第01讲 菱形的性质与判定（知识点+8题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

第01讲 菱形的性质与判定（知识点+8题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用菱形的性质求角度 题型2 利用菱形的性质求线段长 题型3 利用菱形的性质求面积 题型4 利用菱形的性质证明 题型5 证明四边形是菱形 题型6 根据菱形的性质与判定求角度 题型7 根据菱形的性质与判定求线段长 题型8 根据菱形的性质与判定求面积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 菱形的边、角、对角线、菱形的对称性、菱形的性质、菱形的判定、菱形的面积计算 1. 理解菱形的定义，认识菱形的边、内角、对角线，能用符号语言表示菱形，明确菱形与平行四边形的从属关系。 2. 掌握菱形的性质定理（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角、轴对称性），能运用菱形的性质进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证明。 3. 掌握菱形的三个判定定理（定义法、四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形），能运用判定定理证明一个四边形或平行四边形是菱形，并能准确区分菱形的性质与判定。 4. 掌握菱形的两种面积计算公式（底×高、对角线乘积的一半），能解决与菱形相关的实际问题，体会转化与数形结合的数学思想。 学习重点：菱形的概念与表示方法、菱形的性质定理、菱形的判定定理、菱形面积的计算。 学习难点：菱形性质与判定的综合应用，菱形与平行四边形，分类讨论思想在菱形边长、对角线问题中的应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 即时即练如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【易错提醒】 定义必须同时满足两个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等。缺少任何一个都不能判定为菱形。 知识点02 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，同时还有以下独特性质： 性质类别 具体内容 几何语言 对应易错提醒 边的性质 菱形的四条边都相等 ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=DA 不要与"平行四边形对边相等"混淆，菱形是四条边都相等，不只是对边。 对角线性质1 菱形的两条对角线互相垂直 ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD 这是菱形独有的性质，一般平行四边形对角线只互相平分，不垂直。 对角线性质2 菱形的每一条对角线平分一组对角 ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC平分∠BAD和∠BCDBD平分∠ABC和∠ADC 只有菱形和正方形的对角线平分对角，矩形和平行四边形都不具备这个性质。 对称性 菱形是轴对称图形，有2条对称轴，分别是两条对角线所在的直线；同时也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 - 对称轴是对角线所在的直线，不是对角线本身；不要误以为菱形有4条对称轴。 即时即练（2026·河南周口·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 所以菱形的边长为5． 知识点03 菱形的判定定理 满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是菱形： 判定方法 具体内容 几何语言 对应易错提醒 定义判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 必须先证明是平行四边形，再证明一组邻边相等，顺序不能颠倒。 边判定 四条边都相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 四边形ABCD是菱形 这是唯一一个不需要先证明是平行四边形的判定方法。 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 最容易出错的判定！"对角线互相垂直的四边形是菱形"是错误的，必须加上平行四边形前提。 即时即练如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，当的长为 时四边形是菱形． 【易错提醒】 "互相垂直平分"已经包含了"互相平分"（即平行四边形），所以可以直接判定为菱形。 知识点04 菱形的面积计算 1. 通用方法：S=底×高（与平行四边形面积公式相同） 1. 特殊方法：S=×两条对角线的乘积 几何语言： ∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O ∴ S菱形ABCD=×AC×BD 即时即练小成同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；④作射线交于点，在射线上截取；⑤连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【易错提醒】 1. 计算面积时千万不要忘记乘以½，这是最常见的计算错误 2. 两种面积公式可以互相转化，已知底和高可以求对角线，已知对角线也可以求高 3. 对角线互相垂直的四边形面积都可以用"½×对角线乘积"计算，不只是菱形 4. 两种面积公式可以互相转化，已知底和高可以求对角线，已知对角线也可以求高 5. 对角线互相垂直的四边形面积都可以用"½×对角线乘积"计算，不只是菱形 题型1 利用菱形的性质求角度 【例1】如图，菱形中，∠，求的度数为（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 对角线平分一组对角，相邻两角被分成的四个小角相等 邻角互补，对角相等 有60°角时，短对角线将菱形分成两个等边三角形 有90°角时，菱形变为正方形 【变式1-1】如图，在菱形中，点为对角线上一点，．若．则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A．33度 B．34度 C．57度 D．67度 题型2 利用菱形的性质求线段长 【例2】如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为_________． 【技巧归纳】 已知一边长，即知所有边长 两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形 勾股定理必用：（为对角线，为边长） 60°角菱形：短对角线=边长，长对角线=边长 【变式2-1】如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接，．若，，则的长为_____________． 【变式2-2】如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 题型3 利用菱形的性质求面积 【例3】如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【技巧归纳】 公式1：底高（同平行四边形） 公式2：（菱形特有，优先使用） 面积也等于四个直角三角形面积之和 利用面积相等可求高或底 【变式3-1】如图，在菱形中，于点，，，则的长是（    ） A． B．6 C． D．12 【变式3-2】如图，在菱形中，对角线相交于点，点在线段上，连接，若，，，则菱形的面积等于（    ）    A．12 B．24 C．48 D．96 题型4 利用菱形的性质证明 【例4】如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【技巧归纳】 证线段相等：四边相等或对角线互相平分 证角相等：对角线平分对角或等腰三角形底角相等 证垂直：对角线互相垂直的性质 常用辅助线：连接对角线 【变式4-1】如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点，若，求的长． ． 【变式4-2】如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型5 证明四边形是菱形 【例5】如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【技巧归纳】 已知是平行四边形：证一组邻边相等 或 对角线互相垂直 已知是任意四边形：证四条边都相等 或 对角线互相垂直平分 易错点：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形 【变式5-1】如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 题型6 根据菱形的性质与判定求角度 【例6】柯同学按如下步骤作四边形．第一步：画；第二步：以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；第三步：分别以点，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连结，，． (1)由以上作图可知，四边形的形状是________． (2)若，求的度数． 【技巧归纳】 第一步：严格按题型5的方法证明四边形是菱形 第二步：利用对角线平分对角、邻角互补、等腰三角形性质求角 出现30°、45°、60°时，直接用特殊三角形角度关系 【变式6-1】如图，按照以下步骤作四边形：画；以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧交于点；连接，，．若，则（     ） A． B． C． D． ． 【变式6-2】已知：如图，在中，，分别是边，的中点，连接．，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 题型7 根据菱形的性质与判定求线段长 【例7】如图，中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)请添加一个条件，使得，并加以证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是菱形，得到四边相等和对角线垂直平分 第二步：在直角三角形中用勾股定理或特殊三角形性质计算 常见类型：已知两对角线求边长，已知边长和一条对角线求另一条 利用菱形的轴对称性找相等线段 【变式7-1】在中，，过作于，连接，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 四边形的周长为：． 【变式7-2】如图，中，，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接相交于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． ． 题型8 根据菱形的性质与判定求面积 【例8】如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是菱形 第二步：已知底和高用底×高，已知两条对角线用 技巧：对角线互相垂直的任意四边形，面积都等于 利用面积法可求斜边上的高 【变式8-1】如图，中，，平分，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，如果四边形的周长为，求四边形的面积． 【变式8-2】如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接，． (1)的长为，的长为（用含t的代数式表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 一、单选题 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·二模）小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·二模）如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的边长是(    ) A． B． C． D． 4．（2026·河南开封·二模）如图，在中，与交于点，点为的中点．若，对角线，面积为24，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．28 D．30 5．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北孝感·三模）如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北·二模）问题：如图，四边形是菱形，，是直线上两点，．求证：四边形是菱形．甲、乙两名同学对这个问题，给出了如下解题思路： 甲：利用全等三角形的知识，证明四边形的四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形． 其中正确的是（    ） A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 8．（2026·辽宁·一模）如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C．10 D．12 9．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点在上且，若，则（     ） A．24 B．36 C．42 D．48 11．（2026·广东深圳·三模）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 12．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在菱形中，，点E为边的中点，对角线与相交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，运动到点D时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到点O时，的长为（   ） A．3 B．2 C． D．4 二、填空题 13．（2026·陕西咸阳·二模）如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 14．（2026·河南周口·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 15．（2026·江苏盐城·一模）在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 16．（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 17．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 18．（2026·广东汕尾·模拟预测）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 19．（2026·四川成都·三模）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 20．（2026·浙江金华·二模）如图，在菱形中，，点在边的延长线上，连接，交于点，连结，若，则__________（用含的式子表示）． 21．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 22．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接、，则的最小值是______． 23．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形的边长为4，对角线、相交于点O，点M，N分别是边、上的动点，，连接，，．以下四个结论正确的有________（填序号）． ①是等边三角形；②；③的最小值是；④当时，． 三、解答题 24．（2026·重庆大足·一模）我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接，则四边形是菱形． (2)根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 25．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 26．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 27．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 28．（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，为上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个与有关的条件，____________________使四边形为菱形． 29．（2026·浙江杭州·二模）小成同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；④作射线交于点，在射线上截取；⑤连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 30．（2026·江西新余·二模）请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点E是菱形边上的一点． 求作边上的点H， 使； (2)如图2，点E是菱形边上一点，连接，求作，使，且点G在边上． 31．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，当的长为 时四边形是菱形． 32．（2026·安徽安庆·一模）我们将四个全等的小菱形按如图1所示组合的图形称为一个基本图形，将此基本图形（大菱形）向右平移，使其中一个小菱形重合，得到第2个图案，第3个图案，第4个图案…… (1)观察图1并完成下表： 图案 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 大菱形的个数 1 2 3 4 … 小菱形的个数 4 7 10 ______ … (2)第5个图案中菱形的总个数为______；第n个图案中，菱形的总个数为______（用含n的代数式表示）． (3)如图2，将第n个图案放在平面直角坐标系中，已知小菱形的锐角为，且基本图形的中心点的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，的坐标为，则______，______．根据以上分析，请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． 33．（2026·山西长治·二模）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： (1)如图1，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，，当时，试判断的形状，并证明你的结论； (2)如图2，继续旋转一定角度，当线段经过点时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： (3)在整个旋转过程中，当在下方，且的边恰好与垂直时，请直接写出的长． 34．（2026·浙江杭州·二模）【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 (1)在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； (2)当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 菱形的性质与判定（知识点+8题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用菱形的性质求角度 题型2 利用菱形的性质求线段长 题型3 利用菱形的性质求面积 题型4 利用菱形的性质证明 题型5 证明四边形是菱形 题型6 根据菱形的性质与判定求角度 题型7 根据菱形的性质与判定求线段长 题型8 根据菱形的性质与判定求面积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 菱形的边、角、对角线、菱形的对称性、菱形的性质、菱形的判定、菱形的面积计算 1. 理解菱形的定义，认识菱形的边、内角、对角线，能用符号语言表示菱形，明确菱形与平行四边形的从属关系。 2. 掌握菱形的性质定理（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角、轴对称性），能运用菱形的性质进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证明。 3. 掌握菱形的三个判定定理（定义法、四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形），能运用判定定理证明一个四边形或平行四边形是菱形，并能准确区分菱形的性质与判定。 4. 掌握菱形的两种面积计算公式（底×高、对角线乘积的一半），能解决与菱形相关的实际问题，体会转化与数形结合的数学思想。 学习重点：菱形的概念与表示方法、菱形的性质定理、菱形的判定定理、菱形面积的计算。 学习难点：菱形性质与判定的综合应用，菱形与平行四边形，分类讨论思想在菱形边长、对角线问题中的应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 即时即练如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 【易错提醒】 定义必须同时满足两个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等。缺少任何一个都不能判定为菱形。 知识点02 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，同时还有以下独特性质： 性质类别 具体内容 几何语言 对应易错提醒 边的性质 菱形的四条边都相等 ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=DA 不要与"平行四边形对边相等"混淆，菱形是四条边都相等，不只是对边。 对角线性质1 菱形的两条对角线互相垂直 ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD 这是菱形独有的性质，一般平行四边形对角线只互相平分，不垂直。 对角线性质2 菱形的每一条对角线平分一组对角 ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC平分∠BAD和∠BCDBD平分∠ABC和∠ADC 只有菱形和正方形的对角线平分对角，矩形和平行四边形都不具备这个性质。 对称性 菱形是轴对称图形，有2条对称轴，分别是两条对角线所在的直线；同时也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 - 对称轴是对角线所在的直线，不是对角线本身；不要误以为菱形有4条对称轴。 即时即练（2026·河南周口·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 【答案】5 【分析】根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 知识点03 菱形的判定定理 满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是菱形： 判定方法 具体内容 几何语言 对应易错提醒 定义判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC ∴ 四边形ABCD是菱形 必须先证明是平行四边形，再证明一组邻边相等，顺序不能颠倒。 边判定 四条边都相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 四边形ABCD是菱形 这是唯一一个不需要先证明是平行四边形的判定方法。 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 最容易出错的判定！"对角线互相垂直的四边形是菱形"是错误的，必须加上平行四边形前提。 即时即练如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，当的长为 时四边形是菱形． 【答案】(1)证明： 和关于点对称， ，， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）利用对称性质，得到，，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完成证明； （2）连接，设，再根据菱形的性质和勾股定理表示出，列方程求出，进而求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 据（1）可知与交于点， 四边形是菱形， ，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得， ． 【易错提醒】 "互相垂直平分"已经包含了"互相平分"（即平行四边形），所以可以直接判定为菱形。 知识点04 菱形的面积计算 1. 通用方法：S=底×高（与平行四边形面积公式相同） 1. 特殊方法：S=×两条对角线的乘积 几何语言： ∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O ∴ S菱形ABCD=×AC×BD 即时即练小成同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；④作射线交于点，在射线上截取；⑤连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：由作图步骤可知：，平分，，、、在同一条直线上， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵、、在同一条直线上， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 即四边形是菱形 (2) 【分析】（1）先由作图条件得、平分，证，推出对角线互相平分且垂直，从而判定为菱形； （2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求对角线的长度，再用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）略； （2）∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积为． 【点睛】通过全等证对角线垂直平分，再利用勾股定理求对角线长，进而计算菱形面积． 【易错提醒】 1. 计算面积时千万不要忘记乘以½，这是最常见的计算错误 2. 两种面积公式可以互相转化，已知底和高可以求对角线，已知对角线也可以求高 3. 对角线互相垂直的四边形面积都可以用"½×对角线乘积"计算，不只是菱形 4. 两种面积公式可以互相转化，已知底和高可以求对角线，已知对角线也可以求高 5. 对角线互相垂直的四边形面积都可以用"½×对角线乘积"计算，不只是菱形 题型1 利用菱形的性质求角度 【例1】如图，菱形中，∠，求的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质求出的度数，再结合，利用等腰三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是菱形， 平分， ， ， 又 ， 是等腰三角形，， ． 【技巧归纳】 对角线平分一组对角，相邻两角被分成的四个小角相等 邻角互补，对角相等 有60°角时，短对角线将菱形分成两个等边三角形 有90°角时，菱形变为正方形 【变式1-1】如图，在菱形中，点为对角线上一点，．若．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，根据菱形的性质可得，则可证明，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A．33度 B．34度 C．57度 D．67度 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，由菱形的性质可得，，，再结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型2 利用菱形的性质求线段长 【例2】如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，再根据菱形的性质利用勾股定理可得，即可求出． 【详解】解：根据作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， ∵在菱形中，， ， ， ∴在中，， ， ， ∴在中，． 【技巧归纳】 已知一边长，即知所有边长 两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形 勾股定理必用：（为对角线，为边长） 60°角菱形：短对角线=边长，长对角线=边长 【变式2-1】如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接，．若，，则的长为_____________． 【答案】2.5 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可得，，，根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而利用勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，点M、N分别是边、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 【变式2-2】如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，由得，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型3 利用菱形的性质求面积 【例3】如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，得，进而可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ∴， ， ， ∴， 即， ， ∴． 【技巧归纳】 公式1：底高（同平行四边形） 公式2：（菱形特有，优先使用） 面积也等于四个直角三角形面积之和 利用面积相等可求高或底 【变式3-1】如图，在菱形中，于点，，，则的长是（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选A． 【变式3-2】如图，在菱形中，对角线相交于点，点在线段上，连接，若，，，则菱形的面积等于（    ）    A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．设，，根据菱形的性质得，由得到，据此列式计算求得，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积等于． 故选：B． 题型4 利用菱形的性质证明 【例4】如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ，，， ． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质、对顶角的性质等找到条件证明即可； （2）利用菱形的性质得到，设，则，在中，由勾股定理得，列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即：， 解得， ． 【技巧归纳】 证线段相等：四边相等或对角线互相平分 证角相等：对角线平分对角或等腰三角形底角相等 证垂直：对角线互相垂直的性质 常用辅助线：连接对角线 【变式4-1】如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 先证明，根据三角形全等的性质得出，求出，得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∴， ， 是的中点， ， 即， ， ， ， ， ． 【变式4-2】如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，，进而证明和均为等边三角形，得到，，证明，即可得到； （2）连接、交于点O，连接并延长，交边于点G即可． 【详解】（1）求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图所示，点即为所求： 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5 证明四边形是菱形 【例5】如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2)6 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【技巧归纳】 已知是平行四边形：证一组邻边相等 或 对角线互相垂直 已知是任意四边形：证四条边都相等 或 对角线互相垂直平分 易错点：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形 【变式5-1】如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，得到，可知平行四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，根据垂线的定义得到，求出四边形内角和，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，内角和为， ∴ ． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． （2）设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 题型6 根据菱形的性质与判定求角度 【例6】柯同学按如下步骤作四边形．第一步：画；第二步：以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；第三步：分别以点，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连结，，． (1)由以上作图可知，四边形的形状是________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的性质得到，由平行得到，再由邻补角即可求解． 【详解】（1）解：由作图可得， ∴四边形是菱形， （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【技巧归纳】 第一步：严格按题型5的方法证明四边形是菱形 第二步：利用对角线平分对角、邻角互补、等腰三角形性质求角 出现30°、45°、60°时，直接用特殊三角形角度关系 【变式6-1】如图，按照以下步骤作四边形：画；以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧交于点；连接，，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图步骤可得，判定四边形为菱形，利用等腰三角形性质求出，再根据菱形对角相等求解． 【详解】由作图步骤可知：，， ，， 四边形是菱形，， ． 【变式6-2】已知：如图，在中，，分别是边，的中点，连接．，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)证明：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)∵，． ∴是等边三角形． ∴． 由，分别是边，的中点，得． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． ∴． 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，然后结合题意及平行四边形的判定即可证明； （2）根据题意得出是等边三角形，再由中位线的性质确定，结合菱形的判定和性质即可证明 题型7 根据菱形的性质与判定求线段长 【例7】如图，中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)请添加一个条件，使得，并加以证明． (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）可添加，然后利用平行四边形的性质即可证明结论； （2）先证明是菱形，进而可得，得到，求出，作于点M，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：可添加：， 证明：∵， ∴， 在中， ∴； （2）解：∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点M，如图， 则，， 在直角三角形中，， ∴． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是菱形，得到四边相等和对角线垂直平分 第二步：在直角三角形中用勾股定理或特殊三角形性质计算 常见类型：已知两对角线求边长，已知边长和一条对角线求另一条 利用菱形的轴对称性找相等线段 【变式7-1】在中，，过作于，连接，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得，，是解决问题的关键． （1）由已知证得，，根据全等三角形的判定证得，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由勾股定理得求得，，由（1）知，，，即可求得结论． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在中，，， ， 在中，，， ， 由（1）知，，， 四边形的周长为：． 【变式7-2】如图，中，，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接相交于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合旋转的性质可得，，，进而证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明四边形为菱形，易得，再证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理解得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：由绕点按顺时针方向旋转得到， ，，， ，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形， ， ， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ． 题型8 根据菱形的性质与判定求面积 【例8】如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由且得四边形为平行四边形，再通过导角证明，得 ，即可证明四边形是菱形． （2）由菱形得，在中利用得、，从而，代入梯形面积公式求四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是菱形 第二步：已知底和高用底×高，已知两条对角线用 技巧：对角线互相垂直的任意四边形，面积都等于 利用面积法可求斜边上的高 【变式8-1】如图，中，，平分，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，如果四边形的周长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线可知四条边相等，即可证明是菱形； （2）设，根据勾股定理可构造等量关系，从而可得，即可得面积． 【详解】（1）证明：平分， ，且点是的中点． 点分别是的中点， 在中，， 在中，． 又，点，分别是的中点， ， ， 四边形是菱形． （2）解：菱形的周长为20， ， 设，则，即． ①， 于点， 在中，， ②， 把②代入①，可得， 菱形的面积为． 【变式8-2】如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接，． (1)的长为，的长为（用含t的代数式表示）； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)t，t (2)能， (3)当或4时，为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）首先根据题意得到，，然后根据含30度角直角三角形的性质得到； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出t的值，进而得出答案； （3）根据题意分三种情况讨论，①当时；②当时；③当时，分别分析得出即可． 【详解】（1）解：∵点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动 ∴ ∵点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动 ∴ ∵， ∴； （2）解：能．理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形 若使平行四边形为菱形，则需 ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ 根据，可得， 解得． 即当时，四边形为菱形； （3）解：①当时，即有，如图 ∴ ∴ ∴ ∴在中， ∵， ∴， ∴； ②当时，即，如图 由（2）得，四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 解得； ③当时，此种情况不存在． 综上所述，当或时，为直角三角形． 一、单选题 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形中，若，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线平分每一组对角，以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 2．（2026·广东深圳·二模）小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·广东深圳·二模）如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的边长是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接、交于， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 4．（2026·河南开封·二模）如图，在中，与交于点，点为的中点．若，对角线，面积为24，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】A 【分析】根据等边对等角得出，根据平行四边形的性质得出，根据三角形的中位线定理得出，结合已知可得出，则是菱形，根据菱形的面积可求出，进而求出，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为． 5．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 6．（2026·湖北孝感·三模）如图，菱形的顶点B，D在y轴上，若，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形是轴对称图形， 且B、D在y轴上， ∴ A、C关于y轴对称， ∵， ∴． 7．（2026·河北·二模）问题：如图，四边形是菱形，，是直线上两点，．求证：四边形是菱形．甲、乙两名同学对这个问题，给出了如下解题思路： 甲：利用全等三角形的知识，证明四边形的四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形． 其中正确的是（    ） A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】通过菱形的性质求得，，，即可求得对应边相等，根据四条边都相等的四边形是菱形即可证明甲的方法正确；先求得四边形是平行四边形，再利用菱形对角线互相垂直平分，即可证明乙的方法正确． 【详解】甲：四边形是菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， 同理，，， ，， ， 四边形是菱形． 乙：连接交于，如图所示． 四边形是菱形， ，，． ，，即， 四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是菱形． 综上所述，甲、乙都对． 8．（2026·辽宁·一模）如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（   ） A． B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据，可得四边形为平行四边形，根据， 为的中点，则平行四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 四边形为平行四边形， 又 ∵， 为的中点， ∴， ∴ 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，设与交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据三角形中位线定理得出，，设，则，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，设与交于点O，如图所示； ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，，，是菱形四边的中点， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点在上且，若，则（     ） A．24 B．36 C．42 D．48 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，为中点，结合为中点可得为的中位线，从而；利用等面积法在中建立之间的关系，结合已知条件，即可求解的值 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点是边的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 11．（2026·广东深圳·三模）如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形的性质得出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：由折叠可知：，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 12．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在菱形中，，点E为边的中点，对角线与相交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，运动到点D时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到点O时，的长为（   ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】观察图2可得，当点运动到点时，的面积达到最大值，为，由菱形的性质可得，，，作交的延长线于点，则，求出，，当点运动到点时，根据，计算得出，当点P运动到点O时，由点为的中点，可得为的中位线，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图2可得，当点运动到点时，的面积达到最大值，为， ∵四边形为菱形，， ∴，，， 如图，作交的延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴当点运动到点时，， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴当点P运动到点O时，由点为的中点，可得为的中位线，即此时． 二、填空题 13．（2026·陕西咸阳·二模）如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 14．（2026·河南周口·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 【答案】5 【分析】根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 15．（2026·江苏盐城·一模）在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴． 16．（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】 根据菱形的对角线互相平分且交点在原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标规律即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，且对角线交点在原点， 点与点关于原点对称 点的坐标为，且关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， 点的坐标为． 17．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【答案】/62度 【分析】首先证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形 ∴平分和 ∴． 18．（2026·广东汕尾·模拟预测）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 19．（2026·四川成都·三模）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数；根据作图痕迹判断出直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，进而求出的度数；最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 20．（2026·浙江金华·二模）如图，在菱形中，，点在边的延长线上，连接，交于点，连结，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，则有，然后根据三角形内角和及外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，交于点，证明均为等边三角形，等积法得到，进而得到当即点与点重合时，之和最小为的长，即可. 【详解】解：连接，，交于点， 在菱形中，，， ∴，，， ∴均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，之和最小， ∵点P为对角线上的任一点， ∴当，即点与点重合时，之和最小，为的长， ∴之和的最小值为． 22．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，，可得是等边三角形，则，证明，可得，则，可得当、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，，则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的最小值是． 23．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形的边长为4，对角线、相交于点O，点M，N分别是边、上的动点，，连接，，．以下四个结论正确的有________（填序号）． ①是等边三角形；②；③的最小值是；④当时，． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质得出，证得，可得，即可判断①；当M与C重合时， ，即可判断②；当最小值时，即为最小值，而当时，值最小，利用勾股定理求得，即可判断③； 先求出、的长，证明，则，．在得出的长，则可得的长，即可判断④． 【详解】解：四边形是菱形， ，，． ． 、为等边三角形． ，． ，． ． 在和中 ． ． ， 为等边三角形，故①正确； 当M与C重合时， ， 与N重合． 四边形是菱形， ，故②错误； 为等边三角形， ． 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小． 为等边三角形， ，． ． ，故③正确； 作于E，作于F， 、为等边三角形， ，． 四边形是菱形， ． ， ． ． ． 在和中 ． ，． ， ． ． ，故④正确． 三、解答题 24．（2026·重庆大足·一模）我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． (1)尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接，则四边形是菱形． (2)根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． 以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点D，连接， 则即为所求． （2）解：证明：∵是等边三角形，平分， ∴且，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）． 25．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 26．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 27．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，，证明，又因为平行四边形的性质，得，故，即，得，故平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】略 28．（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，为上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个与有关的条件，____________________使四边形为菱形． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）先根据平行性质证明，再证明，推出，结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）添加的条件为：，先根据，，证明四边形是平行四边，再由（1）得证明结果推出，最后根据，即，推出，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）略； （2）添加的条件为：， ∵，， ∴四边形是平行四边， ∵由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 29．（2026·浙江杭州·二模）小成同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连结；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；④作射线交于点，在射线上截取；⑤连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：由作图步骤可知：，平分，，、、在同一条直线上， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵、、在同一条直线上， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 即四边形是菱形 (2) 【分析】（1）先由作图条件得、平分，证，推出对角线互相平分且垂直，从而判定为菱形； （2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求对角线的长度，再用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）略； （2）∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积为． 【点睛】通过全等证对角线垂直平分，再利用勾股定理求对角线长，进而计算菱形面积． 30．（2026·江西新余·二模）请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点E是菱形边上的一点． 求作边上的点H， 使； (2)如图2，点E是菱形边上一点，连接，求作，使，且点G在边上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、于点，作射线交于点，则； （2）连接、交于点，作射线交于点，连接，则． 【详解】（1）解：如图，点为所求； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴（） ∴； （2）解：如图，为所求； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴（）， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴（）， ∴． 31．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，是上一点，和关于点对称，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，，当的长为 时四边形是菱形． 【答案】(1)证明： 和关于点对称， ，， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）利用对称性质，得到，，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完成证明； （2）连接，设，再根据菱形的性质和勾股定理表示出，列方程求出，进而求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 据（1）可知与交于点， 四边形是菱形， ，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得， ． 32．（2026·安徽安庆·一模）我们将四个全等的小菱形按如图1所示组合的图形称为一个基本图形，将此基本图形（大菱形）向右平移，使其中一个小菱形重合，得到第2个图案，第3个图案，第4个图案…… (1)观察图1并完成下表： 图案 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 … 大菱形的个数 1 2 3 4 … 小菱形的个数 4 7 10 ______ … (2)第5个图案中菱形的总个数为______；第n个图案中，菱形的总个数为______（用含n的代数式表示）． (3)如图2，将第n个图案放在平面直角坐标系中，已知小菱形的锐角为，且基本图形的中心点的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，的坐标为，则______，______．根据以上分析，请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． 【答案】(1)13； (2)16，； (3)，． 【分析】（1）根据图形直接作答即可； （2）根据表格分析作答即可； （3）标记顶点，得到菱形，连接、交于点，利用菱形的性质，推出是等边三角形，轴，进而得出，求出，则小菱形的横向对角线长为，即可得解． 【详解】（1）解：略 （2）解：观察表格发现，后一个大菱形中小菱形的个数比前一个多3， 则第5个图案中菱形的总个数为（个）， 第n个图案中，菱形的总个数为； （3）解：如图，标记顶点，得到菱形，连接、交于点， 小菱形的锐角为， ，，，，， 是等边三角形，， ， 轴， 轴， 中心点的坐标为， ，， ， ，即小菱形的横向对角线长为， 的坐标为，……，的坐标为， ，． 33．（2026·山西长治·二模）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： (1)如图1，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，，当时，试判断的形状，并证明你的结论； (2)如图2，继续旋转一定角度，当线段经过点时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： (3)在整个旋转过程中，当在下方，且的边恰好与垂直时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：的形状为等边三角形， 根据旋转的性质可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． (2)证明：四边形的形状为菱形， 在中，，为的中点， ， 又， 为等边三角形， ，， 根据旋转的性质可得，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形． (3)，， 【分析】（1）根据旋转的性质以及角度关系证明的形状为等边三角形； （2）先证为等边三角形，根据旋转的性质及证明四边形为菱形； （3）分、和三种情况，结合勾股定理及旋转的性质求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，，分三类： 情形①：，如图，连接， ，，， ； 情形②:，如图，与重合， 此时；； 情形③：， ，， ，， 过作延长线，连接，则， ，，， ， 综上：取值为或或． 34．（2026·浙江杭州·二模）【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 (1)在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； (2)当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)① ② 【分析】（1）根据全等三角形的性质可知，，可证，根据全等三角形的性质可证，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）①连接交于点，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可知和互相垂直平分，可得：，设，则，利用勾股定理可得：，从而可以求出，，根据菱形的性质和线段之间的关系即可求出的长度； ②延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①解：如下图所示，连接交于点， ，， ， 四边形是菱形， ，和互相垂直平分， 在中，，，， ， 设，则， ， ， ，， ， ； ②解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是菱形， ，， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $