（复习篇）专题04 三角形的特性、分类与内角和【思维导图+知识卡片+知识梳理+十大考点讲练+真题强化 共50题】-2026-2027学年人教版数学四升五年级暑假衔接金牌讲义

null2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题04 三角形的特性、分类与内角和 人教版 思维导图+知识回顾+十大考点讲练+真题强化 （共49题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180° 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 考点一 三角形的概念及表示方法 【典例精讲】（25-26四年级上·河北邢台·期末）如图中一共有( )个三角形。 【变式训练1】（25-26四年级下·四川成都·阶段检测）数一数，填一填。 ( )个梯形，( )个平行四边形。             ( )个三角形，( )个直角。 【变式训练2】（25-26四年级上·河南三门峡·期末）如图，用橡皮筋在钉子板上围出梯形ABCD，如果只改变D点，其余三个点不变，下列说法错误的是（    ）。 A．线段AD向右延长3厘米，变成了平行四边形 B．线段AD向右延长2厘米，变成了长方形 C．线段AD向左缩短至点D和点A重合，变成了三角形 考点二 三角形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）画出下列图形指定底边上的高。 【变式训练1】（24-25四年级下·浙江杭州·期末）下图由两个边长分别为8厘米、6厘米的正方形组成，在三角形ABC中，若以AC为底，则它的高的长度为（    ）。 A．6厘米 B．8厘米 C．2厘米 D．14厘米 【变式训练2】（24-25四年级下·广东肇庆·期末）下图中阴影三角形AB边上的高是（    ）。 A．AC B．AD C．CE D．AB 考点三 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖南常德·期末）下图是施工的脚手架，工人师傅能安稳的站在脚手架上工作的原因是（    ）。 A．脚手架上的四边形具有稳定性 B．利用四边形的内角和固定性来保持稳定 C．利用了三角形的伸缩性 D．脚手架上的三角形具有稳定性 【变式训练1】（24-25四年级下·福建三明·期末）王宇同学为克服自己的惰性，把电影《哪吒2》中哪吒说的“我命由我，不由天”做成座右铭相框时时勉励自己。为了使相框立着放置，他选择用三角形支架。 (1)这里选用三角形支架是应用了三角形的____________这一特性。 (2)网上有3种组合的木条： ①8cm    15cm    6cm ②7cm    7cm    14cm ③10cm    8cm    6cm 你会建议王宇选第( )种组合的木条。（填序号）说说你的想法：________________________________________________________________________。 【变式训练2】（23-24四年级下·河北保定·期末）生活中有很多应用三角形稳定性的例子，看看下面三个图，没有利用三角形稳定性的是（    ）。 A．B．C． 考点四 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西宝鸡·期末）先画出笑笑家到小河边的最近路线，再画出从笑笑家到淘气家的最近路线。 【变式训练1】（25-26四年级上·陕西安康·期末）今年某地发生7.3级地震，导致群众受困，消防员紧急出动。如图所示，方框外是安全区域。消防员要以最短的路线带受困群众到安全区域，请画出消防员的行走路线。 【变式训练2】（24-25四年级下·河北沧州·期末）如图，萍萍的羽毛球不小心落到长方形草坪上了，她想把羽毛球捡到草坪外面。 （1）画出萍萍从A点出发去捡羽毛球的最短路线。 （2）画出萍萍捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线。 考点五 三角形三边关系 【典例精讲】（24-25四年级下·广东湛江·期末）湛江开发区某学校划分了一块三角形菜地，其中两条边分别为4米、6米，第三条边可能是（    ）米。 A．2 B．9 C．10 D．12 【变式训练1】（25-26四年级下·广东茂名·期中）有6根小棒，长度分别是1cm、2cm、5cm、6cm、8cm和15cm。淘气从这6根小棒中选了3根，首尾相接地摆出一个三角形，这个三角形的周长最短是________cm，最长是________cm。 3【变式训练2】（25-26四年级下·河南商丘·期中）已知方格纸中每个小正方形的边长为1厘米，请按要求在方格纸上画图。 （1）在方格纸中画一个钝角三角形、一个梯形和一个平行四边形。 （2）在梯形内画一条直线，将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 考点六 三角形的分类 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江杭州·期末）画一画，量一量。 ①在图方格纸中找一个点C，再与点A和点B连接后成为一个锐角三角形。 ②画出△ABC以AB为底的高。 ③量出所画高的长度（精确到毫米），约（    ）厘米。 【变式训练1】（24-25四年级下·河南新乡·期末）如图，A、C两点均在直线m上，如果点A和点B固定不动，点C沿直线m向右移动，三角形ABC不可能变成（    ）。 A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 【变式训练2】（24-25四年级下·四川雅安·期末）一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长( )厘米。一个等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，它的周长是( )厘米。 考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·河北石家庄·期末）小明用一根长36厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的2倍。这个长方形的面积是( )平方厘米。若将其改围成一个等边三角形，边长为( )厘米。 【变式训练1】（23-24四年级下·广东广州·期末）一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或( )或( )厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 考点八 画三角形 【典例精讲】（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）按要求在下面方格纸上画图。（每小格边长表示1厘米） ①画一个底6厘米，高是4厘米的等腰三角形。 ②画一个底4厘米，高是3厘米的平行四边形。 ③画一个上底是2厘米，下底6厘米，高3厘米的梯形。 【变式训练1】（25-26四年级下·广东茂名·期中）在下图的点子图中，分别画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个梯形。 【变式训练2】（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）画一画，写一写。如图，每个小方格的面积是1平方厘米。 （1）以AB为底，分别画一个高是2厘米的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 （2）观察你所画的直角三角形，它的面积是（    ）平方厘米。并说明理由。 我是这样想的： 考点九 三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·河南周口·期末）等腰三角形的一个底角和顶角的度数和是130°，它的底角是( )°，顶角是( )°。 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西商洛·期末）有一个等腰三角形。 (1)如果它的其中一个底角是75°，那么它的顶角是( )°。 (2)如果它的底比一条腰短5厘米，测得这个三角形的周长为34厘米，那么它的一条腰长是( )厘米。 【变式训练2】（24-25四年级下·海南儋州·期末）在一个三角形的三个内角中，最小的角是32°，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 考点十 多边形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·河北·单元复习）下面是三种探索五边形内角和的方法，错误的是（    ）。 A．算出3个三角形的内角和。 B．算出5个三角形的内角和，再减去360°。 C．    算出2个四边形的内角和。 【变式训练1】（24-25四年级下·山西晋中·期末）八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【变式训练2】（24-25四年级下·河南郑州·期末）中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 1．（25-26四年级下·贵州毕节·阶段检测）钝角三角形中的钝角一定（    ）。 A．大于90° B．小于90° C．等于90° 2．（2026四年级下·辽宁·专题练习）把一根20cm长的铁丝按下面方式剪，剪后不能拼成等腰三角形的是（    ）。 A． B． C． 3．（24-25四年级下·四川雅安·期末）一个三角形既是等腰三角形，又是钝角三角形，其中一个内角是40°，另外两个内角分别是（    ）。 A．40°和100° B．70°和70° C．50°和90° D．无法判断 4．（24-25四年级下·全国·课后作业）将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（    ）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大180° C．甲的内角和比乙的内角和大360° 5．（2026·湖南永州·小升初模拟）一个等腰三角形的顶角是50°，它的一个底角是( )°；另一个等腰三角形的一个底角是36°，它的顶角是( )°。 6．（25-26四年级上·河北廊坊·期末）琳琳把两个三角尺的锐角重叠在一起，如图。发现两个三角尺的重叠部分也有一个60°的锐角。阴影部分的四边形是一个( )形。∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠1、∠2、∠3的度数和是( )°。 7．（2026四年级下·辽宁·专题练习）一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是( )三角形，也可能是( )三角形，不可能是( )三角形；一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米。 8．（24-25四年级下·河南周口·期末）用一根长36厘米的铁丝围成一个三角形，若围成腰长是10厘米的等腰三角形，则底边长是( )厘米，若围成底边长是10厘米的等腰三角形，则一条腰长( )厘米。（铁丝无剩余） 9．（24-25四年级下·福建福州·期末）下图中有最大、中等、最小三种正方形，最大正方形的面积是49平方厘米，中等正方形的边长是5厘米。 请列式解答： (1)中等正方形的面积是( )平方厘米。 (2)最小正方形的面积是( )平方厘米。 (3)其中一个三角形的周长是( )厘米。 10．（24-25四年级下·重庆永川·期末）有一根长33米的铁丝，截成三段，第一段长8米，第二段长17米，截成的三段铁丝能围成一个等腰三角形。( )（判断对错） 11．（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）所有的三角形都可以密铺。( )（判断对错） 12．（24-25四年级下·陕西商洛·期末）一个三角形中最小的内角的度数是46°，这个三角形是钝角三角形。( )（判断对错） 13．（25-26四年级下·四川成都·阶段检测）求下面三角形中未知角的度数。 ( )，( )。 14．（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测）计算下列各角的度数。 （1）    （2）    （3） 15．（24-25四年级下·河北石家庄·期末）一根铁丝可以围成一个腰长12厘米，底长18厘米的等腰三角形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？ 16．（24-25四年级下·湖北黄冈·期末）某古建筑中有一个等腰三角形窗框，顶角比底角大15°。工匠需要根据角度制作窗框木条，这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？若周长是24分米，腰长比底边长3分米，三条边各长多少分米？ 17．（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文文建议李爷爷再加一根木条（图中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。 (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（    ）三角形，按边分是一个（    ）三角形。 ②求出图中和的度数。 18．（24-25四年级下·重庆永川·期末）用一根铁丝可以刚好围成一个边长为35厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个底边长为30厘米的等腰三角形，那么这个三角形的腰长是多少厘米？ 19．（24-25四年级下·全国·单元复习）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条相等的边叫做等腰三角形的腰。如下图，把一张长方形的纸按照虚线对折，减去四边形部分，并把剩余部分展开，就可以得到一个等腰三角形。 通过观察发现，等腰三角形有两个内角相等，这里两个相等的内角叫做等腰三角形的底角，两腰的夹角叫做等腰三角形的顶角，如上图所示。 例题：已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。 小明通过分析，只给出了一种可能的值，解答如下： 解：如图，原三角形的最大内角为72° 请你探索其他可能的值，仿照小明的画法画出示意图，标出角度，并回答原三角形的最大内角是多少度。 20．（21-22四年级下·浙江温州·期末）类似1，3，6，10，…这样数量的小圆点，在等距离的排列下可以形成一个等边三角形：类似1，4，9，16，…这样数量的小圆点可以摆成一个正方形，古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这些数分别称为“三角形数”和“正方形数”。 （1）如图，把个数是“正方形数”的小圆点用线分割成两部分，如果用算式来表示的话，可以得到： ，，16＝（    ）＋（    ）。 （2）如果按这样的方式分割个数是“正方形数”的小圆点，那么36＝（    ）＋（    ）。 （3）根据上面的数学材料，你能提出什么数学猜想？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题04 三角形的特性、分类与内角和 人教版 思维导图+知识回顾+十大考点讲练+真题强化 （共49题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180° 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 考点一 三角形的概念及表示方法 【典例精讲】（25-26四年级上·河北邢台·期末）如图中一共有( )个三角形。 【答案】21 【思路引导】图中所有三角形都共用同一个顶点，底边被分成了6个小线段。三角形的个数可通过从1加到底边分段数的方法计算。 【规范解答】6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝11＋7＋3 ＝18＋3 ＝21（个） 【变式训练1】（25-26四年级下·四川成都·阶段检测）数一数，填一填。 ( )个梯形，( )个平行四边形。             ( )个三角形，( )个直角。 【答案】 8 6 10 10 【思路引导】平行四边形两组对边平行且相等；梯形只有一组对边平行，并且这组对边不相等；三角形由3条线段首尾依次连接而成的封闭图形；90°的角是直角；据此从图中分别找出平行四边形、梯形、三角形、直角各有几个。 【规范解答】如图所示： 梯形：单独的梯形：③、④共2个；组合的梯形：①②、②③、④⑤、⑤⑥、①②④⑤、②③⑤⑥共6个；有8个梯形。 平行四边形：单独的平行四边形：②、⑤共2个；组合的平行四边形：①②③、④⑤⑥、②⑤、①②③④⑤⑥，共4个；有6个平行四边形。 如图所示： 、 三角形：单独的三角形：①、②、③、④、⑤共5个；组合的三角形：①③、①④、③⑤、④⑤、②③⑤共5个；有10个三角形； 直角：单独的直角：∠11、∠6、∠7、∠8、∠9共5个；组合的直角：∠1∠2、∠2∠3、∠4∠5、∠14∠15、∠12∠13共5个，有10个直角。 【变式训练2】（25-26四年级上·河南三门峡·期末）如图，用橡皮筋在钉子板上围出梯形ABCD，如果只改变D点，其余三个点不变，下列说法错误的是（    ）。 A．线段AD向右延长3厘米，变成了平行四边形 B．线段AD向右延长2厘米，变成了长方形 C．线段AD向左缩短至点D和点A重合，变成了三角形 【答案】B 【思路引导】只有一组对边平行的四边形是梯形。两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形的对边平行且相等。 长方形的对边平行且相等，长方形有四个直角。由三条线段首尾相接围成的图形是三角形。由此分析三个选项，找出错误的即可。 【规范解答】 A．如图，线段AD向右延长3厘米，这样两条对边平行且相等，原图变成了平行四边形，是正确的。 B．如图，线段AD向右延长2厘米，变成了长方形，是错误的。因为变化后的图形的对边不相等，且四个角不是直角。 C．如图，线段AD向左缩短至点D和点A重合，这样原图变成三条线段首尾相接围成的图形，变成了三角形。是正确的。 故答案为：B 考点二 三角形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）画出下列图形指定底边上的高。 【答案】 【思路引导】三角形：从底边对面的顶点向底边作垂线，顶点到底边的垂线段就是高； 平行四边形：从底边对边上任意一点向底边作垂线，垂线段就是高； 梯形：从上底任意一点向下底作垂线，垂线段就是高。 用三角尺的直角边画出三条垂直于指定底边的线段，并标上直角符号即可。 【规范解答】略 【变式训练1】（24-25四年级下·浙江杭州·期末）下图由两个边长分别为8厘米、6厘米的正方形组成，在三角形ABC中，若以AC为底，则它的高的长度为（    ）。 A．6厘米 B．8厘米 C．2厘米 D．14厘米 【答案】A 【思路引导】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。由题意得，在三角形ABC中，若以AC为底，那么需要从点B出发，向AC边的延长线作垂直线段（如下图）。 由图可知，高的长度等于小正方形的边长，所以高的长度为6厘米。 【规范解答】由分析得，在三角形ABC中，若以AC为底，则它的高的长度为6厘米。 故答案为：A 【变式训练2】（24-25四年级下·广东肇庆·期末）下图中阴影三角形AB边上的高是（    ）。 A．AC B．AD C．CE D．AB 【答案】C 【思路引导】根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高。正方形的四个角都是直角。即可求出答案。 【规范解答】根据分析，正方形的四个角都是直角，则CE垂直于AB，所以CE是三角形AB边上的高。 故答案为：C 考点三 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·湖南常德·期末）下图是施工的脚手架，工人师傅能安稳的站在脚手架上工作的原因是（    ）。 A．脚手架上的四边形具有稳定性 B．利用四边形的内角和固定性来保持稳定 C．利用了三角形的伸缩性 D．脚手架上的三角形具有稳定性 【答案】D 【思路引导】四边形容易变形，具有不稳定性；三角形具有稳定性。图中的脚手架上有三角形，而三角形具有稳定性，所以工人师傅能安稳的站在上面；据此解答。 【规范解答】由分析可知，工人师傅能安稳的站在脚手架上工作的原因是脚手架上的三角形具有稳定性。 故答案为：D 【变式训练1】（24-25四年级下·福建三明·期末）王宇同学为克服自己的惰性，把电影《哪吒2》中哪吒说的“我命由我，不由天”做成座右铭相框时时勉励自己。为了使相框立着放置，他选择用三角形支架。 (1)这里选用三角形支架是应用了三角形的____________这一特性。 (2)网上有3种组合的木条： ①8cm    15cm    6cm ②7cm    7cm    14cm ③10cm    8cm    6cm 你会建议王宇选第( )种组合的木条。（填序号）说说你的想法：________________________________________________________________________。 【答案】(1)稳定性 (2) ③ 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，8＋6＞10，10－6＜8，只有③符合三角形的三边关系，则能围成三角形。 【思路引导】（1）根据三角形具有稳定性这一特性进行解答； （2）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此依次分析①、②、③，看哪种组合符合三角形的三边关系，就选这种组合。 【规范解答】（1）这里选用三角形支架是应用了三角形的稳定性这一特性。 （2）①8＋6＜15，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； ②7＋7＝14，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； ③8＋6＞10，10－6＜8，符合三角形的三边关系，能围成三角形； 建议王宇选第③种组合的木条。 想法：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，8＋6＞10，10－6＜8，只有③符合三角形的三边关系，则能围成三角形。 【变式训练2】（23-24四年级下·河北保定·期末）生活中有很多应用三角形稳定性的例子，看看下面三个图，没有利用三角形稳定性的是（    ）。 A．B．C． 【答案】C 【思路引导】只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫作三角形的稳定性。生活中有很多利用三角形稳定性的例子，比如三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂和高压输电线的铁塔等。 【规范解答】A．自行车支架利用了三角形的稳定性。 B．篮球架后面的铁架利用了三角形的稳定性。 C．虽然图中出现三角形，但是要求的是走哪条路最近，利用三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边，进行判断得出中间那条路最短。不属于利用三角形稳定性。 故答案为：C 考点四 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西宝鸡·期末）先画出笑笑家到小河边的最近路线，再画出从笑笑家到淘气家的最近路线。 【答案】见详解 【思路引导】点到直线的最短距离是垂线段，两点之间线段最短。所以笑笑家到小河边的最近路线是过笑笑家向小河作的垂线段，笑笑家到淘气家的最近路线是连接两点的线段。 【规范解答】如图： 【变式训练1】（25-26四年级上·陕西安康·期末）今年某地发生7.3级地震，导致群众受困，消防员紧急出动。如图所示，方框外是安全区域。消防员要以最短的路线带受困群众到安全区域，请画出消防员的行走路线。 【答案】见详解 【思路引导】从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。据此解答。 【规范解答】由图可知：消防员和受困群众距右方的安全区域最近，从消防员和受困群众的点向右方的直线作垂线，把三角尺的一条直角边与右方的直线重合，沿直线移动三角尺，使消防员和受困群众所在的点在三角尺的另一条直角边上，最后沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；据此作图即可。 【变式训练2】（24-25四年级下·河北沧州·期末）如图，萍萍的羽毛球不小心落到长方形草坪上了，她想把羽毛球捡到草坪外面。 （1）画出萍萍从A点出发去捡羽毛球的最短路线。 （2）画出萍萍捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）两点之间的连线中，线段最短。画出A点和羽毛球这两点间的线段即可。 （2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。画出经过羽毛球到草坪长边的垂线段即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）画出萍萍从A点出发去捡羽毛球的最短路线如下： （2）画出萍萍捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线如下： 考点五 三角形三边关系 【典例精讲】（24-25四年级下·广东湛江·期末）湛江开发区某学校划分了一块三角形菜地，其中两条边分别为4米、6米，第三条边可能是（    ）米。 A．2 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【思路引导】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，据此解答。 【规范解答】A、6—4＝2（米），2＝2，第三条边不可能是2米； B、4＋6＝10（米），6－4＝2（米），2＜9＜10，第三条边可能是9米； C、4＋6＝10（米），10＝10，第三条边不可能是10米； D、4＋6＝10（米），10＜12，第三条边不可能是12米。 【变式训练1】（25-26四年级下·广东茂名·期中）有6根小棒，长度分别是1cm、2cm、5cm、6cm、8cm和15cm。淘气从这6根小棒中选了3根，首尾相接地摆出一个三角形，这个三角形的周长最短是________cm，最长是________cm。 【答案】 13 19 【思路引导】三角形的周长＝三条边的和。三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；周长最短时，应从小到大试组合；周长最长时，应从大到小试组合；据此解答。 【规范解答】找周长最小，从小到大试组合，满足三边关系： 1＋2＝3＜5，不能构成三角形； 1＋5＝6＝6，不能构成三角形； 2＋5＝7＞6，6－5＝1＜6，则2cm、5cm、6cm能构成三角形； 周长为：2＋5＋6 ＝7＋6 ＝13（cm） 找周长最长，从大到小试组合： 6＋8＝14＜15，不能构成三角形； 5＋8＝13＜15，不能构成三角形； 5＋6＝11＞8，6－5＝1＜8，则5cm、6cm、8cm能构成三角形； 周长为： 5＋6＋8 ＝11＋8 ＝19（cm） 所以这个三角形的周长最短是13cm，最长是19cm。 3【变式训练2】（25-26四年级下·河南商丘·期中）已知方格纸中每个小正方形的边长为1厘米，请按要求在方格纸上画图。 （1）在方格纸中画一个钝角三角形、一个梯形和一个平行四边形。 （2）在梯形内画一条直线，将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）选择三个点，使其中一个角大于90°。连接三点，先画一个钝角，在钝角的两边上各取一点，用线段把两点连接起来即可得到一个钝角三角形；先画两条长度不同的平行线段，把两条线段对应端点用线段连接起来即可得到一个梯形；画两组对边分别平行的四边形，即是平行四边形。 （2）从梯形上底的一个端点作另一腰的平行线交于下底，即可将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。据此作图。 【规范解答】（1）（2） （画法不唯一） 考点六 三角形的分类 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江杭州·期末）画一画，量一量。 ①在图方格纸中找一个点C，再与点A和点B连接后成为一个锐角三角形。 ②画出△ABC以AB为底的高。 ③量出所画高的长度（精确到毫米），约（    ）厘米。 【答案】①②见详解；③1.8（答案不唯一） 【思路引导】①锐角三角形的三个角都是锐角，即小于90°，要在图方格纸中找一个点C，再与点A和点B连接后成为一个锐角三角形，需要找到能使所画三角形的三个角都小于90°的点，画法不唯一。 ②根据①所画的三角形，以AB为底，点C为顶点，向AB作一条垂线，即为△ABC以AB为底的高。 ③用直尺量出②中所画高的长度（精确到毫米）。 【规范解答】①②如下图所示。（画法不唯一） ③量出所画高的长度（精确到毫米），约1.8厘米。（答案不唯一） 【变式训练1】（24-25四年级下·河南新乡·期末）如图，A、C两点均在直线m上，如果点A和点B固定不动，点C沿直线m向右移动，三角形ABC不可能变成（    ）。 A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 【答案】C 【思路引导】三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类可分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。根据三角形的不同分类标准，结合点C沿直线m向右移动这一条件，分析三角形ABC可能出现的形状，从而得出不可能变成的形状。 【规范解答】A．当点C移动到使得AB＝BC的位置时，三角形ABC就变成了等腰三角形； B．当点C移动到使得∠ABC＞90°的位置时，三角形ABC就变成了钝角三角形； C．等边三角形要求三条边都相等，即AB＝BC＝AC。因为点B固定，点A固定，点C在直线m上无论怎样移动，都很难同时满足AB＝BC＝AC这一条件，所以三角形ABC不可能是等边三角形。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查三角形的分类以及点的移动对三角形形状的影响。 【变式训练2】（24-25四年级下·四川雅安·期末）一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长( )厘米。一个等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】 12 20 【思路引导】等边三角形的三条边相等，用等边三角形的周长除以3，就是它的一条边的长。等腰三角形的两腰相等，所以第三条边长可能是4厘米或8厘米。三角形的任意两边之和大于第三条边，如果第三条边的长度是4厘米。4＋4＝8。不能围成三角形。所以第三条边的长度是8厘米。再把三条边的长度相加， 就是它的周长。 【规范解答】36÷3＝12（厘米） 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（厘米） 所以，一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长12厘米。一个等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，它的周长是20厘米。 考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·河北石家庄·期末）小明用一根长36厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的2倍。这个长方形的面积是( )平方厘米。若将其改围成一个等边三角形，边长为( )厘米。 【答案】 72 12 【思路引导】周长÷2＝长＋宽，由此算出长加宽的和，又因为长是宽的2倍，可以将宽看作1份，长看作2份，合起来是3份，用长加宽和除以3可算出宽，进而算出长，面积＝长×宽；等边三角形边长相等，用周长除以3可算出边长。 【规范解答】36÷2＝18（厘米） 宽：18÷（1＋2） ＝18÷3 ＝6（厘米） 长：6×2＝12（厘米） 面积：12×6＝72（平方厘米） 36÷3＝12（厘米） 长方形的面积是72平方厘米。若将其改围成一个等边三角形，边长为12厘米。 【变式训练1】（23-24四年级下·广东广州·期末）一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或( )或( )厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 【答案】 8 9 10 【思路引导】这根吸管长14厘米，第一段长4厘米，剩下吸管长14－4＝10厘米。等腰三角形的两条腰相等，则这个等腰三角形的三条边可以是4厘米、4厘米、6厘米，或者4厘米、5厘米、5厘米。根据三角形的三边关系，它们能围成等腰三角形，所以第二段就应从4＋4＝8厘米或者4＋5＝9厘米或者14－4＝10厘米处剪开。 【规范解答】14－4－4＝6（厘米） 4＋4＞6 则长4厘米、4厘米、6厘米的三条线段能围成一个三角形。 （14－4）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 4＋5＞5 则长4厘米、5厘米、5厘米的三条线段能围成一个三角形。 4＋4＝8（厘米） 4＋5＝9（厘米） 第二段从8厘米或9厘米或10厘米处剪开。 【考点剖析】本题考查等腰三角形的特性和三角形的三边关系，先根据等腰三角形的特性找出可能的三条边的组合，再根据三角形的三边关系判断这个等腰三角形的三条边的长度。 考点八 画三角形 【典例精讲】（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）按要求在下面方格纸上画图。（每小格边长表示1厘米） ①画一个底6厘米，高是4厘米的等腰三角形。 ②画一个底4厘米，高是3厘米的平行四边形。 ③画一个上底是2厘米，下底6厘米，高3厘米的梯形。 【答案】 【思路引导】先根据每小格1厘米确定各边的长度，再按图形特征画图。 ①等腰三角形：先画6厘米的底边，找到底边中点，向上数4格确定顶点，连接顶点与底边两端点； ②平行四边形：先画4厘米的底边，向上数3格画一条4厘米的平行边，再连接对应端点； ③梯形：先画6厘米的下底，向上数3格画一条2厘米的上底，再连接上下底的对应端点。 【规范解答】略 【变式训练1】（25-26四年级下·广东茂名·期中）在下图的点子图中，分别画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个梯形。 【答案】答案见详解。 【思路引导】依据锐角三角形（三个内角都小于的三角形），直角三角形（有一个内角是的三角形）和梯形（只有一组对边平行的四边形）的定义作出相对应的图。注意所有图形的顶点都必须落在点子图的黑点上。 【规范解答】根据分析： （1）选取点子图中任意三个不在同一直线上的点，确保连接后三个角都小于直角避免画成直角或钝角三角形。 三个顶点连线后，目测或用三角板检验每个角都小于。 （2）选一个顶点，让三角形的两条边分别沿水平方向和竖直方向，两条边的交点处自然形成直角，再选水平和竖直方向的两个点连接。 （3）只有一组对边平行的四边形，先画一组平行的对边（比如水平的上底和下底），再画两条不平行的腰。 作图如下： 【变式训练2】（24-25四年级下·浙江嘉兴·期末）画一画，写一写。如图，每个小方格的面积是1平方厘米。 （1）以AB为底，分别画一个高是2厘米的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 （2）观察你所画的直角三角形，它的面积是（    ）平方厘米。并说明理由。 我是这样想的： 【答案】（1）见详解 （2）4；理由见详解 【思路引导】（1）每个小方格的面积是1平方厘米，则每个小方格的边长是1厘米。有一个直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此分别画一个高是2厘米的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 （2）可以将画出的直角三角形补齐成一个长方形，直角三角形的面积是这个长方形面积的一半，根据长方形的面积＝长×宽，先计算出长方形面积再除以2，即可求出直角三角形面积。 【规范解答】（1）如图： （三角形画法不唯一） （2）4×2＝8（平方厘米） 8÷2＝4（平方厘米） 答：它的面积是4平方厘米。因为所画直角三角形的面积是长4厘米、宽2厘米的长方形面积的一半。（理由不唯一） 考点九 三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·河南周口·期末）等腰三角形的一个底角和顶角的度数和是130°，它的底角是( )°，顶角是( )°。 【答案】 50 80 【思路引导】三角形的内角和是180°，已知两个角的度数之和，利用减法计算出第三个角的度数；等腰三角形的两个底角的度数相等，用两个角的度数之和减去一个底角的度数，得到的就是顶角的度数。 【规范解答】底角：180°－130°＝50° 顶角：130°－50°＝80° 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西商洛·期末）有一个等腰三角形。 (1)如果它的其中一个底角是75°，那么它的顶角是( )°。 (2)如果它的底比一条腰短5厘米，测得这个三角形的周长为34厘米，那么它的一条腰长是( )厘米。 【答案】(1)30 (2)13 【思路引导】（1）由题目可知，明确三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相同，可用180°减去2个75°，可得一个顶角的度数。 （2）明确等腰三角形两腰相等，已知这个三角形的周长为34厘米，它的底比一条腰短5厘米，用34加上5，就相当于腰长的3倍，再除以3，就是一条腰长的长度。 【规范解答】（1）180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° （2）（34＋5）÷3 ＝39÷3 ＝13（厘米） 【变式训练2】（24-25四年级下·海南儋州·期末）在一个三角形的三个内角中，最小的角是32°，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据三角形的内角和是180°，另外两个内角的和＝180°－32°＝148°，然后进行假设，进而得出结论。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【规范解答】若其中一个角是91°，第三个角：148°－91°＝57°，三个角：32°、57°、91°，有钝角，属于钝角三角形。 若其中一个角是90°，第三个角：148°－90°＝58°，三个角：32°、58°、90°，有直角，属于直角三角形。 所以在一个三角形的三个内角中，最小的角是32°，这个三角形不一定是锐角三角形。 原题说法错误。 故答案为：× 考点十 多边形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·河北·单元复习）下面是三种探索五边形内角和的方法，错误的是（    ）。 A．算出3个三角形的内角和。 B．算出5个三角形的内角和，再减去360°。 C．    算出2个四边形的内角和。 【答案】C 【思路引导】探索五边形内角和，可以运用我们已经学过的三角形内角和、四边形内角和的知识探索。把五边形分成若干个三角形或若干个三角形和四边形。选项A将五边形分成3个三角形，用三角形内角和180°×3计算；选项B从内部一点分成5个三角形，减去中心多算的360°；选项C将五边形分成2个四边形，用四边形内角和360°×2计算，两个四边形会重复计算，不属于五边形的内角的计算方法。 【规范解答】A．将五边形分成3个三角形，180°×3＝540°，方法正确； B．从内部一点分成5个三角形，减去中心多算的360°，180°×5－360°＝900°－360°＝540°，方法正确； C．将五边形分成2个四边形，用四边形内角和360°×2＝720°，但是五边形内角和是540°，720°≠540°，方法错误。 【变式训练1】（24-25四年级下·山西晋中·期末）八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算一算。） 【答案】图见详解； 1080°； 【思路引导】把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是180°×8＝1440°，通过观察图形可知，在分成8个三角形后，原来八边形的度数和就多了中间的一个周角即360°。所以八边形的内角和等于分成的8个三角形的内角和减去中间一个周角的度数。 【规范解答】 180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 答：八边形的内角和是1080°。 【变式训练2】（24-25四年级下·河南郑州·期末）中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 （1）聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由：_____________________。 （2）你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：（                             ） 【答案】（1）我不同意聪聪的观点；理由见详解 （2） 算式：180°×6＝1080° 【思路引导】（1）求多边形的内角和时，可以将多边形分割成若干个三角形或四边形。然后根据三角形的内角和为180°、四边形的内角和为360°，来推算多边形的内角和即可。这个过程中，如果有新增的角，在计算多边形的内角和时，需要减去这部分角的度数。由题意得，聪聪把八边形分成了8个三角形，8个三角形的内角和是8×180°＝1440°。但这不是八边形的内角和，因为聪聪把中间的周角也算为了八边形的内角，所以聪聪的方法错误；乐乐把八边形分成了4个三角形和1个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于4个三角形的内角和加上1个四边形的内角。即乐乐的方法正确；贝贝把八边形分成了3个四边形，这个过程中没有新增的角，所以八边形的内角和就等于3个四边形的内角和。即乐乐的方法正确。 （2）把八边形添加5条辅助线，将八边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知八边形的内角和等于180°×6＝1080°。 【规范解答】（1）我不同意聪聪的观点。因为他把八边形分成了八个三角形，每个三角形的内角和是180°，180°×8表示8个三角形内角的和，但不是八边形的内角和，从图中可以看出多了一个周角，所以这个八边形的内角和是1440°－360°＝1080°，所以聪聪的观点是错误的。 （2） 算式：180°×6＝1080° 1．（25-26四年级下·贵州毕节·阶段检测）钝角三角形中的钝角一定（    ）。 A．大于90° B．小于90° C．等于90° 【答案】A 【思路引导】大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答即可。 【规范解答】钝角三角形中的钝角一定大于90°。 2．（2026四年级下·辽宁·专题练习）把一根20cm长的铁丝按下面方式剪，剪后不能拼成等腰三角形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边和等腰三角形定义：至少有两条边相等的三角形是等腰三角形；逐项分析判断即可。 【规范解答】A．三段长度为2cm、9cm、9cm，总长2＋9＋9＝20（cm），满足2＋9＞9，且有两条边相等，能拼成等腰三角形。 B．三段长度为5cm、5cm、10cm，总长5＋5＋10＝20（cm），但5＋5＝10，不满足“两边之和大于第三边”，无法拼成三角形，因此不能拼成等腰三角形。 C．三段长度为6cm、6cm、8cm，总长6＋6＋8＝20（cm），满足6＋6＞8，且有两条边相等，能拼成等腰三角形。 3．（24-25四年级下·四川雅安·期末）一个三角形既是等腰三角形，又是钝角三角形，其中一个内角是40°，另外两个内角分别是（    ）。 A．40°和100° B．70°和70° C．50°和90° D．无法判断 【答案】A 【思路引导】一个三角形既是钝角三角形，又是等腰三角形，它的一个内角是40°，40°若作为顶角，180°减去40°得到两个相等的底角和，再除以2等到底角是70°，这三个角均为锐角，不符合题意，所以40°一定是底角，才能是钝角三角形。根据三角形的内角和是180°，用180°减去两个相等的底角的度数就是顶角的度数，据此作答。 【规范解答】 所以另外两个内角分别是40°和100°。 4．（24-25四年级下·全国·课后作业）将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（    ）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大180° C．甲的内角和比乙的内角和大360° 【答案】C 【思路引导】甲图裁剪方式：从一个顶点向对边上一点裁剪，裁剪后图形边数增加1，变为六边形 乙图裁剪方式：从相邻两条边上非顶点处裁剪，裁剪后图形边数减少1，变为四边形 根据多边形内角和公式：内角和＝（边数-2）×180°，分别计算甲和乙的内角和，再比较大小。 【规范解答】 甲变为六边形，边数为6， 内角和 乙变为四边形，边数为4， 内角和 ，所以甲的内角和比乙的内角和大360°。 故答案为C。 5．（2026·湖南永州·小升初模拟）一个等腰三角形的顶角是50°，它的一个底角是( )°；另一个等腰三角形的一个底角是36°，它的顶角是( )°。 【答案】 65 108 【思路引导】等腰三角形的两个底角度数相等，三角形内角和等于180°，用180°－50°，求出两个底角和，再用两个底角和除以2，即可求出一个底角度数；用等腰三角形的一个底角度数乘2，求出两个底角的度数和，再用180°减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。 【规范解答】180°－50°＝130° 130°÷2＝65° 36°×2＝72° 180°－72°＝108° 一个等腰三角形的顶角是50°，它的一个底角是65°；另一个等腰三角形的一个底角是36°，它的顶角是108°。 6．（25-26四年级上·河北廊坊·期末）琳琳把两个三角尺的锐角重叠在一起，如图。发现两个三角尺的重叠部分也有一个60°的锐角。阴影部分的四边形是一个( )形。∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠1、∠2、∠3的度数和是( )°。 【答案】 直角梯形 15 120 180 【思路引导】三角尺的两种类型，等腰直角三角尺：90°、45°、45°，直角三角尺：90°、60°、30°； 观察阴影四边形，有两个直角，一组对边平行，是直角梯形； ∠1是等腰直角三角尺的锐角，所以∠1＝45°； ∠2就是等腰直角三角尺的45°角减去直角三角尺的30°角； 用加法求∠1、∠2、∠3的度数和，据此解答。 【规范解答】根据分析可知：阴影部分的四边形是一个直角梯形； ∠3：180°－60°＝120°； ∠2：45°－30°＝15°； ∠1为45°， 45°＋120°＋15° ＝165°＋15° ＝180° 所以∠1、∠2、∠3的度数和180°。 7．（2026四年级下·辽宁·专题练习）一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是( )三角形，也可能是( )三角形，不可能是( )三角形；一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】 锐角 直角 钝角 30 【思路引导】三角形的内角和为180°，已知最小的角是45°，因此剩下两个角的和是：，且第二小的角不小于45°，因此最大角＝第二小的角≤90°；若最大角＜90°，就是锐角三角形；若最大角＝90°，就是直角三角形；最大角＞90°，那第二小的角就会小于45°，和题干矛盾，因此不可能是钝角三角形；据此解答。 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：如果腰长是6厘米，，不满足三边关系，不能构成三角形；因此腰长只能是12厘米，底为6厘米，据此计算。 【规范解答】根据分析可得： 一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，不可能是钝角三角形； （厘米） 因此，一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是30厘米。 8．（24-25四年级下·河南周口·期末）用一根长36厘米的铁丝围成一个三角形，若围成腰长是10厘米的等腰三角形，则底边长是( )厘米，若围成底边长是10厘米的等腰三角形，则一条腰长( )厘米。（铁丝无剩余） 【答案】 16 13 【思路引导】封闭图形的一周边线的长度就是它的周长。等腰三角形的两腰相等，铁丝长就是它的周长。用铁丝长减去两个腰长，就是等腰三角形的底边长；用铁丝长减去底边长再除以2，就是等腰三角形的一条腰长。据此解答。 【规范解答】底边长： 36－10－10 ＝26－10 ＝16（厘米） 一条腰长： （36－10）÷2 ＝26÷2 ＝13（厘米） 9．（24-25四年级下·福建福州·期末）下图中有最大、中等、最小三种正方形，最大正方形的面积是49平方厘米，中等正方形的边长是5厘米。 请列式解答： (1)中等正方形的面积是( )平方厘米。 (2)最小正方形的面积是( )平方厘米。 (3)其中一个三角形的周长是( )厘米。 【答案】(1)25 (2)1 (3)12 【思路引导】根据正方形的面积＝边长×边长，结合“七七四十九”，可以得出最大正方形的边长是7厘米。 （1）根据正方形的面积＝边长×边长，用中等正方形的边长乘边长，即可算出中等正方形的面积。 （2）根据图片可知，最大正方形分成了四个小长方形和最小正方形，（1）算出了中等正方形的面积，用大正方形的面积减去中等正方形的面积，即可求出四个角的小三角形面积，四个角的小三角形和中等正方形阴影部分面积相等，用中等正方形的面积减去四个角的小三角形面积即可求出最小正方形的面积。 （3）观察可知，三角形的两条直角边加起来刚好是与大正方形的边长相等，三角形的斜边与中等正方形的边长相等，只需要将大正方形的边长与中等正方形的边长加起来，即可算出三角形的周长是多少。据此解答。 【规范解答】（1）5×5＝25（平方厘米） 中等正方形的面积是25平方厘米。 （2）49－25＝24（平方厘米） 25－24＝1（平方厘米） 最小正方形的面积是1平方厘米。 （3）由分析可知，大正方形边长是7厘米。 7＋5＝12（厘米） 其中一个三角形的周长是12厘米。 【考点剖析】本题主要考查正方形面积与三角形周长知识，解决此题时，要注意运用转化思想。 10．（24-25四年级下·重庆永川·期末）有一根长33米的铁丝，截成三段，第一段长8米，第二段长17米，截成的三段铁丝能围成一个等腰三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】用总长度减去前两段长度求出第三段长度，观察三边长度，看是否有两条边相等判断是否等腰，用三角形两边之和大于第三边验证能否围成三角形。 【规范解答】33－8－17 ＝25－17 ＝8（米） 三边长度8米、17米、8米；8＝8存在两条相等边；8＋8＝16，16＜17不满足两边之和大于第三边，无法围成三角形。说法错误。 故答案为：× 11．（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）所有的三角形都可以密铺。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】平面密铺要求拼接点处的角度和为360°，任意三角形的内角和都是180°，2个三角形的内角和正好是360°，且三角形可以通过拼接做到不留空隙、不重叠地铺满平面。 【规范解答】180°×2＝360° 所有的三角形都可以密铺，原题说法正确。 故答案为：√ 12．（24-25四年级下·陕西商洛·期末）一个三角形中最小的内角的度数是46°，这个三角形是钝角三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意可知，三角形中另外两个内角每个角都不能小于46°。因此用三角形内角和－46°，可求出另外两个角的和，再假设是钝角三角形，则另外的两个角中有一个肯定是钝角，取最小的钝角的值（91°），用两个角的和－91°，求出另一个角的度数，与46°进行比较，如果大于46°，则满足题意，如果小于46°，则不满足题意，据此解答。 【规范解答】180°－46°＝134° 134°－91°＝43° 43°＜46°，不符合题意，故原题说法错误。 故答案为：× 13．（25-26四年级下·四川成都·阶段检测）求下面三角形中未知角的度数。 ( )，( )。 【答案】 40°/40度 70°/70度 【思路引导】已知∠A的外角为110°，平角度数是180°，因此三角形内的∠1＝180°－110°＝70°。因为AB＝BC，等腰三角形相等的边对的角相等，所以∠C＝∠1＝70°。三角形内角和为180°，因此∠B＝180°－70°－70°＝40°。 【规范解答】∠1＝180°－110°＝70° AB＝BC ∠C＝∠1＝70° ∠B＝180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 14．（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测）计算下列各角的度数。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1）74° （2）61° （3）53° 【思路引导】利用三角形内角和是180度，减去已知两个角即可；其中直角是90度。据此作答。 【规范解答】（1）180－31－75＝74°； （2）180－58－61＝61°； （3）180－90－37＝53°。 15．（24-25四年级下·河北石家庄·期末）一根铁丝可以围成一个腰长12厘米，底长18厘米的等腰三角形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？ 【答案】14厘米 【思路引导】先根据等腰三角形周长公式求出铁丝总长度，等腰三角形周长＝腰长×2＋底边长；铁丝长度不变，等边三角形三条边相等，等边三角形边长＝周长÷3。 【规范解答】12×2＋18 ＝24＋18 ＝42（厘米） 42÷3＝14（厘米） 答：等边三角形的边长是14厘米。 16．（24-25四年级下·湖北黄冈·期末）某古建筑中有一个等腰三角形窗框，顶角比底角大15°。工匠需要根据角度制作窗框木条，这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？若周长是24分米，腰长比底边长3分米，三条边各长多少分米？ 【答案】55°、55°、70°；腰长9分米，底边长6分米。 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，两条腰的长度相等。三角形的内角和是180°，用180°减去15°算出结果，再除以3，就是底角的度数。再用底角的度数加上15°就是顶角的度数。 用周长减去两个3分米。算出结果再除以3，就是底边的长。再加上3分米就是腰长。 【规范解答】（180°－15°）÷3 ＝165°÷3 ＝55° 55°＋15°＝70° （24－2×3）÷3 ＝（24－6）÷3 ＝18÷3 ＝6（分米） 6＋3＝9（分米） 答：这个等腰三角形的三个内角分别是55°、55°、70°。腰长9分米，底边长6分米。 17．（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文文建议李爷爷再加一根木条（图中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。 (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（    ）三角形，按边分是一个（    ）三角形。 ②求出图中和的度数。 【答案】(1) 三角形具有稳定性 (2) ① 锐角；等腰 ② ∠2＝75°，∠3＝30° 【思路引导】（1）四边形容易变形，具有不稳定性；三角形不容易变形，具有稳定性。加一根木条将四边形分成两个三角形，利用了三角形的稳定性。 （2）已知AB＝AC，所以按边分是等腰三角形；∠1和∠ABC组成平角，用180°减去∠1的度数，求出∠ABC的度数，∠2＝∠ABC，再用180°减去2个底角，求出顶角∠3。三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。在三角形中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 【规范解答】（1）答：文文这样建议的理由是三角形具有稳定性。 （2）若图中AB＝AC，∠1＝105°。 ①木条围成的三角形ABC按角分是一个锐角三角形，按边分是一个等腰三角形。 ②∠ABC＝180°－105°＝75° ∠2＝∠ABC＝75° ∠3＝180°－75°－75°＝105°－75°＝30° 答：∠2的度数是75°，∠3的度数是30°。 18．（24-25四年级下·重庆永川·期末）用一根铁丝可以刚好围成一个边长为35厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个底边长为30厘米的等腰三角形，那么这个三角形的腰长是多少厘米？ 【答案】55厘米 【思路引导】根据正方形周长＝边长×4，计算出铁丝的长度，再用铁丝长度减去三角形底边长度，算出两腰的总长度，因为等腰三角形两腰相等，所以一个腰长就是两腰总长度除以2，即可得出结果。 【规范解答】35×4＝140（厘米）   140－30＝110（厘米）   110÷2＝55（厘米） 答：这个三角形的腰长是55厘米。 19．（24-25四年级下·全国·单元复习）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条相等的边叫做等腰三角形的腰。如下图，把一张长方形的纸按照虚线对折，减去四边形部分，并把剩余部分展开，就可以得到一个等腰三角形。 通过观察发现，等腰三角形有两个内角相等，这里两个相等的内角叫做等腰三角形的底角，两腰的夹角叫做等腰三角形的顶角，如上图所示。 例题：已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。 小明通过分析，只给出了一种可能的值，解答如下： 解：如图，原三角形的最大内角为72° 请你探索其他可能的值，仿照小明的画法画出示意图，标出角度，并回答原三角形的最大内角是多少度。 【答案】90°；108°；132°；126°；图见详解 【思路引导】等腰三角形两条腰长度相等，两个底角相等，三角形内角和是180°，根据等腰三角形的特征和三角形内角和画出图形，并确定每个角的大小，然后确定最大角的度数即可。 【规范解答】①如图∠A＝36°，AD＝BD，CD＝BD；∠ABD＝36°； 180°－36°－36° ＝144°－36° ＝108° 所以∠ADB＝108°； ∠BDC＝180°－108°＝72°； （180°－72°）÷2 ＝108°÷2 ＝54° ∠C＝∠BDC＝54° 最大角是36°＋54°＝90°； ② ∠B＝36°，BD＝AB，AD＝DC； （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° ∠BDA＝72°，∠ADC＝180°－72°＝108°； （180°－108°）÷2 ＝72°÷2 ＝36° ∠DAC＝∠C＝36°； 最大角是72°＋36°=108°； ③如图∠ABC＝36°，让∠CBD＝24°，AD＝BD，CD＝BC，∠CDB＝24°， 180°－24°×2 ＝180°－48° ＝132° ∠ABD＝∠BAD＝36°－24°＝12°； 180°－12°×2 ＝180°－24° ＝156° ∠ADB＝156°； 最大角是132°； ④如图∠B＝36°，AD＝AB＝CD，∠ADB＝36°， 180°－36°×2 ＝180°－72° ＝108° ∠BAD＝108° 180°－36°＝144° （180°－144°）÷2 ＝36°÷2 ＝18° ∠C＝∠BAC＝18°； 最大角是108°＋18°＝126° 【考点剖析】分情况讨论，36°可以为顶角也可以为底角，或者是将36°拆分成两个角，三角形内角和是180°，根据依据等腰三角形性质分析内角组合，通过分割条件推导，得出最大内角可能值。 20．（21-22四年级下·浙江温州·期末）类似1，3，6，10，…这样数量的小圆点，在等距离的排列下可以形成一个等边三角形：类似1，4，9，16，…这样数量的小圆点可以摆成一个正方形，古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这些数分别称为“三角形数”和“正方形数”。 （1）如图，把个数是“正方形数”的小圆点用线分割成两部分，如果用算式来表示的话，可以得到： ，，16＝（    ）＋（    ）。 （2）如果按这样的方式分割个数是“正方形数”的小圆点，那么36＝（    ）＋（    ）。 （3）根据上面的数学材料，你能提出什么数学猜想？ 【答案】（1）6；10 （2）15；21 （3）任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。 【思路引导】1＋2＝3；3＋3＝6；6＋4＝10；10＋5＝15；15＋6＝21；21＋7＝28，因此等距离排列的等边三角形需要小圆点的数量依次为1，3，6，10，15，21，28，…；1＋3＝4；3＋6＝9；6＋10＝16；在等距离排列的正方形中，需要小圆点的数量依次为1，4，9，16，…，由此可知：“正方形数”大于1时，其需要小圆点的数量等于两个相邻的“三角形数”之和，依此解答此题即可。 【规范解答】（1）根据分析可知：16＝6＋10； （2）10＋15＝25；15＋21＝36，则36＝15＋21； （3）上面的数学材料，我的猜想是：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。 【考点剖析】此题考查的是数字排列的规律，以及图形的变化规律，在解题时应找出规律再解答。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题04三角形的特性、分类与内角和 思维导图+知识回顾+十大考点讲练+真题强化（共49题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 四年级/下册 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 一、三角形的定义与组成★ ★四、三角形的分类★ 1.定义 由3条线段首尾相连围成的图形 ①按角分类 (每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。 ①纯角三角形：有一个角是钝角 2.组成 (小于90°)。 纯角三角形 直鱼三角彩 银角三角形 顶点A 三角形有3条边、3个角和3个顶点 2直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 边 、边 ③锐角三角形：有一个角是锐角（大于90°且小于180°）， 其余两个角为说角 B人角 角△G 边 ②按边分类 不等边三角形 二、三角形的表示方法★ 三角形 等腰三角形 注意：等边三角形 1.顶点表示法 按边分类 两边三角形 是特殊的等腰三角形 用3个大写字母表示三角形的3个顶点。 例如：三角形ABC(顶点为A,B、C) 等边三角形 (三边相等) 2,边长表示法 ★五、三角形的三边关系★ 三角形任意两边之和大于第三边 3.角度表示法 用三个内角的大小表示三角形。 三角形的 任意两边之差小于第三边。 例如：三角形ABC的三个内角分别为∠A,∠B∠C 判断能否围成 可记作a.B、Y。 特性、分类与内角和 2入3 三角形时， 6 记住“两和大于 三、三角形的特性★ 四年级数学下册专题04 7 6 第三边”！ 正确示例⊙ 错误示例⑧ ①三角形具有稳定性，不易变形。 →应用：三架，房梁加、斜钉木条定窗框等。 六、三角形的内角和★ 巧妙验证内角和 ②三角形的高 从三角形的一个质点向它的对边作一条垂线 ①三角形的内角和是180° 方法一：斯一渐 顶点和垂足之阔的线段叫做三角形的高】 思三角彩的三个角 (底与高互相对应) 求第三个角的度数 剪下来，耕在起。 正好组-个平角△△△ 180). 自四边形的内角和是360°。 ④多边形的内角和公式： 方法二：画一面 ③三角形的底边 通过过顶点作平行线 因为三角形有3个顶点，过每个预点都可以向对边 内角和=（边数-2）×180 等方法，也能给证三 作一条垂线，所以三角形有3条高，对应3条底边。 角形内角和为180° ★三角形由3条边、3个角和3个顶点组成，具有稳定性。 ★三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 知识小结凸 ·按角分为：钝角三角形、直角三角形、锐角三角形。 ·按边分为：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 ★三角形内角和是180°，多边形内角和=（边数-2）×180° 知识梳理温故知新 知识点一三角形的概念与表示 1,三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角 形。 2.三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 第2页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 顶点 边 顶点人角 角入顶点 边 3.三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法 和角度表示法。 (1)顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的 顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 (2)边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角 形ABC的三条边分别为AB、BC和AC,可以用a、b和c表示。 (3)角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三 角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用a、B和Y表示。 知识点二三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三三角形的高 1.三角形的高和底从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图)。 高 底 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这 条高所对应的底。 2.三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以 任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。 (如下图) 第3页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 高 高 高 B 高 C 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ￥ ￥ ￥ :3条高都在三角形 条高在三角形的内部，男外2条 条高在兰角形的内部，另外 的内部。 :高是三角形的两条直角边。 2条高在三角形的外部。 知识点四两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六三角形的分类 1,三角形按角分类。 (1)锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 (2)直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 (3)钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°)，其余两个角为锐角。 2.三角形按边分类。 三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形（两边相等） 等腰三角形 等边三角形（三边相等） 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七三角形和多边形的内角和 1.三角形的内角和是1809 2.在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的 度数或用180°减去这两个角的度数和。 3.四边形的内角和是360°。 4.多边形的内角和公式。 (1)多边形的内角和是180°×（边数一2)。 (2)通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 第4页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 四边形 五边形 边开形 分割 分割 分割 优选题型考点讲练 考点一三角形的概念及表示方法 【典例精讲】(25-26四年级上·河北邢台·期末)如图中一共有( )个三角形。 【变式训练1】（25-26四年级下·四川成都·阶段检测)数一数，填一填。 )个梯形，（)个平行四边形。 )个三角形，（)个直角。 【变式训练2】(25-26四年级上·河南三门峡·期末)如图，用橡皮筋在钉子板上围出梯形ABCD, 如果只改变D点，其余三个点不变，下列说法错误的是()。 D。。 B◆ 1cm A.线段AD向右延长3厘米，变成了平行四边形 B.线段AD向右延长2厘米，变成了长方形 C.线段AD向左缩短至点D和点A重合，变成了三角形 第5页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点二三角形的高及画法 【典例精讲】(25-26四年级下·河南周口·阶段检测)画出下列图形指定底边上的高。 底 底 【变式训练1】(24-25四年级下·浙江杭州·期末)下图由两个边长分别为8厘米、6厘米的正方 形组成，在三角形ABC中，若以AC为底，则它的高的长度为()。 A.6厘米 B.8厘米 C.2厘米 D.14厘米 【变式川练2】（24-25四年级下·广东肇庆·期末)下图中阴影三角形AB边上的高是()。 D E A B A.AC B.AD C.CE D.AB 考点三三角形的稳定性及应用 【典例精讲】(24-25四年级下·湖南常德·期末)下图是施工的脚手架，工人师傅能安稳的站在脚 手架上工作的原因是（)。 A.脚手架上的四边形具有稳定性 B.利用四边形的内角和固定性来保持稳定 C.利用了三角形的伸缩性 第6页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 D.脚手架上的三角形具有稳定性 【变式训练1】(24-25四年级下·福建三明·期末)王宇同学为克服自己的惰性，把电影《哪吒2》 中哪吒说的“我命由我，不由天”做成座右铭相框时时勉励自己。为了使相框立着放置，他选择用三 角形支架。 (1)这里选用三角形支架是应用了三角形的 这一特性。 (2)网上有3种组合的木条： (①8cm15cm6cm ②7cm7cm14cm ③10cm8cm6cm 你会建议王宇选第( )种组合的木条。（填序号)说说你的想法： 【变式训练2】（23-24四年级下·河北保定·期末)生活中有很多应用三角形稳定性的例子，看看 下面三个图，没有利用三角形稳定性的是(）。 小明上学走哪条路近？ 邮局 小明家 学校 商店 考点四两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】(25-26四年级上·陕西宝鸡·期末)先画出笑笑家到小河边的最近路线，再画出从笑 笑家到淘气家的最近路线。 笑笑家 ·淘气家 小 河 第7页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】(25-26四年级上·陕西安康·期末)今年某地发生7.3级地震，导致群众受困，消 防员紧急出动。如图所示，方框外是安全区域。消防员要以最短的路线带受困群众到安全区域，请画 出消防员的行走路线。 安全区域 安 安 区 区 消防员和 域 受困群众 安全区域 【变式训练2】（24-25四年级下·河北沧州·期未)如图，萍萍的羽毛球不小心落到长方形草坪上 了，她想把羽毛球捡到草坪外面。 羽毛球。 (1)画出萍萍从A点出发去捡羽毛球的最短路线。 (2)画出萍萍捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线。 考点五三角形三边关系 【典例精讲】(24-25四年级下·广东湛江·期未)湛江开发区某学校划分了一块三角形菜地，其中 两条边分别为4米、6米，第三条边可能是()米。 A.2 B.9 C.10 D.12 【变式训练1】（25-26四年级下·广东茂名·期中)有6根小棒，长度分别是1cm、2cm、5cm、6cm 8cm和15cm。淘气从这6根小棒中选了3根，首尾相接地摆出一个三角形，这个三角形的周长最短是 cm,最长是 cm。 3【变式训练2】(25-26四年级下·河南商丘·期中)已知方格纸中每个小正方形的边长为1厘米， 请按要求在方格纸上画图。 (1)在方格纸中画一个钝角三角形、一个梯形和一个平行四边形。 (2)在梯形内画一条直线，将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 第8页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点六三角形的分类 【典例精讲】(24-25四年级下·浙江杭州·期末)画一画，量一量。 B ①在图方格纸中找一个点C,再与点A和点B连接后成为一个锐角三角形。 ②画出△ABC以AB为底的高。 ③量出所画高的长度（精确到毫米），约()厘米。 【变式训练1】（24-25四年级下·河南新乡·期末)如图，A、C两点均在直线m上，如果点A和点 B固定不动，点C沿直线m向右移动，三角形ABC不可能变成(）。 B m A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 【变式训练2】(24-25四年级下·四川雅安·期末)一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边 长( )厘米。一个等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，它的周长是( )厘米。 考点七等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】(24-25四年级下·河北石家庄·期末)小明用一根长36厘米的铁丝围成一个长方形， 长是宽的2倍。这个长方形的面积是( )平方厘米。若将其改围成一个等边三角形，边长为 )厘米。 【变式训川练1】（23-24四年级下·广东广州·期末)一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处 剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或()或( )厘米处剪开，剪 第9页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 @回 01厘米234567891011121314 考点八画三角形 【典例精讲】(25-26四年级下·河南周口·阶段检测)按要求在下面方格纸上画图。（每小格边长 表示1厘米) ①画一个底6厘米，高是4厘米的等腰三角形。 ②画一个底4厘米，高是3厘米的平行四边形。 ③画一个上底是2厘米，下底6厘米，高3厘米的梯形。 【变式训练1】(25-26四年级下·广东茂名·期中)在下图的点子图中，分别画出一个锐角三角形、 一个直角三角形和一个梯形。 ●● ● ● 【变式训练2】(24-25四年级下·浙江嘉兴·期末)画一画，写一写。如图，每个小方格的面积是 1平方厘米。 (1)以AB为底，分别画一个高是2厘米的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 (2)观察你所画的直角三角形，它的面积是()平方厘米。并说明理由。 第10页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 我是这样想的： 考点九三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·河南周口·期末)等腰三角形的一个底角和顶角的度数和是130°， 它的底角是( )°，顶角是()°。 【变式训练1】(24-25四年级下·陕西商洛·期末)有一个等腰三角形。 (1)如果它的其中一个底角是75°，那么它的顶角是( )°。 (2)如果它的底比一条腰短5厘米，测得这个三角形的周长为34厘米，那么它的一条腰长是( 厘米。 【变式训练2】(24-25四年级下·海南儋州·期末)在一个三角形的三个内角中，最小的角是32°， 这个三角形一定是锐角三角形。（)（判断对错） 考点十多边形的内角和 【典例精讲】(25-26四年级下·河北·单元复习)下面是三种探索五边形内角和的方法，错误的是 ()。 A. 算出3个三角形的内角和。 B 算出5个三角形的内角和，再减去360°。 C. 算出2个四边形的内角和。 【变式训练1】(24-25四年级下·山西晋中·期末)八角窗作为我国古代建筑中极具特色的设计形 式，其正八边形的轮廓不仅承载着象征八方来财的文化寓意，更蕴含了精妙的几何原理。研学小组来 到渠家大院实地参观时，发现门楼上有一个正八边形的八角窗，奇奇联想到课堂上探究三角形、四边 形内角和的场景。聪明的你能用喜欢的方法探究八边形的内角和是多少吗？（可以在图中画一画、算 一算。) 第11页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练2】(24-25四年级下·河南郑州·期未)中国古代八角桌的“八角”形状代表着“五行 八卦”，象征着阴阳相合、万物生长。趣味课上聪聪和同学们一起根据八角桌探究八边形的内角和。 聪聪 乐乐 贝贝 (1)聪聪：我把八边形分成了8个三角形，所以它的内角和是180°×8=1440°。 乐乐：我把八边形分成了4个三角形和1个四边形，所以它的内角和是180°×4+360°=1080°。 贝贝：我把八边形分成了3个四边形，所以它的内角和是360°×3=1080°。 你同意或不同意谁的观点，请写出理由： (2)你还有其他的方法来求八边形的内角和吗？在下面的八边形上画一画，并写出求内角和的算式。 算式：( ) 真题汇编能力强化 1.（25-26四年级下·贵州毕节·阶段检测)钝角三角形中的钝角一定（)。 A.大于90 B.小于90° C.等于909 2.(2026四年级下·辽宁·专题练习)把一根20cm长的铁丝按下面方式剪，剪后不能拼成等腰三角 形的是（)。 2cm 9cm 9cm A. 7 5cm 5cm 10cm B. 6cm6cm 8cm C. 3.(24-25四年级下·四川雅安·期末)一个三角形既是等腰三角形，又是钝角三角形，其中一个内 角是40°，另外两个内角分别是（)。 A.40°和100°B.70°和70° C.50°和90° D.无法判断 第12页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 4.(24-25四年级下·全国·课后作业)将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个 角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（）。 甲 A.甲和乙的内角和相等B.甲的内角和比乙的内角和大180°C.甲的内角和比乙的内角和大 360° 5.(2026·湖南永州·小升初模拟)一个等腰三角形的顶角是50°，它的一个底角是( )°； 另一个等腰三角形的一个底角是36°，它的顶角是( )°。 6.（25-26四年级上·河北廊坊·期末)琳琳把两个三角尺的锐角重叠在一起，如图。发现两个三角 尺的重叠部分也有一个60°的锐角。阴影部分的四边形是一个( )形。∠2=( )°， ∠3=( )°，∠1、∠2、∠3的度数和是( )°。 60° 7.(2026四年级下辽宁专题练习)一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是（) 三角形，也可能是( )三角形，不可能是( )三角形；一个等腰三角形的两条边长分别是6 厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米。 8.(24-25四年级下·河南周口·期末)用一根长36厘米的铁丝围成一个三角形，若围成腰长是10 厘米的等腰三角形，则底边长是( )厘米，若围成底边长是10厘米的等腰三角形，则一条腰长 )厘米。（铁丝无剩余） 9.（24-25四年级下·福建福州·期末)下图中有最大、中等、最小三种正方形，最大正方形的面积 是49平方厘米，中等正方形的边长是5厘米。 请列式解答： 第13页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 (1)中等正方形的面积是（ )平方厘米。 (2)最小正方形的面积是( )平方厘米。 (3)其中一个三角形的周长是( )厘米。 10.（24-25四年级下·重庆永川·期末)有一根长33米的铁丝，截成三段，第一段长8米，第二段 长17米，截成的三段铁丝能围成一个等腰三角形。（ )(判断对错) 11.（25-26四年级下·河南周口·阶段检测)所有的三角形都可以密铺。（)（判断对错） 12.（24-25四年级下·陕西商洛·期末)一个三角形中最小的内角的度数是46°，这个三角形是钝 角三角形。( )(判断对错) 13.(25-26四年级下·四川成都·阶段检测)求下面三角形中未知角的度数。 110°04 BA △CAB=BC ∠B=( ),∠C=( )。 14.(25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测)计算下列各角的度数。 58 379 (1)B31° 758C ,61 7 (2)B (3)B 0 15.（24-25四年级下·河北石家庄·期末)一根铁丝可以围成一个腰长12厘米，底长18厘米的等腰 三角形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？ 第14页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 16.（24-25四年级下·湖北黄冈·期末)某古建筑中有一个等腰三角形窗框，顶角比底角大15°。 工匠需要根据角度制作窗框木条，这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？若周长是24分米，腰长 比底边长3分米，三条边各长多少分米？ 17.（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测)李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文 文建议李爷爷再加一根木条（图中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。 (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中AB=AC,∠1=105°。 ①木条围成的三角形ABC按角分是一个()三角形，按边分是一个()三角形。 ②求出图中∠2和∠3的度数。 18.(24-25四年级下·重庆永川·期末)用一根铁丝可以刚好围成一个边长为35厘米的正方形，如 果用这根铁丝围成一个底边长为30厘米的等腰三角形，那么这个三角形的腰长是多少厘米？ 第15页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 19.(24-25四年级下·全国·单元复习)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条相等的边叫 做等腰三角形的腰。如下图，把一张长方形的纸按照虚线对折，减去四边形部分，并把剩余部分展开， 就可以得到一个等腰三角形。 AA顶角 底角 底角 C△ △B 通过观察发现，等腰三角形有两个内角相等，这里两个相等的内角叫做等腰三角形的底角，两腰的夹 角叫做等腰三角形的顶角，如上图所示。 例题：已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最 大内角的所有可能值。 小明通过分析，只给出了一种可能的值，解答如下： 解：如图，原三角形的最大内角为72° 36 108公D 3672 B236°728c 请你探索其他可能的值，仿照小明的画法画出示意图，标出角度，并回答原三角形的最大内角是多少 度。 第16页共17页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 20.（21-22四年级下·浙江温州·期末)类似1,3,6,10，…这样数量的小圆点，在等距离的排列 下可以形成一个等边三角形：类似1,4,9,16，“这样数量的小圆点可以摆成一个正方形，古希腊著 名的毕达哥拉斯学派把这些数分别称为“三角形数”和“正方形数”。 (1)如图，把个数是“正方形数”的小圆点用线分割成两部分，如果用算式来表示的话，可以得到： ●●●0 ●●●● 0●● ●● 6●●● 4=1+3 9=3+6 4=1+3,9=3+6,16=（)+（)。 (2)如果按这样的方式分割个数是“正方形数”的小圆点，那么36=()十（)。 (3)根据上面的数学材料，你能提出什么数学猜想？ 第17页共17页null