第11章 一次函数 一次函数与几何综合拔高练习 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何图形综合应用，通过分类题型构建从基础计算到存在性探究的递进训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与三角形面积|3题|坐标求解、面积计算|一次函数性质→图形面积公式→参数方程应用| |一次函数与等腰三角形存在性|1题|折叠问题、分类讨论|轴对称性质→等腰三角形判定→方程思想| |一次函数与等腰直角三角形存在性|2题|中点坐标、动态探究|直角坐标系→全等/相似→动点轨迹分析| |一次函数与平行四边形存在性|3题|多动点、图形判定|平行四边形性质→坐标平移→分类讨论| |一次函数与矩形/菱形存在性|3题|图形折叠、特殊四边形|矩形/菱形判定→勾股定理→函数建模| |一次函数与正方形存在性|1题|动点问题、正方形性质|平行四边形基础→正方形特殊性→动态几何|

一次函数与几何综合 答案解析 1．【分析】（1）根据A、B两点分别在x、y轴上，令y＝0求出x的值；再令x＝0求出y的值即可得出结论； （2）根据三角形的面积公式即可得出AP，进而即可求得P的坐标． 【解答】解：（1）∵A、B两点分别在x、y轴上， ∴令y＝0，则x＝﹣；再令x＝0，y＝4， ∴A（﹣，0），B（0，4）； （2）∵△ABP的面积为5， ∴AP•OB＝5，即AP×4＝5， ∴AP＝， ∴P（﹣，0）或（，0）． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 2．【分析】（1）利用勾股定理计算AB的长，再利用折叠的性质得到AC＝AB＝5，从而可确定C点坐标； （2）设D（0，t），则BD＝4﹣t，根据折叠的性质得到DC＝DB＝4﹣t，再在Rt△OCD中利用勾股定理得到t2+82＝（4﹣t）2，则解方程得到D点坐标，然后利用待定系数法求直线CD的解析式； （3）设P（m，m﹣6），先利用三角形面积公式计算出S△OAB＝6，则S△PAC＝12，利用三角形面积公式得到×5×|m﹣6|＝12，然后解方程求出m，从而得到P点坐标． 【解答】解：（1）∵点A（3，0），点B（0，4）， ∴AB＝＝5， ∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处， ∴AC＝AB＝5， ∴OC＝OA+AC＝8， ∴C（8，0）； 故答案为5，（8，0）； （2）设D（0，t），则BD＝4﹣t， ∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处， ∴DC＝DB＝4﹣t， 在Rt△OCD中，t2+82＝（4﹣t）2，解得t＝﹣6， ∴D（0，﹣6）； 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 把C（8，0），D（0，﹣6）分别代入得，解得， ∴直线CD的解析式为y＝x﹣6； （3）设P（m，m﹣6）， ∵S△OAB＝×3×4＝6， 而S△PAC＝2S△OAB， ∴S△PAC＝12， 即×5×|m﹣6|＝12，解得m＝或， ∴P点坐标为（，﹣）或（，）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设一次函数的解析式为y＝kx+b，再把两组对应值代入得到k、b的方程组，然后方程组得到一次函数解析式．也考查了一次函数的性质和折叠的性质． 3．【分析】此题考查了一次函数的图象和性质． （1）令，则，令，则，即可求出答案； （2）设点，根据的面积为12得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：令，则， ， 令，则， ， ， 故答案为：； （2）设点 的面积为12， 或14， ∴点或 4．【分析】（1）利用待定系数法可得直线AC的表达式；根据等腰直角三角形的性质，可得AC＝BC，∠ACB＝90°，根据余角的性质，可得∠OAC＝∠BCE，根据AAS可得△AOC≌△CEB，根据全等三角形的性质得BE＝OC＝2，CE＝OA＝4，即可得点B的坐标； （2）①根据待定系数法，可得b的值，根据三角形的面积公式，可得答案； ②分两种情形：a、AM＝AE，b、AM＝ME，分别求解即可． 【解答】解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b， ∵A（0，4），点C（2，0）． ∴，解得， ∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+4； ∵BE⊥x轴于点E， ∴∠BEC＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝90°． ∵∠AOC＝∠ACB＝90°， ∴∠OAC+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCE＝90°， ∴∠OAC＝∠BCE． 在Rt△AOC和Rt△CEB中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△CEB （AAS）， ∴BE＝OC＝2，CE＝OA＝4， ∴OE＝OC+CE＝6， ∴点B的坐标为（6，2）； （2）①将B点坐标（6，2）代入y＝x+b，得 6+b＝2， 解得b＝﹣4， 直线BD的解析式为y＝x﹣4， 当x＝0时，y＝﹣4，即D（0，﹣4）． ∴AD＝8， S△ABD＝×8×6＝24； ②设M（x，﹣2x+4）， a、AM＝AE时，如图，以A为圆心，AE为半径作弧交直线AC于M1、M2，作M1N1⊥x轴于N1，作M2N2⊥x轴于N2， ∵A（0，4），OE＝6，C（2，0）． ∴AE＝＝2，AC＝＝2， ∴CM1＝AC+AM1＝2+2， ∵M（x，﹣2x+4）， ∴M1N1＝﹣2x+4，CN1＝2﹣x， 在Rt△CM1N1中，M1N12+CN12＝CM12， ∴（﹣2x+4）2+（2﹣x）2＝（2+2）2， 解得：x1＝﹣，x2＝+4（舍去）， ∴点M1的横坐标为﹣； 同理：CM2＝AM2﹣AC＝2﹣2， ∵M（x，﹣2x+4）， ∴M2N2＝2x﹣4，CN2＝x﹣2， 在Rt△CM2N2中，M2N22+CN22＝CM22， ∴（2x﹣4）2+（x﹣2）2＝（2﹣2）2， 解得：x1＝，x2＝﹣4（舍去）， ∴点M2的横坐标为； b、AM＝ME时，如图，作MN⊥AE于N， ∵AM＝ME，MN⊥AE， ∴AN＝EN， ∵A（0，4），E（6，0）． ∴N （3，2）， ∵M（x，﹣2x+4）， ∴ME2＝（﹣2x+4）2+（6﹣x）2＝5x2﹣28x+52， MN2＝（2+2x﹣4）2+（3﹣x）2＝5x2﹣14x+13， EN2＝（AE）2＝（）2＝13， 在Rt△EMN中，MN2+EN2＝EM2， ∴5x2﹣14x+13+13＝5x2﹣28x+52， 解得：x＝， ∴点M的横坐标为； 综上，点M的横坐标为﹣或或． 【点评】本题考查了一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题求出点B坐标是解决问题的突破点． 5．【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出S△ABC＝27，设G（m，﹣m+6），分两种情况：①S△ABG：S△ACG＝1：2时，②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点的坐标； （3）分类讨论，①当点D为直角顶点时，②当点C为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6）， ∵点B（6，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）： ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6； （2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）． ∴AB＝9， ∴S△ABC＝×9×6＝27， 设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6）， ①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABG＝S△ABC＝9， ∴×9（﹣m+6）＝9， ∴m＝4， ∴G（4，2）； 当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABG＝S△ABC＝18， ∴×9（﹣m+6）＝18， ∴m＝2， ∴G（2，4）． 综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）； （3）∵A（﹣3，0），C（0，6），D为AC的中点， ∴D（﹣，3）， ①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE交ED的延长线于F，交x轴于H， ∴∠F＝∠CED＝90°， ∵△CDP是等腰直角三角形， ∴DP＝CD，∠CDB＝90°， ∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°， ∴△PDF≌△CDE（AAS）， ∴DF＝CE，PF＝DE， ∵D（﹣，3），C（0，6）． ∴DE＝PF＝，OE＝3，CE＝DF＝6﹣3＝3， ∴EF＝3+＝，PH＝3+＝， ∴P（﹣，）， 同理得：P′（，）； ∴P（﹣，）或（，）； ②当点C为直角顶点时，如图，过点D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y轴于M， 同①可得△PCM≌△CDN（AAS）， ∴DN＝CM，PM＝CN， ∵D（﹣，3），C（0，6）． ∴DN＝CM＝，ON＝3，CN＝PM＝6﹣3＝3， ∴OM＝6﹣＝， ∴P（3，）， 同理得：P′（﹣3，）； ∴P（3，）或（﹣3，）． 综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）或（3，）或（﹣3，）． 6．【分析】（1）将点B（﹣3，0）代入，可求k的值；将点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，可求b的值； （2）求出A（1，2），作点C 关于y轴的对称点C′，连接AC′，交y轴于点P，点P即为所求； （3）先判断△ABC是直角三角形，设M（t，﹣2t+4），再由AM＝AB＝2，结合勾股定理（t﹣1）2+（2+2t﹣4）2＝20，即可求t的值． 【解答】解：（1）把B（﹣3，0）代入， 得， ∴AB的表达式； 把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b， 得b＝4， ∴AC的表达式y＝﹣2x+4； （2）联立， 解得， ∴A（1，2）， 作点C 关于y轴的对称点C′，连接AC′，交y轴于点P，点P即为所求， ∵CP＝C'P， ∴CP+AP＝C'P+AP≥AC'， ∴当C'、P、A三点共线时，CP+AP最小， ∵C（2，0）， ∴C'（﹣2，0）， ∵A（1，2），C′（﹣2，0）， 设直线AC'的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴， 当x＝0时，， ∴P（0，）； （3）∵A（1，2），B（﹣3，0），C（2，0）， ∴AC＝，AB＝2，BC＝5， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， 设M（t，﹣2t+4）， ∵△ABM是等腰直角三角形， ∴AM＝AB＝2， ∴（t﹣1）2+（2+2t﹣4）2＝20， ∴t＝3或t＝﹣1， ∴M（﹣1，6）或（3，﹣2）． 【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用勾股定理判断直角三角形是解题的关键． 7、【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C； （2）求出直线的表达式，根据求解即可； （3）求出直线的表达式，然后分三种情况：①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；③当为平行四边形的对角线时，讨论求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， 即， ∵面积为15， ∴， ∴， ∴ （2）设直线的表达式为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式得： 解得： ∴直线的表达式为：； ∵， ∴，解得：， ∴ 解得：， ∴； （3）∵ ， 设直线的表达式为， 将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：， 解得： ∴直线的表达式为：． ①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图： ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：过点E作轴于F， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E的纵坐标是， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：．． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上，存在，满足条件的点D的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8．【分析】（1）由旋转可知，，，，过点作轴于点，求出，，再由待定系数法求直线的解析式； （2）设，已知可知、为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式可求，； （3）设，，，分三种情况讨论：①当、为平行四边形的对角线时，，；②当、为平行四边形的对角线时，，；③当、为平行四边形的对角线时，，． 【详解】解：（1）轴绕点顺时针旋转交轴于点， ， 点， ， ，， ， 点绕点顺时针旋转得到点， ，， 过点作轴于点， ， ，， ，， 设直线的解析式为， 则有， 解得， ； （2）设， 四边形为平行四边形， 、为平行四边形的对角线， 的中点，，的中点，， ，， ，， ，； （3）在直线上，在轴上， 设，，， ①当、为平行四边形的对角线时， 中点的横坐标为，中点的横坐标为， ， ， ，； ②当、为平行四边形的对角线时， 中点的横坐标为，中点的横坐标为， ， ， ，； ③当、为平行四边形的对角线时， 中点的横坐标为，中点的横坐标为， ， ， ，； 综上所述：点的坐标为，或，或，． 【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、灵活应用平行四边形的性质、并能根据对角线的情况分类讨论是解题的关键． 9．【分析】（1）依据题意，首先求出、两点坐标，再根据平行四边形的性质，可得，的纵坐标与的纵坐标相同，进而可以得解； （2）①依据题意，平分，，可得，结合、两点坐标可得，再由的纵坐标即可的边上的高，进而可以得解；②依据题意，以，，，四点组成的四边形是平行四边形，又，从而，再结合运动时间，进行分析可以得解． 【详解】（1）解：由题意，对于直线， 令，则， ． 令，则， ，． 四边形是平行四边形， ，． ，， 的纵坐标与的纵坐标相同为3，． ． ，， ，． 故答案为：3；，． （2）①由题意，平分， ． ， ． ． ． 由（1）得，，， ． 由四边形是平行四边形， ． ， ． ②设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， 分为以下情况： Ⅰ．当点的运动路线是时，， ． 此时方程，此时不符合题意． Ⅱ．当点的运动路线是时，， ， 解得：． Ⅲ．当点的运动路线是时，， ． 解得：． Ⅳ．当点的运动路线是时，， ． 解得：． 综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 10．【分析】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质可得从而得到的坐标，再由角平分线和平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标； （2）①利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可； ②要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ，，， ， ，， ，， ∴， ∵为的平分线， ， ， ， ∵为中点， ， ∴， 由勾股定理可得， ， ∴． （2）解：①∵四边形为矩形，点为的中点， ， ， 延长，交轴于点，如图： 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ∴， ， ， ， ， 把代入得：， ； ②存在，如图： ∵点是射线上的动点， ∴设， ∵， ， ， ， 要使四边形是矩形，则为直角三角形，， ，即， 解得：， ． 11．【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 12．【分析】（1）根据矩形的性质解答即可； （2）连接，由折叠的性质可得，，然后由中点坐标公式可得点F的坐标，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，可得点D的坐标，然后利用待定系数法解答即可； （3）由（2）得：，点D的坐标为，设点M的坐标为，点N的坐标为，可得，，然后分三种情况：若为边；若为边；若为边，解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为； 故答案为：；； （2）解：如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点F的中点为，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：存在， 由（2）得：，点D的坐标为， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∴，， 若为边，， ∴， 解得：或9， 当时，此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 当时，点M的坐标为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为； 若为边，， 此时， ∴或4， 当时，此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 当时，点M的坐标为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为； 若为边，， 此时， ∴， 此时点M在点A的上方，则点N在x轴的上方，不符合题意； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键． 13．【分析】（1）由点A、B的坐标知，OA＝8＝BC，故点C（2，6），即可求解； （2）PQ＝8﹣3x﹣x＝8﹣4x，而MN＝8﹣3x﹣x＝4x＝PQ，即可求解； （3）四边形PMNQ是正方形，则MN＝QN，即8﹣4x＝|3x|，即可求解． 【解答】解：（1）由点A、B的坐标知，OA＝8＝BC，故点C（2，6）， 设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得， 故直线CA的表达式为：y＝﹣x+8； （2）设点M（x，0），则P（x，3x），则点N（8﹣3x，0），则点Q（8﹣3x，3x）， 则PQ＝|8﹣3x﹣x|＝|8﹣4x|，而MN＝|8﹣3x﹣x|＝|8﹣4x|＝PQ，而PQ∥MN， 故四边形PMNQ为平行四边形， ∵∠PMN＝90°， ∴四边形PMNQ是矩形． （3）四边形PMNQ是正方形，则MN＝QN， 即|8﹣4x|＝3x，解得：x＝或8， 故答案为或8． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形和正方形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数与几何综合 【题型1】一次函数与三角形面积 1．如图，直线y＝3x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为5，试求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0），点B（0，4），点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）直接写出结果：线段AB的长 　 　，点C的坐标 　 　； （2）求直线CD的函数表达式； （3）点P在直线CD上，使得S△PAC＝2S△OAB，求点P的坐标． 3．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）在直线上是否存在点使得的面积为12．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 【题型2】一次函数与等腰三角形的存在性 4．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0）． （1）求直线AC的表达式和点B的坐标； （2）作BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x+b经过点B，交y轴于点D． ①求△ABD的面积； ②在直线AC上是否存在一点M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3】一次函数与等腰直角三角形的存在性 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标； （3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB：与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和点C（2，0）． （1）求直线AB和AC的函数表达式； （2）点P为y轴上一动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标； （3）点M为直线AC上一动点，当△ABM是等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标． 【题型4】一次函数与平行四边形的存在性 7、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15． （1）求点的坐标； （2）若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标； （3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C． （1）求直线BC的解析式； （2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标； （3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，A两点，点C在x轴上点B的右侧，四边形为平行四边形，且． （1）　 　，点C的坐标为 　 　． （2）一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． ①连接，当平分时，求此时的面积； ②另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【题型5】一次函数与矩形的存在性 10．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E． （1）求点B和点E的坐标； （2）点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点， ①连接，若请求出点P的坐标； ②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6】一次函数与菱形的存在性 11．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． （1）请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； （2）当四边形为平行四边形时，求b的值； （3）若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 12．综合与探究． 如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，． （1）点A的坐标为： ，点C的坐标为：___________ （2）把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与的交点分别为D，F，E，求直线的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）． （3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5】一次函数与正方形的存在性 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，点A（8，0），B（10，6）． （1）求直线AC的表达式； （2）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．过点M，N作x轴的垂线分别交直线OC，AC于点P，Q，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，当点M运动　 　秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）． 学科网（北京）股份有限公司 $