轴正半轴上的动点，如图，． ①若时，直线与轴交于点，与轴交于点，求点的坐标； ②若，时，如图2，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据的面积公式列出等式，再将代入等式，解方程求出的长度，进而得到的长度，最后利用勾股定理即可计算出的长； （2）①过点作轴，延长与交于点，先证四边形是矩形，再证，设，用含的式子表示出和，证是等腰直角三角形，进而证是等腰直角三角形，求出的长度，结合的位置即可确定其坐标； ②连接，，交于点，过点作轴于点，先证是等边三角形，得垂直平分，求出、、及的长，再证是等腰直角三角形，求出和的长度，结合点在第一象限即可确定其坐标． 【详解】（1）解：∵面积为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作轴，延长与交于点， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在轴负半轴， ∴； ②如图，连接，，交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，则是的中点， ∵在中，， 又是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，轴 ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵点在第一象限， ∴． 16．（25-26八年级下·上海崇明·期中）学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析；8 【分析】（1）根据“可等垂四边形”的定义得到是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形和矩形的性质，推导线段和的数量关系； （2）利用“一线三垂直”模型证明，根据全等三角形的性质从而得到线段间的和差关系； 结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理先求出的长度，再利用等腰三角形的性质求出． 【详解】（1）解： 证明：如图（1），过点作于点，则， ∵矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即． （2） 证明：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】在第（2）问的第小问利用“一线三垂直”模型证明三角形全等是解题的关键． 17．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，点O为矩形的对称中心，．点E、F、G分别在边上．点E从点B出发向点A运动，速度为，点F从点B出发向点C运动，速度为，点G从点C出发向点D运动，速度为．当点E到达点A（即点E与点A重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． (1)四边形 （填“能”或“不能”）是正方形； (2)若M、N分别是的中点，连接，问：当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不能 (2) (3)存在实数t，使得点与点O重合；t 【分析】（1）根据得出结论； （2）连接，证明平行四边形是矩形，则，当时，四边形是平行四边形，根据列方程求出结论； （3）连接交于点H，连接，求出，当点与点O重合时，，最后根据列方程求出结论； 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴四边形不能是正方形； （2）解：如图1，连接， 在矩形中， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 此时，即， 解得； （3）解：存在实数t，使得点与点O重合；理由如下： 如图2，连接交于点H，连接， ∵点O为矩形的对称中心，． ∴， ∴， ∵关于直线的对称图形是， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 当点与点O重合时，， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 18．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 即； （3）解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即． 19．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）【问题提出】 (1)如图1，是正方形的对角线，点E是上一点，连接、．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，菱形的对角线、相交于点O，点E是延长线上一点，连接、，，若，，求四边形的面积； 【问题解决】 (3)如图3，在菱形拍摄场地中，．为保障场地安全，安装监控覆盖设备：监控点E在对角线的延长线上，监控点H在边的延长线上，直线与边、分别交于点F、G，调试后测得．试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明即可； （2）得到、是等腰直角三角形，则，那么，则，再由求解即可； （3）在上截取，连接，可得为等边三角形，再证明，，则有，可证，得到，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴垂直平分， ， 又， ∴是等腰直角三角形，， ， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，则， ； （3）解：在上截取，连接， ∵菱形， ∴，， ∴ 为等边三角形， ， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵菱形， ∴， ，， ， ， ， ∵ ∴ ， ， ， ， ． 20．（2026·陕西榆林·二模）问题探究 (1)如图①，在中，点E、F分别是、的中点，连接、，点G是上一点，连接、，若，则_________； (2)如图②，在四边形中，连接，，过点A分别作于点E，于点F，若，分别求与的度数； 问题解决 (3)为践行山水林田湖草沙一体化保护和系统治理的生态文明理念，某地拟对一片区域制定并逐步实施绿化规划．如图③，和是两条公路，内部是一大片荒地，点C、D分别在、上，是一条青砖路，，．现拟规划一个五边形区域，并对该区域绿化，点E、F是右上方的动点．连接、，将、建成碎石路，根据规划要求，．点P是上一点，现要在以点E、F、P为顶点的三角形区域内种植常绿乔木，其余地方开垦成农田或种植草坪．为提升绿化效果，要求常绿乔木的种植面积尽可能的大．请你求出种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）．（公路、青砖路、碎石路宽度都忽略不计） 【答案】(1)4 (2)， (3)种植常绿乔木面积的最大值为 【分析】（1）连接，，先证明四边形是平行四边形，最根据等底等高可得； （2）由等腰三角形三线合一的性质得到，，在根据，得到，接着根据四边形内角和，求出； （3）分别取、中点、，连接，，，过作交于，交于，交于，如图，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，再推导角度关系得到，得到，四边形是平行四边形，结合中位线得到，，根据，，求出，，，由和垂线段最短可得，当时，最大，则最大． 【详解】（1）解：连接，， ∵， ∴，， ∴根据等底等高可得， ∵点E、F分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵，过点A分别作于点E，于点F， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内角和， ∴； （3）解：分别取、中点、，连接，，，过作交于，交于，交于，如图， ∵，、中点、，， ∴，，是中位线， ∴，，，，， 设，则， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值，， ∴当最大时最大， 由和垂线段最短可得， ∴当时，最大，最大值，此时为最大值， 即种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年人教版八年级下册期末复习尖兵必做： 四边形压轴题 1．（25-26八年级下·陕西延安·期中）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3) 如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）阅读材料 对于直角三角形我们有如下结论：直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在中，，若，则． 请根据以上材料，解决下列问题： 如图2，在菱形中，，是线段上的动点（点不与点重合），在的右上方作菱形，且，连接，． (1)当点与点重合时，________（度）． (2)当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由． (3)交于点，当点是的中点时，求证：点是的中点． 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）【问题背景】如图，正方形的边长为10，，分别为边，上的点． (1)【问题发现】如图1，若，则与的数量关系为__________． (2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，若是的中点，连接，求证：． (3)【问题拓展】如图3，若，，点在边上，且满足，请直接写出的长． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，再展开压平，连接． ①求证：四边形是菱形； ②求折痕的长； (2) 如图2，将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，求折痕的长． 5．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 6．（25-26八年级下·河南漯河·期中）综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，取中点F，连接并延长，使得，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，过点F作的垂线交于点G，连接．求菱形的面积． 8．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，正方形中，点P是对角线上一点，连接，过点P作的垂线，交于点E． (1)如图1，过点P作，垂足为M．求证：M为的中点； (2)如图2，延长交于点F，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若F为的中点，求的值． 9．（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形和等腰直角三角形．连接、． (1)点P为线段的中点，连接 ① 如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系； ② 将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明； (2)将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）． 10．（2026·山西吕梁·二模）综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点． 猜想证明： (1)如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考： (2)如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (3) 隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 11．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 12．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 13．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，已知矩形，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒． (1)若E，F不重合，G，H分别在，上，且，．求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形； (2)若G、H分别是、的中点，试问当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形； (3)若G、H分别是折线，上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 14．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 15．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，的直角顶点在轴正半轴上，为坐标原点，面积为，且， (1)求的长； (2)为轴正半轴上的动点，如图，． ①若时，直线与轴交于点，与轴交于点，求点的坐标； ②若，时，如图2，直接写出点的坐标． 16．（25-26八年级下·上海崇明·期中）学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 17．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，点O为矩形的对称中心，．点E、F、G分别在边上．点E从点B出发向点A运动，速度为，点F从点B出发向点C运动，速度为，点G从点C出发向点D运动，速度为．当点E到达点A（即点E与点A重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． (1)四边形 （填“能”或“不能”）是正方形； (2)若M、N分别是的中点，连接，问：当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 18．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 19．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）【问题提出】 (1)如图1，是正方形的对角线，点E是上一点，连接、．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，菱形的对角线、相交于点O，点E是延长线上一点，连接、，，若，，求四边形的面积； 【问题解决】 (4) 如图3，在菱形拍摄场地中，．为保障场地安全，安装监控覆盖设备：监控点E在对角线的延长线上，监控点H在边的延长线上，直线与边、分别交于点F、G，调试后测得．试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 20．（2026·陕西榆林·二模）问题探究 (1)如图①，在中，点E、F分别是、的中点，连接、，点G是上一点，连接、，若，则_________； (2)如图②，在四边形中，连接，，过点A分别作于点E，于点F，若，分别求与的度数； 问题解决 (3)为践行山水林田湖草沙一体化保护和系统治理的生态文明理念，某地拟对一片区域制定并逐步实施绿化规划．如图③，和是两条公路，内部是一大片荒地，点C、D分别在、上，是一条青砖路，，．现拟规划一个五边形区域，并对该区域绿化，点E、F是右上方的动点．连接、，将、建成碎石路，根据规划要求，．点P是上一点，现要在以点E、F、P为顶点的三角形区域内种植常绿乔木，其余地方开垦成农田或种植草坪．为提升绿化效果，要求常绿乔木的种植面积尽可能的大．请你求出种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）．（公路、青砖路、碎石路宽度都忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $