第3章 代数式 单元测试-2026-2027学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 本卷为初中数学代数式单元复习卷，以核心素养为导向，覆盖代数式书写、整式运算等核心知识，通过现实情境与规律探究题设计，实现基础巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|代数式书写、同类项、整式运算|基础概念辨析，如第2题规范书写格式| |填空题|10/20|列代数式、系数、规律探究|结合文化与生活，如第11题内蒙古美食计费、17题洛书幻方| |解答题|9/64|化简求值、实际应用、新运算、规律证明|分层设计，如24题购物方案（模型意识）、25题整除证明（推理能力）、27题点阵与密铺规律（创新意识）|

第3章 代数式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 3．下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．的3倍与2的和，列代数式是（     ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 7．如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（     ） A．0 B． C． D． 8．用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．单项式的系数为________． 10．计算的结果为_________． 11．蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 12．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 13．若，互为倒数，且满足，则________． 14．当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 15．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 16．观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 17．“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 18．若实数同时满足，则的值为__________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）化简： (1) (2) 20．（6分）先化简，再求值： ，其中． 21．（6分）已知， (1)化简 (2)若，，求的值． 22．（7分）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 23．（7分）对于有理数，定义了一种新运算“※”为：※， 如： ， (1)计算：① ；② ． (2)若 ，且，求的表达式． (3)若 ， ，且 ，求 的值． 24．（8分）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 25．（8分）[材料1]我们知道像12，27，36，45，108…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． [材料2]若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3 整除． [材料3]设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（均为整数，且），记，数字和． [解决问题] (1)如果能被3整除，那么______（填“能”或“不能”）被3整除； (2)求证：一定能被3整除； (3)若三位数n是能被3整除的偶数，且满足，请直接写出3个符合条件的三位数n． 26．（8分）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 27．（8分）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第3章 代数式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 3．下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．的3倍与2的和，列代数式是（     ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 7．如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（     ） A．0 B． C． D． 8．用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．单项式的系数为________． 10．计算的结果为_________． 11．蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 12．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 13．若，互为倒数，且满足，则________． 14．当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 15．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 16．观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 17．“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 18．若实数同时满足，则的值为__________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）化简： (1) (2) 20．（6分）先化简，再求值： ，其中． 21．（6分）已知， (1)化简 (2)若，，求的值． 22．（7分）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 23．（7分）对于有理数，定义了一种新运算“※”为：※， 如： ， (1)计算：① ；② ． (2)若 ，且，求的表达式． (3)若 ， ，且 ，求 的值． 24．（8分）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 25．（8分）[材料1]我们知道像12，27，36，45，108…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． [材料2]若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3 整除． [材料3]设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（均为整数，且），记，数字和． [解决问题] (1)如果能被3整除，那么______（填“能”或“不能”）被3整除； (2)求证：一定能被3整除； (3)若三位数n是能被3整除的偶数，且满足，请直接写出3个符合条件的三位数n． 26．（8分）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 27．（8分）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D B B B C B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 10. / 11. 12. 或 13. 14. 15. 16. 17. 18. 25 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（6分） 20．（6分） 【答案】， 【分析】先根据整式加减运算法则进行计算，然后再代入数值计算即可． 【详解】解： ，（4分） 当时，原式．（6分） 21．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整式的加减法代入计算即可求解； （2）将 ，代入（1）中所求的代数式中，即可求解． 【详解】（1）解：，， ；（3分） （2）解：当，时， ．（6分） 22．（7分） 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：．（3分） （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）．（7分） 23．（7分） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）根据得，进而根据新定义的运算方法进行计算即可； （3）利用作差法比较的大小关系，根据新定义的运算方法进行计算求解即可. 【详解】（1）解：① ；（2分） ②； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ；（4分） （3）解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得， ∴ .（7分） 24．（8分） 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可； （2）①将代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； （2分） ②若在乙商店购买，所需总费用为元；（4分） （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠；（6分） ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元．（8分） 25．（8分） 【答案】(1) 能 (2) 见解析 (3) 126，144，216（答案不唯一） 【分析】（1）根据，能被3整除，得到能被3整除，进而得到能被3整除； （2）求出，即可得出结论； （3）易得能被3整除，结合，且为偶数，作答即可． 【详解】（1）解：∵，且能被3整除， ∴能被3整除， ∵，都能被3整除， ∴能被3整除；（2分） （2）证明：∵，， ∴， ∵均能被3整除， ∴ 一定能被3整除；（5分） （3）解：∵能被3整除， ∴能被3整除， 又∵，且为偶数，， ∴可以为：126，144，216等．（8分） 26．（8分） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题干信息得出答案即可； （2）分别计算，，即可得出结论； （3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴；（2分） （2）证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得；（5分） （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴．（8分） 27．（8分） 【答案】(1)①5；② (2)①6，30；② (3)还需要600块正三角形地砖 【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果； （2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可； （3）根据（2）中规律进行作答即可. 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； …， ∴；；（2分） （2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形；（5分） （3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．（8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为代数式求值题，只需将已知的的值代入所求代数式，通过有理数加法计算即可得到结果． 【详解】解：当时，． 2．下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式书写需遵循以下规则：数字与数字相乘，不能将乘号简写为；带分数与字母相乘，需先化为假分数；数字与字母相乘时，数字写在字母前，字母与字母相乘可省略乘号．掌握代数式的基本书写规则即可判断出正误，得到答案． 【详解】解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 3．下面不是同类项的是（     ） A．与4 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A中，和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项； ∵ 选项B中，与所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项； ∵ 选项C中，与所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项； ∵ 选项D中，所含字母为m，所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B中，根据合并同类项法则，，运算正确，∴B正确； 选项C中，根据去括号法则，，∴C错误； 选项D中，根据去括号法则，，∴D错误. 5．的3倍与2的和，列代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据文字描述列代数式. 解题思路是先表示出的3倍，再表示出它与2的和，即可得到正确结果. 【详解】解：∵的3倍可表示为 , ∴的3倍与2的和可表示为 ． 6．若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 7．如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出纵向三个整式之和，然后列式表示出“？”并用整式的加减运算化简即可． 【详解】解：纵向三个整式之和为：， 由题意可得：“？”为． 8．用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 【答案】B 【分析】先分别确定第①，②，③图形中三角形的个数，即可得出数字变化特点，再根据规律解答． 【详解】解：第①个图形共有4个三角形； 第②个图形共有个三角形； 第③个图形共有个三角形； 第④个图形共有个三角形， 第⑨个图形共有个三角形． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．单项式的系数为________． 【答案】 【分析】单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单项式中，数字因数为． 【详解】解：单项式的系数为． 10．计算的结果为_________． 【答案】/ 【详解】解：原式 ． 11．蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据总价等于单价乘以数量，分别求出购买蒙古馅饼和稀果羹的费用，再将两者相加，即可得到总费用． 【详解】解：由题意可得：购买张蒙古馅饼的总费用为元， 购买杯稀果羹的总费用为元， 总费用为元. 12．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． 13．若，互为倒数，且满足，则________． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，单项式乘多项式的运算，根据倒数的定义得到，展开原式后代入计算即可求出的值． 【详解】解：，互为倒数， ， 将展开得：， 把代入得：， 解得． 14．当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 【答案】 【分析】先将代入已知代数式，求出的值，再将代入待求代数式，整体代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， ； 当时，． 15．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】先根据数轴以及已知条件得出，再化简绝对值，最后再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 16．观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 【答案】 【详解】分别观察式子中系数和指数的变化规律，得出后面的式子即可． 【解题思路】解：观察式子，，，，，，……， 可以发现系数是，……，指数是，……， 可知，从第三个式子开始，后边的每个系数是它前面相邻两个系数的和，指数和式子的序号相同， 即系数是，……，指数是序号， 第个式子的指数是， 后面的式子是． 17．“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【分析】设中心格内的数为，根据三阶幻方的性质，任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，且和为，利用这一性质表示出相关位置的数，通过列方程即可得出之间的关系． 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 18．若实数同时满足，则的值为__________． 【答案】25 【分析】本题考查绝对值的性质与分类讨论思想，根据的正负性分两种情况讨论，舍去不成立的情况，得到的值后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，可得， 则原等式 可化为； 当时，，则， 将代入得： ， 整理得， 解得， ∴， 代入得； 当时，，则， 将代入得： ， 整理得，等式不成立，此情况无解． 综上所述，的值为． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（6分） 20．（6分）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式加减运算法则进行计算，然后再代入数值计算即可． 【详解】解： ，（4分） 当时，原式．（6分） 21．（6分）已知， (1)化简 (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整式的加减法代入计算即可求解； （2）将 ，代入（1）中所求的代数式中，即可求解． 【详解】（1）解：，， ；（3分） （2）解：当，时， ．（6分） 22．（7分）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：．（3分） （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）．（7分） 23．（7分）对于有理数，定义了一种新运算“※”为：※， 如： ， (1)计算：① ；② ． (2)若 ，且，求的表达式． (3)若 ， ，且 ，求 的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）根据得，进而根据新定义的运算方法进行计算即可； （3）利用作差法比较的大小关系，根据新定义的运算方法进行计算求解即可. 【详解】（1）解：① ；（2分） ②； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ；（4分） （3）解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得， ∴ .（7分） 24．（8分）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可； （2）①将代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； （2分） ②若在乙商店购买，所需总费用为元；（4分） （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠；（6分） ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元．（8分） 25．（8分）[材料1]我们知道像12，27，36，45，108…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． [材料2]若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3 整除． [材料3]设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（均为整数，且），记，数字和． [解决问题] (1)如果能被3整除，那么______（填“能”或“不能”）被3整除； (2)求证：一定能被3整除； (3)若三位数n是能被3整除的偶数，且满足，请直接写出3个符合条件的三位数n． 【答案】(1) 能 (2) 见解析 (3) 126，144，216（答案不唯一） 【分析】（1）根据，能被3整除，得到能被3整除，进而得到能被3整除； （2）求出，即可得出结论； （3）易得能被3整除，结合，且为偶数，作答即可． 【详解】（1）解：∵，且能被3整除， ∴能被3整除， ∵，都能被3整除， ∴能被3整除；（2分） （2）证明：∵，， ∴， ∵均能被3整除， ∴ 一定能被3整除；（5分） （3）解：∵能被3整除， ∴能被3整除， 又∵，且为偶数，， ∴可以为：126，144，216等．（8分） 26．（8分）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题干信息得出答案即可； （2）分别计算，，即可得出结论； （3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴；（2分） （2）证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得；（5分） （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴．（8分） 27．（8分）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 【答案】(1)①5；② (2)①6，30；② (3)还需要600块正三角形地砖 【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果； （2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可； （3）根据（2）中规律进行作答即可. 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； …， ∴；；（2分） （2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形；（5分） （3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．（8分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $