第3章 代数式 -2026-2027学年苏科版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，系统整合代数式核心知识，提炼整体代入、符号法则等解题方法，培养抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念构建|字母表示数规范、代数式分类|书写“五规则”、整式分式判定法|从字母表示数（代数抽象）到代数式定义与分类（概念细化）| |运算技能|合并同类项、去括号化简|同类项“两相同两无关”、去括号“符号法则”|基于同类项概念推导合并法则，结合去括号实现整式加减运算| |应用拓展|整体代入求值、规律探索|整体思想、数形结合法|运用整式运算解决化简求值、月历规律等问题，体现模型意识|

第3章 代数式 思维导图 3.1 字母表示数 用字母表示数是从算术到代数的重要转变，能够简洁、一般地表示数量关系和变化规律，突破具体数字的局限性。 1. 字母表示数的意义 可以用字母将数量关系一般化，既能表示特定的数，也能表示变化过程中的任意数，方便我们总结规律、推导公式。例如，用字母表示运算律、面积周长公式、数量变化关系都比文字描述更简洁清晰。 2. 用字母表示数的书写规范 · 数与字母相乘时，数字通常写在字母的前面，乘号可以省略不写，或者用“·”代替。比如3×a要写成3a或者3·a，不能写成a3。 · 字母与字母相乘时，乘号可以省略，按字母顺序排列书写。比如a×b写成ab，x×y写成xy。 · 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数。比如要写成。 · 式子中出现除法运算时，一般要写成分数形式。比如a÷b写成。 · 如果式子表示的是带单位的和差关系，需要先把式子用括号括起来，再写单位。比如(2a+3b)米，不能写成2a+3b米。 3. 常见应用场景 · 表示运算律：加法交换律，乘法结合律$(ab)c=a(bc)$等，其中a、b、c可以表示任意有理数。 · 表示图形公式：长方形面积（a长、b宽），圆的周长（r半径），三角形面积（a底、h高）。 · 表示实际问题中的数量关系：比如某商品原价为a元，打八折后的售价是0.8a元；小明今年n岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年(n+28)岁。 · 表示规律：比如找数列规律，第n个正偶数可以表示为2n，第n个正奇数表示为，n为正整数。 3.2 代数式的概念 1. 代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 注意：代数式中不含有等号（=）、不等号（＞、＜、≠、≥、≤），等式和不等式都不是代数式，但等式和不等式两边的式子一般都是代数式。 2. 代数式的分类 类别 定义 说明 整式 单项式和多项式统称为整式 分母中不含字母的代数式 单项式 由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式 ①系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包括符号；比如的系数是，不是3；②次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；比如的次数是，是五次单项式；单独一个非零数的次数是0 多项式 几个单项式的和叫做多项式 ①项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；②次数：多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数；比如是三次三项式，最高次项是，次数3，共3个项，常数项是1 分式 分母中含有字母的代数式叫做分式（七上仅要求识别，不做深入计算） 比如，都是分式，不属于整式 3. 列代数式 列代数式就是把实际问题中的数量关系用代数式表示出来，关键是要正确分析数量关系，准确理解运算顺序，掌握常见的数量关系，比如路程=速度×时间，总价=单价×数量。 常见关键词对应关系： · “和”“加”对应加法运算，“差”“减”对应减法运算，“积”“乘”对应乘法运算，“商”“除以”对应除法运算； · “平方和”是先平方再相加，“和的平方”是先相加再平方，比如a、b的平方和是，a、b和的平方是(a+b)2，二者含义完全不同； · “比x大2”是，“比x小3”是，“x的2倍多3”是，“x的一半少1”是。 4. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫做代数式的值。 计算代数式的值的步骤： 1. 代入：将给定的字母的值替换代数式中的对应字母，注意当字母取值是负数或者分数，乘方运算时需要加括号； 2. 计算：按照代数式的运算顺序计算出结果。 常见技巧：如果无法直接求出每个字母的值，可以用整体代入法，比如已知，求的值，直接把整体代入，得到，不需要分别求出x和y的具体值。 3.3 整式的加减 1. 同类项的概念 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 判断同类项的两个“相同”、两个“无关”： · 两个相同：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相同，二者缺一不可； · 两个无关：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关，比如3xy和是同类项。 2. 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项的步骤： 1. 找：准确找出多项式中的同类项，做好标记； 2. 移：利用加法交换律和结合律，把同类项移动到一起，移动时要带着项的符号一起移动； 3. 合：按照合并法则合并同类项，系数相加时注意符号，结果写成最简形式。 示例：合并，结果是+。 3. 去括号法则 去括号是整式加减的基础，法则如下： · 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；比如。 · 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变；比如。 注意事项： · 去括号时要先看括号前的系数，系数不是1或者-1时，要先利用乘法分配律把系数乘进括号里每一项，再去括号，不要漏乘；比如，。 · 多重括号可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号，每去掉一层括号就及时合并同类项，可以简化计算。 4. 整式加减的运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。最终结果要化为最简，也就是结果中不再含有同类项。 整式加减的步骤可以总结为：去括号→找同类项→合并同类项。 5. 整式加减的应用 · 化简求值：先对代数式进行去括号、合并同类项化简，再代入字母的值计算，比直接代入计算更简便；比如求的值，其中，先化简得，再代入得。 · 解决实际问题：根据题意列出表示数量的整式，再通过加减运算得到最终结果，比如计算两个图形的周长和、面积差，或者商品销售的总利润等问题。 · 比较大小：用作差法比较两个整式的大小，若，则A>B；若，则；若，则A<B。 【类型一】用字母表示数 1．一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 2．用表示的数一定是（   ） A．负数 B．正数或负数 C．0或负数 D．以上全不对 3．某文创店售卖马年纪念徽章，若每个售价为5元，则x个纪念徽章的销售总价为_____元． 【类型二】代数式的定义与书写 1．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【类型三】代数式的实际意义 1．代数式的意义可以是（    ） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 2．下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 3．的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． 【类型四】单项式、多项式的定义 1．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 3．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【类型五】同类项 1．下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 3．若单项式与合并后的结果还是单项式，则____． 【类型六】单、多项式的系、次数 1．单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 2．多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 3．单项式的系数是____，多项式是____次____项式． 【类型七】已知字母求代数式的值 1．当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 2．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 【类型八】合并同类项与去括号化简 1．化简： (1)． (2)． (3)． 2．化简下列各式 (1) (2) 3．化简： (1)； (2)． 【类型九】整式的化简求值 1．先化简，再求值：，其中，． 2．先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求值：，其中，． 【类型一】整体代入求值 1．已知，那么的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为______． 3．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，， (1)_______，___________，__________． (2)求的值． 【类型二】不含某项、与某项无关 1．代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 2．若减去的差不含项，则______． 3．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【类型三】绝对值在数轴中的化简 1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【类型四】月历日期问题 1．如图1是2026年5月份的月历，嘉琪同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值不可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图是某月历表，用一个正方形在月历中任意框出4个代表日期的数，请用一个等式表示之间的关系___________． 3．《初一数学项目式学习小组》的小成同学发现了月历中的数学奥秘．规定如下：在某个月的月历中，任意框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数，称为“中心数”．完成以下探究任务． 　　                 图一                                               图二 (1)图一是2025年9月的月历，17是九宫格中心数． ①以17为“中心数”的九宫格数字之和为_________；若9月月历某中心数为x，则该“九宫格”（9个数字都在9月）的数字之和为 ．（用含x的代数式表示） ②如果一个月的天数有31天，称这个月为“大月”；一个月的天数有30天，称这个月为“小月”．9月是“小月”，10月是“大月”，从9月到10月称为“小月跨大月”．若“九宫格”可以跨月，在9月和10月的月历中，九宫格的数字之和是144，直接写出所有可能的中心数 ． (2)在2025年的月历中，我们发现：1月、3月、5月是“大月”，2月28天，4月、6月是“小月”．图二为2025年1月的月历，已知1月3日是星期五，请直接写出2025年6月3日是星期 ．（填数字） 【类型五】升、降幂排列 1．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A．B． C． D． 2．将多项式，按x的升幂排列为_______． 3．已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 【类型六】程序流程图 1．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为4，结果输出的是2，将第1次输出的结果2，再次输入运算程序，进行第2次运算，结果输出的是1，……，则第2026次输出的结果是（） A．1 B． C． D． 2．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，按照图示程序进行运算，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，若在终止程序前，计算程序被启动了m次，则整个程序最终会输出这个次数m．若输入自然数，则______． 3．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“转换机”，在跨学科综合课堂上，“勤学小组”和“创新小组”分别利用计算机编写出一套运算程序： (1)“勤学小组”编写了“数值转换机”，若输入的数为5，则输出的数为______； (2)“创新小组”编写了“多项式转换机”，运算程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以3作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【程序应用】 关于x的二次多项式A经过程序转换得到一次多项式B，已知，根据上方运算程序，解决下列问题： ①若，求m、n的值； ②若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； ③某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 【类型七】数的规律 1．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 3．观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【类型八】图形的规律 1．/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 2．如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 3．如图，用正六边形瓷砖按规律拼成若干图案． (1)拼第个图案，需要多少块正六边形瓷砖？ (2)拼第2025个图案，需要多少块正六边形瓷砖？ 【类型一】用代数式表示阴影面积 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④若时，则阴影A的周长比阴影B的周长少8． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 2．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多2，记图（1）中阴影区域周长为，图（2）中阴影区域周长为，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，把四个长为、宽为（）的小长方形卡片，按图1和图2两种方式不重叠地放在同一个大长方形中，大长方形的长比宽大3.5，两种方式未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中两块阴影部分的周长和为，则的值为______． 【类型二】新定义运算 1．我们定义一种运算： ，例如， ， ，按照这种定义的运算，当时，（　　） A． B． C． D． 2．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 3．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值是_____． 【类型三】操作问题 1．小琪在一本数学书中看到了这样一个探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串：m，n，； 第2次操作后得到整式串：m，n，，； 第3次操作后…， 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小琪将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．m C． D． 2．在两个整式，之间写上这两个整式之和，得到整式串：、、，看作第一次操作；再在、、每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，得到一个新的整式串，看作第二次操作；第三次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的；第四次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，…，则下列说法中： ①第二次操作得到整式串：，，，； ②第四次操作后的整式串的第四个整式为； ③第六次操作后的整式串中共有个整式65； ④当时，第2025次操作后得到的整式串中所有整式之和为2053351．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2025次操作后得到的整式串各项之和是___________． 【类型四】行列排序问题 1．将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 2．观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 3．将连续正整数按如下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 18 19 20 … 若正整数2025位于第a行，第b列，则的值为_____． 【类型五】代数式的整体思想 1．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 2．我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学的整体思想．整体思想是数学解题中的一种重要的思想，其应用较为广泛．请运用整体思想解答下面的问题． (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求的值． 3．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （A级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）运用“整体思想”合并； （3），则______． （B级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． （C级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． 【类型六】整除问题 1．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除下面是数学学习小组探究“自然数被9整除的规律”的学习片段． 猜想：一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除． 【探究一】若这个自然数是两位数 设这个两位数为，则． 能被9整除，能被9整除， 就能被9整除，即能被9整除． 【探究二】若这个自然数是三位数 设这个三位数为，则． 能被9整除，能被9整除， 就能被9整除，即能被9整除． 【探究三】若这个自然数是四位数 (1)请将【探究三】补充完整． (2)请写出一个能被9整除的五位数． 2．【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 3．综合与实践 【问题背景】小马同学探索被5整除的数的规律，她查到了如下材料． (1)材料1：一个两位数，若十位数字是a，个位数字是b，则它记为，． 材料2：设是一个三位数，．显然能被5整除，若_____（写出一个即可），b也能被5整除，则这个三位数能被5整除． (2)【实践应用】设是一个三位数，若能被3整除，则这个三位数能被3整除．理由如下：因为①_____， 因为（②_____），且②是整数，所以①能被3整除， 又因为能被3整除，所以这个三位数能被3整除． 请你写出①，②表示的代数式， (3)【拓展延伸】设是一个四位数，若能被9整除，则这个四位数能被9整除．请模仿（2）说明理由． 【类型七】代数式的变化规律 1．代数式是表示数量变化规律的重要形式.一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … … … … … … … … 【初步感知】 （）根据表中信息可知：_____，_____； 【归纳规律】 （）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就随之增加．类似的，的值随着的变化而变化的规律是：_____； 【计算验证】 （）当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【应用迁移】 （）观察表格，下列结论正确的序号是_____． ①当时，；②当时，； ③当时，；④当时，． 2．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 … … 0 a … … b 0 2 … … 1 3 5 … (1)根据表中信息可知： ， ； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就减少1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是： ； (3)观察表格，下列说法错误的有 ；（填序号） ①当时，；②当时，；③当时，；④当时，． (4)若的值总是大于的值，观察表格，写出你认为满足这一条件的x的取值范围． 3．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 m 5 7 … … 7 6 5 4 3 2 n … … 11 6 3 2 3 6 11 … (1) ______，______； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：______．的值随着x的变化而变化的规律是：______． (3)下列结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 【类型八】一元多项式的恒等关系 1．阅读理解 如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式，对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与 当任取一个数时，如，，，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 要判断两个多项式是否恒等，可以通过去括号、合并同类项，判断能否把其中一个多项式转化为另一个多项式，或者能否把两个多项式都化简为相同的形式．例如，把，分别降幂排列，都能够化为 (1)判断多项式与是否恒等，并说明理由． (2)已知一元多项式（其中，为常数）与（其中，为常数）恒等，请直接写出，，，的值．___________ 2．课本再现 一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与． 当任取一个数时，如，，，…，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． (1)关于的多项式（其中为常数）与（其中，为常数）是恒等的，则___________，___________，___________； (2)七年级数海遨游社团的同学们对恒等式展开了深入研究，他们发现的值可以计算，当时，左边，右边，所以． 请你参考他们的探究过程，求以下代数式的值： ①； ②； ③． 3．【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等 【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值： (1)； (2)． 【类型九】代数式的归纳 1．“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． 【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下： 直观发现：小正方形的数量和依次为，，，，… 因此空白部分的小正方形的数量和依次为，，，，… （1）请你归纳总结：____； 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： （2）连续奇数的和 请你归纳总结：_______； （3）连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：____； 【应用】 （4）利用以上结论，计算的值． 2．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．对于较为复杂的问题，可以从分析简单情形入手，通过分析归纳出一般规律．将棱长为1cm的正方体按如图方式放置，对于第1个图，可知其表面积为6cm2．用棱长均为1cm的正方体按照第2个图、第3个图、……进行放置． (1)依次写出第2个图、第3个图的表面积： cm2， cm2；（直接写结果） (2)求第20个图的表面积； (3)直接写出第n个图的表面积： cm2．（结果不用化简） 3．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们进行推理，获得结论． 问题：求的值（其中是正整数），参加鹿鸣成长课程的同学们运用数形结合的方法进行了探究． 方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，，个小圆圈排列组成的，再把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即． 【问题提出】同学们进一步探究：求的值（其中是正整数）． 【问题解决】采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用图形进行推理获得结论． 探究1：如图2，可以看成1个的正方形的面积，即． 探究2：如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；，分别表示1个的长方形，其面积的和为：；，，的面积和为，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形．由此可得：． 探究3：类比上述探究过程，请你借助图形探究：　　　　； 要求构造图形，并说明理由． 【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：　　= （直接写出结论即可） 【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和． 例如：棱长是1的正方体有：个， 棱长是2的正方体有：个， 棱长是6的正方体有：个； 利用上面归纳的结论，通过计算可得图4中大小正方体的总个数为　　． 【逆向应用】 如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有2025个，那么棱长为1的小正方体的个数为　　． 【拓展探究】 观察下列各式：；；；； 若为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2443”这个数，则的值为　　． 【类型十】代数式的新定义应用 1．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 2．阅读以下材料并回答问题： 在代数式的研究中，为了统一表述，定义整式的“标准式”与“偏差值”． ◇定义1（标准式）：关于字母x的整式，若满足以下条件，则称为“标准式”： ①式子中不含同类项； ②各项按照 x 的降幂排列； ③最高次项的系数为正数； 例如，整式的标准式推导过程为：先合并同类项得，再调整最高次项系数为其绝对值，得标准式为． ◇定义2（偏差值）：对于非标准式的整式，将其转化为标准式后，原整式中各项系数的绝对值之和与标准式中各项系数的绝对值之和的差的绝对值，称为该整式的“偏差值”．例如，整式中各项系数的绝对值之和为，其标准式系数绝对值之和为，则该整式的偏差值为．请根据以上材料回答下列问题： (1)请将整式转化为标准式 ， 其偏差值为 (2)若整式（其中m为常数）的偏差值为8，则m的值为 (3)若整式（其中a 、b 为常数）的标准式是关于x 的一次多项式，且偏差值为8，则 ， ． 3．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 【类型十一】分数裂项 1．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 2．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减．例如： ①，我们将上述计算过程倒过来，得到； ②，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，分数裂项的本质其实是异分母加减法的逆运算． 请你观察： 以上方法称为“裂项相消求和法”． 类比上述方法，解决以下问题： (1)直接写出计算结果： ①________；②__________； (2)计算： (3)计算： 3．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； 【方法提示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2） （3）． 1．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的次数及最高次项的系数（   ） A．2，2 B．2， C．3， D．3，2 5．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知，则的值为 _________ ． 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知，那么______． 7．（25-26九年级下·江西抚州·阶段检测）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中“★”共有______个． 8．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）化简： (1) (2) 9．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 10．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）某小区的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建两个半圆形花圃（半径为b），其余部分进行硬化． (1)求硬化部分的面积（用含、的代数式表示）； (2)当时，求硬化部分的面积（结果保留π）． 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）当时，代数式的值为 （    ） A．1 B．7 C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）某文具店笔记本单价为a元，圆珠笔单价为b元，购买3本笔记本、5支圆珠笔总费用为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 4．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则 的值是______． 6．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算，若，，则______． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 8．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 9．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)探究：和的关系；任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入和中，在运算后，你有什么发现？ 10．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）阅读材料：代数式运算中：，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)把看成一个整体，计算：； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，用相等长度的火柴棒摆成如图所示的一组图形，按照此规律，摆第个图形要用的火柴棒的根数为（    ）． A． B．12m C． D． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，且，则的值为（   ） A．5或 B．或 C．5或7 D．或7 5．（24-25七年级上·重庆合川·期末）学校有足球m个，篮球的数量比足球的2倍多18个，则篮球的数量为_______． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为6小块，除长方形A，B外，其余4块是形状，大小完全相同的小长方形，设小长方形的宽为．若，则长方形A，B的周长之和为___． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知：，． (1)计算：； (2)若，，求的值． 9．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有一种可计算之间整数相乘的手指算法． 例：计算时，按图1标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，双手共有5个手指，则以5作为十位数字；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指头数作为十位数字”）． 【学习算法】 （1）计算时，按上述方法，算法为： ； 【总结算法】 （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为： （用含a，b的代数式表示）． 【探究拓展】 （3）若a，b变为之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． （4）若a为6～10之间整数，b为16～20之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． 10．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式 思维导图 3.1 字母表示数 用字母表示数是从算术到代数的重要转变，能够简洁、一般地表示数量关系和变化规律，突破具体数字的局限性。 1. 字母表示数的意义 可以用字母将数量关系一般化，既能表示特定的数，也能表示变化过程中的任意数，方便我们总结规律、推导公式。例如，用字母表示运算律、面积周长公式、数量变化关系都比文字描述更简洁清晰。 2. 用字母表示数的书写规范 · 数与字母相乘时，数字通常写在字母的前面，乘号可以省略不写，或者用“·”代替。比如3×a要写成3a或者3·a，不能写成a3。 · 字母与字母相乘时，乘号可以省略，按字母顺序排列书写。比如a×b写成ab，x×y写成xy。 · 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数。比如要写成。 · 式子中出现除法运算时，一般要写成分数形式。比如a÷b写成。 · 如果式子表示的是带单位的和差关系，需要先把式子用括号括起来，再写单位。比如(2a+3b)米，不能写成2a+3b米。 3. 常见应用场景 · 表示运算律：加法交换律，乘法结合律$(ab)c=a(bc)$等，其中a、b、c可以表示任意有理数。 · 表示图形公式：长方形面积（a长、b宽），圆的周长（r半径），三角形面积（a底、h高）。 · 表示实际问题中的数量关系：比如某商品原价为a元，打八折后的售价是0.8a元；小明今年n岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年(n+28)岁。 · 表示规律：比如找数列规律，第n个正偶数可以表示为2n，第n个正奇数表示为，n为正整数。 3.2 代数式的概念 1. 代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 注意：代数式中不含有等号（=）、不等号（＞、＜、≠、≥、≤），等式和不等式都不是代数式，但等式和不等式两边的式子一般都是代数式。 2. 代数式的分类 类别 定义 说明 整式 单项式和多项式统称为整式 分母中不含字母的代数式 单项式 由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式 ①系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包括符号；比如的系数是，不是3；②次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；比如的次数是，是五次单项式；单独一个非零数的次数是0 多项式 几个单项式的和叫做多项式 ①项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；②次数：多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数；比如是三次三项式，最高次项是，次数3，共3个项，常数项是1 分式 分母中含有字母的代数式叫做分式（七上仅要求识别，不做深入计算） 比如，都是分式，不属于整式 3. 列代数式 列代数式就是把实际问题中的数量关系用代数式表示出来，关键是要正确分析数量关系，准确理解运算顺序，掌握常见的数量关系，比如路程=速度×时间，总价=单价×数量。 常见关键词对应关系： · “和”“加”对应加法运算，“差”“减”对应减法运算，“积”“乘”对应乘法运算，“商”“除以”对应除法运算； · “平方和”是先平方再相加，“和的平方”是先相加再平方，比如a、b的平方和是，a、b和的平方是(a+b)2，二者含义完全不同； · “比x大2”是，“比x小3”是，“x的2倍多3”是，“x的一半少1”是。 4. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫做代数式的值。 计算代数式的值的步骤： 1. 代入：将给定的字母的值替换代数式中的对应字母，注意当字母取值是负数或者分数，乘方运算时需要加括号； 2. 计算：按照代数式的运算顺序计算出结果。 常见技巧：如果无法直接求出每个字母的值，可以用整体代入法，比如已知，求的值，直接把整体代入，得到，不需要分别求出x和y的具体值。 3.3 整式的加减 1. 同类项的概念 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 判断同类项的两个“相同”、两个“无关”： · 两个相同：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相同，二者缺一不可； · 两个无关：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关，比如3xy和是同类项。 2. 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项的步骤： 1. 找：准确找出多项式中的同类项，做好标记； 2. 移：利用加法交换律和结合律，把同类项移动到一起，移动时要带着项的符号一起移动； 3. 合：按照合并法则合并同类项，系数相加时注意符号，结果写成最简形式。 示例：合并，结果是+。 3. 去括号法则 去括号是整式加减的基础，法则如下： · 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；比如。 · 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变；比如。 注意事项： · 去括号时要先看括号前的系数，系数不是1或者-1时，要先利用乘法分配律把系数乘进括号里每一项，再去括号，不要漏乘；比如，。 · 多重括号可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号，每去掉一层括号就及时合并同类项，可以简化计算。 4. 整式加减的运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。最终结果要化为最简，也就是结果中不再含有同类项。 整式加减的步骤可以总结为：去括号→找同类项→合并同类项。 5. 整式加减的应用 · 化简求值：先对代数式进行去括号、合并同类项化简，再代入字母的值计算，比直接代入计算更简便；比如求的值，其中，先化简得，再代入得。 · 解决实际问题：根据题意列出表示数量的整式，再通过加减运算得到最终结果，比如计算两个图形的周长和、面积差，或者商品销售的总利润等问题。 · 比较大小：用作差法比较两个整式的大小，若，则A>B；若，则；若，则A<B。 【类型一】用字母表示数 1．一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理． 根据两位数的表示方法，十位数字乘以10加上个位数字即可得到该数． 【详解】解：∵十位数字是， ∴表示； ∵个位数字是， ∴表示； ∴这个两位数为． 故选：D． 2．用表示的数一定是（   ） A．负数 B．正数或负数 C．0或负数 D．以上全不对 【答案】D 【分析】本题主要考查用字母可以表示数，既可以是正数，也可以是负数和0，带有负号的数不一定就是负数． 【详解】解：A、当为非正数时，则表示的数是非负数，故此选项不符合题意； B、当时，，即此时表示的数既不是负数，也不是正数，故此选项不符合题意； C、当时，，即此时表示正数，故此选项不符合题意； 综上所述，表示的数可以是负数，正数或0． 故选D． 3．某文创店售卖马年纪念徽章，若每个售价为5元，则x个纪念徽章的销售总价为_____元． 【答案】 【分析】根据总价等于单价乘以数量即可求解． 【详解】解：x个纪念徽章的销售总价为元． 【类型二】代数式的定义与书写 1．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 2．下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规范，根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵ 带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数， 因此A不符合书写规范． ∵ 除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号， 因此B不符合书写规范． ∵ 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号， 因此C不符合书写规范． ∵ 符合代数式书写规范，因此D正确． ∴ 答案选D． 3．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【类型三】代数式的实际意义 1．代数式的意义可以是（    ） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【答案】C 【详解】解：代数式的意义可以是与的积. 2．下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． 3．的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． 【答案】x与y的差的平方 【分析】本题考查了代数式的意义，根据代数表达式的定义， 表示先计算与 的差，再对该差进行平方运算． 【详解】解：的意义是x与y的差的平方 故答案为：x与y的差的平方． 【类型四】单项式、多项式的定义 1．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 2．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 3．；；；；；；0；其中单项式有________个，多项式有________个． 【答案】 4 3 【分析】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】解：其中单项式有，，，0，共4个； 多项式有，，，共3个． 【类型五】同类项 1．下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 2．已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 3．若单项式与合并后的结果还是单项式，则____． 【答案】 【分析】先根据同类项的定义求出和的值，再把求得的和的值代入所给代数式计算即可． 【详解】解：单项式与合并后的结果还是单项式， 与是同类项， ，， 解得，， ． 【类型六】单、多项式的系、次数 1．单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【答案】C 【分析】根据定义，单项式的系数是单项式中字母前的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和，据此求解即可. 【详解】解：∵ 单项式可以改写为， ∴ 该单项式的数字因数为，即系数为； 又∵ 的指数为，的指数为，所有字母的指数和为， ∴ 该单项式的次数为； 综上，该单项式的系数与次数分别为，. 2．多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 多项式共有三项，分别为，，，各项次数依次为，， ∴ 该多项式最高次项的次数为，即多项式的次数是． 3．单项式的系数是____，多项式是____次____项式． 【答案】 / 三 三 【分析】根据单项式系数的定义确定单项式的系数，根据多项式次数与项数的定义确定多项式的次数和项数即可. 【详解】单项式的系数为. ， 该多项式中次数最高项为，次数为3，共有3个单项式，因此该多项式是三次三项式. 【类型七】已知字母求代数式的值 1．当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】将给定的的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入，得， 即代数式的值为． 2．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题先根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再根据判断同号，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴与同号， 分两种情况讨论： ①当，时，， ②当，时，， ∴的值等于或． 3．当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 【答案】 【分析】根据已知得出，进而将和代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵当时，代数式值为2026， ∴，即， 当时，． 【类型八】合并同类项与去括号化简 1．化简： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接进行合并同类项，即可得到答案； （2）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案； （3）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．化简下列各式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】通过去括号法则以及合并同类项计算即可．注意去括号时括号前面是负号，括号里面每一项都需要变符号． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，去括号，合并同类项，正确计算是解题的关键． （1）根据加法交换律、加法结合律进行计算即可； （2）先去括号，然后根据加法交换律、加法结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 【类型九】整式的化简求值 1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入，得： 原式 ． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ， ， 当，时， 原式． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先化简，再把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【类型一】整体代入求值 1．已知，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用整体代入法计算代数式的值，先根据已知等式得到的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 2．已知，则的值为______． 【答案】2026 【分析】将变形为，再将变形为，再整体代入求解． 【详解】解： 则 ． 3．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，， (1)_______，___________，__________． (2)求的值． 【答案】(1)0，1， (2)1或 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据相反数、倒数、绝对值的定义即可解答； （2）分和两种情况，再整体代入和的值即可求解． 【详解】（1）解：互为相反数，互为倒数，， ，，． 故答案为：0；1；． （2）解：当时，； 当时，． 综上所述，的值为或． 【类型二】不含某项、与某项无关 1．代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 【答案】D 【分析】对原代数式去括号，合并同类项得到最终结果，根据结果判断代数式的值与，的关系． 【详解】解：对原代数式化简如下： 原式 ∵化简后的结果为常数，不含变量和， ∴该代数式的值与，的大小都无关，故选D． 2．若减去的差不含项，则______． 【答案】 【分析】将已知整式相减，然后去括号，合并同类项进行化简，令含项的系数之和为，列方程求解． 【详解】解： ， 结果中不含项， ， 解得． 3．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 【类型三】绝对值在数轴中的化简 1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，结合绝对值的性质化简，整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据数轴得到，， ∴． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】 【分析】根据在数轴上的位置得：且，据此判断各绝对值内的正负号化简绝对值，合并同类项即可． 【详解】解：根据在数轴上的位置得：且， ∴，，， ∴ 【类型四】月历日期问题 1．如图1是2026年5月份的月历，嘉琪同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值不可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据“Z”字形框中四个数字的位置关系，用含、的代数式，建立等量关系式列出方程解答；注意框出的数字必须在月历范围内且位置符合形状要求． 【详解】解：由题意可知，，整理得， A．当，时，，符合题意，且（周日），位置符合，故A可能； B．当，时，，符合题意，且（周三），位置符合，故B可能； C．当，时，，符合题意，且（周一），位置符合，故C可能； D．当，时，，不符合题意，故D不可能． 2．如图是某月历表，用一个正方形在月历中任意框出4个代表日期的数，请用一个等式表示之间的关系___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，利用已知数据得出规律是解题关键．根据已知中数据得出，进而得出之间的关系． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：. 3．《初一数学项目式学习小组》的小成同学发现了月历中的数学奥秘．规定如下：在某个月的月历中，任意框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数，称为“中心数”．完成以下探究任务． 　　                 图一                                               图二 (1)图一是2025年9月的月历，17是九宫格中心数． ①以17为“中心数”的九宫格数字之和为_________；若9月月历某中心数为x，则该“九宫格”（9个数字都在9月）的数字之和为 ．（用含x的代数式表示） ②如果一个月的天数有31天，称这个月为“大月”；一个月的天数有30天，称这个月为“小月”．9月是“小月”，10月是“大月”，从9月到10月称为“小月跨大月”．若“九宫格”可以跨月，在9月和10月的月历中，九宫格的数字之和是144，直接写出所有可能的中心数 ． (2)在2025年的月历中，我们发现：1月、3月、5月是“大月”，2月28天，4月、6月是“小月”．图二为2025年1月的月历，已知1月3日是星期五，请直接写出2025年6月3日是星期 ．（填数字） 【答案】(1)①153；；②6或16或26； (2)2 【分析】本题主要考查一元一次方程日历问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将九宫格数字加起来即可； （2）设跨月天数为n，表示出九宫格的数字之和为，根据x，n的范围求解即可； （3）先求出1月3日至6月3日得总天数，再根据循环周期求解即可． 【详解】（1）解：①； 若9月月历某中心数为x，则其它数可以表示为， 则该“九宫格”（9个数字都在9月）的数字之和为： ； ②解： 设跨月天数为n，则九宫格的数字之和是； ∴，即，x，n为整数 当时，； 当时，； 当时，，； 当时，，； ∴九宫格的数字之和是144，中心数是6或16或26； （2）解：从1月3日至6月3日共有天， ， ∵1月3日是星期五， ∴ 2025年6月3日是星期二． 【类型五】升、降幂排列 1．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 2．将多项式，按x的升幂排列为_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的指数从小到大的顺序排列各项即可． 【详解】解：多项式 中，各项的指数分别为：常数项中x的指数是0，一次项中x的指数是1，二次项中x的指数是2，三次项中x的指数是3．按x的升幂排列，指数从低到高为0，1，2，3， 因此按x的升幂排列为． 故答案为． 3．已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的化简求值，同类项的定义等知识，熟练掌握合并同类项是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算并按照字母m的降幂排列； （2）根据同类项的定义得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵与是同类项， ∴， ∴ ∴原式 【类型六】程序流程图 1．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为4，结果输出的是2，将第1次输出的结果2，再次输入运算程序，进行第2次运算，结果输出的是1，……，则第2026次输出的结果是（） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查流程图与数字类规律，理解题意并写出前几次结果寻找规律是解题关键． 先按题干所给的流程图计算出前几次结果，归纳总结出规律． 【详解】解：根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果如下： 第一次输出的结果为2， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， …， 发现规律：从第三次输出结果开始，以，，依次循环出现， ∵， ∴第2026次输出的结果是． 故选：B． 2．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，按照图示程序进行运算，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，若在终止程序前，计算程序被启动了m次，则整个程序最终会输出这个次数m．若输入自然数，则______． 【答案】7 【分析】本题考查了整数的运算与流程图，理解流程图的计算，代入求值是关键． 根据流程图的计算方法，把代入计算，并判定每次计算结果，最终确定输出的正整数，由此即可求解． 【详解】解：输入自然数， ∵是奇数， ∴第一次：， 第二次：为偶数， ∴， 第三次：为奇数， ∴， 第四次：为偶数， ∴， 第五次：为偶数， ∴， 第六次：为偶数， ∴， 第七次：为偶数， ∴，结果为1， ∴输出正整数， 故答案为：7 ． 3．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“转换机”，在跨学科综合课堂上，“勤学小组”和“创新小组”分别利用计算机编写出一套运算程序： (1)“勤学小组”编写了“数值转换机”，若输入的数为5，则输出的数为______； (2)“创新小组”编写了“多项式转换机”，运算程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以3作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【程序应用】 关于x的二次多项式A经过程序转换得到一次多项式B，已知，根据上方运算程序，解决下列问题： ①若，求m、n的值； ②若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； ③某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 【答案】(1)27 (2)①，；②；③ 【分析】本题考查整式计算，解一元一次方程． （1）将代入计算即可得到结果； （2）①根据题意列式对应系数相等即可得到结果； ②根据题意列式即可得到结果； ③先求出的值，再求出即可． 【详解】（1）解：输入的数为5， 则输出的数为， 故答案为：27； （2）解：①， ∴． ， ，， ∴，； ②， ∵的结果中不含一次项， ，解得：， 由得：， ； ③， 且计算，得到的结果是， ， ， ∴． 【类型七】数的规律 1．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别从符号、系数绝对值、x的次数三个方面分析规律，整合后即可得到第n个代数式． 【详解】解：符号规律： 第1项为正，第2项为负，第3项为正……， ∴符号规律为； 系数绝对值依次为，且，，， ∴系数绝对值规律为； 的次数依次为， ∴的次数规律为； 整合得第个代数式为． 2．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 【答案】 【分析】观察代数式可得分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为，由此即可得出结果． 【详解】解：分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为． ∴可表示为． 3．观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)256 (2)259， (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数字变化规律， （1）根据数字变化特点可知第①行的数是的序号数次方，解答即可； （2）第②行的数比第①行的数大3，可得答案，第③行的数的序号数次方，再乘以2的序号数少1次方，可得答案； （3）分别根据数字变化规律得出第9个数，再求出和． 【详解】（1）解：第①行的数是； 故答案为：256； （2）解：第②行的数是； ． 故答案为：259, ； （3）解：第①行中的第9个数是，第②行中的第9个数是，第③行中的第9个数是， 所以． 【类型八】图形的规律 1．/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图形，得到后一个图形比前一个图形多8根小木棒，列出代数式即可． 【详解】解：第1个图案中小木棒的根数为； 第2个图案中小木棒的根数为； 第3个图案中小木棒的根数为 依此规律，第个图案中小木棒的根数为． 2．如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 【答案】 【分析】通过观察前三个图形中三角形个数的具体数值，分析数值与图形序号之间的倍数关系，归纳出第个图形中三角形个数的通项公式，最后代入进行计算即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图形一共有2个△，； 第2个图形一共有8个△，； 第3个图形一共有18个△，； ， 由此规律可得，第个图形中△的个数为； 当时，． 3．如图，用正六边形瓷砖按规律拼成若干图案． (1)拼第个图案，需要多少块正六边形瓷砖？ (2)拼第2025个图案，需要多少块正六边形瓷砖？ 【答案】(1) (2)块 【分析】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案找到规律，即可求解； （2）把代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：第个图案正六边形瓷砖的块数是：； 第个图案正六边形瓷砖的块数是：； 第个图案正六边形瓷砖的块数是：； ； 以此类推，第n个图案正六边形瓷砖的块数是：； 故拼第个图案，需要块正六边形瓷砖 （2）解：当时，正六边形瓷砖的块数是， 答：拼第2025个图案，需要块正六边形瓷砖． 【类型一】用代数式表示阴影面积 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④若时，则阴影A的周长比阴影B的周长少8． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①首先明确长方形的较长边为大长方形长个小长方形的较短边； ②表示出阴影的较短边，阴影的较短边，再求它们的和； ③根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算； ④根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算． 【详解】解：①小长方形的较短边为，大长方形长为， 小长方形的较长边为； ①符合题意； ②阴影的较长边，较短边， 阴影的较长边，较短边， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ②不符合题意； ③阴影和阴影的周长和为， 若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ③符合题意； ④阴影的周长比阴影的周长少， 若时，原式， 阴影的周长比阴影的周长少； ④符合题意． 故正确的有①③④． 2．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多2，记图（1）中阴影区域周长为，图（2）中阴影区域周长为，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，理解题意并列出正确的代数式是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图（2）得大长方形的长为，那么它的宽为，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再将它们作差，计算即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图（2）得大长方形的长为， ∵大长方形的长比宽多， ∴它的宽为， ∴，， ∴ ， 故选：B． 3．如图，把四个长为、宽为（）的小长方形卡片，按图1和图2两种方式不重叠地放在同一个大长方形中，大长方形的长比宽大3.5，两种方式未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中两块阴影部分的周长和为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减的运用，认真观察图形，准确表示出阴影的周长是解题的关键． 根据题意，结合图形分别得出图1的阴影周长和图形2的两块阴影周长，比较后即可求出答案． 【详解】解：根据题意，设大长方形的宽为，则长为， ∵小长方形的长为，宽为， ∴图1的阴影周长为：， ∴图2上面阴影的总周长为：， 图2下面阴影的周长为：， ∴图2阴影的总周长为：， ∴（）． 故答案为：． 【类型二】新定义运算 1．我们定义一种运算： ，例如， ， ，按照这种定义的运算，当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算法则得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：因为， 所以， ， 所以，则， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的加减、解一元一次方程，理解新定义运算法则，正确列出方程是解答的关键． 2．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据新定义运算，将代入公式，得到方程，求解x即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了新运算法则、代数式求值等知识点，掌握新运算法则是解题的关键．先根据新的运算法则化简，然后将整体代入求值即可． 【详解】解： 当时， 原式 ． 故答案为：． 【类型三】操作问题 1．小琪在一本数学书中看到了这样一个探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串：m，n，； 第2次操作后得到整式串：m，n，，； 第3次操作后…， 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小琪将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为0，2025次后出现2027个整式，前项为组，和为0；最后5项对应模式中的特定项，其和为． 【详解】解：第1次操作后得到的整式串：m，n，； 第2次操作后得到的整式串m，n，，； 第3次操作后得到的整式串m，n，，，； 第4次操作后得到的整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到的整式串m，n，，，，，m； 第6次操作后得到的整式串m，n，，，，，m，n； 第7次操作后得到的整式串m，n，，，，，m，n，； …… 第2025次操作后得到的整式串m，n，，，，，……m，n，，，；共2027个整式； 归纳可得，以上整式串每六个一循环．每6个整式的整式之和为： ， ∵ 第2025次操作后得到的整式中，求最后五项之和即可． ∴这个和为． 故选：C． 2．在两个整式，之间写上这两个整式之和，得到整式串：、、，看作第一次操作；再在、、每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，得到一个新的整式串，看作第二次操作；第三次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的；第四次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，…，则下列说法中： ①第二次操作得到整式串：，，，； ②第四次操作后的整式串的第四个整式为； ③第六次操作后的整式串中共有个整式65； ④当时，第2025次操作后得到的整式串中所有整式之和为2053351．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探究，整式的加减运算；根据新定义计算第二次操作得到整式串，即可判断①，同理计算第四次操作得到的整式串，即可判断②，根据规律，每一次是前一次数量的2倍少1个，进而求得总数量，即判断③和④， 【详解】解：第一次操作得到整式串：、、，共有个整式， ①第二次操作得到整式串：，，，，，故①不正确，共有个整式， 第三次操作得到整式串：，，，，，，，，，共有个整式， 第四次操作得到整式串：，，，，，，共有个整式，； ……，第次操作得到整式串共有个整式 ②第四次操作后的整式串的第四个整式为，故②正确； ③第六次操作后的整式串中共有个整式，故③正确 ④第一次操作得到整式串：、、，其和为 第二次操作得到整式串：，，，，，其和为， 第三次操作得到整式串：，，，，，，，，，其和为， ……， 第次操作得到整式和为： 当时，第次操作后得到的整式串中所有整式之和为，故④不正确． 故选：B． 3．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2025次操作后得到的整式串各项之和是___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，规律性问题探索，找到规律是解题的关键；通过计算前几次操作后整式串的和，发现操作每6次循环一次，第2025次操作后整式串的和对应第3次操作后整式串的和． 【详解】解：第1次操作后整式串之和为； 第2次操作后整式串之和为； 第3次操作后整式串之和为； 第4次操作后整式串之和为； 第5次操作后整式串之和为； 第6次操作后整式串之和为； 第7次操作后整式串之和为； …… 操作每6次循环一次，，故第2025次操作后整式串之和与第3次操作后相同，为； 故答案为． 【类型四】行列排序问题 1．将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 【答案】D 【详解】解：由题意可知，奇数排列从列开始到列，再从列到列结束，每个奇数位置循环出现， 另第一个数字为，第个数字为，第个数字为， 则第个数字为， 是第个式子， 则， （行）， 可知在行列，选项符合题意． 2．观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案. 【详解】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第行，第n列， ∴在第行，第列， ∴， 故选：C. 3．将连续正整数按如下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 第五行 17 18 19 20 … 若正整数2025位于第a行，第b列，则的值为_____． 【答案】506 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：（1）每行都有4个数．（2）奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小． 从给出的一组数据中寻找规律：四个一行，偶数行从右往左排，奇数行从左往右排，确定a、b，再代入进行计算，然后得结论． 【详解】解：由图中信息以及题意知，， ∴2025在第507行，第1列上 ∴，， ∴ 故答案为：506． 【类型五】代数式的整体思想 1．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查合并同类项，代数式的恒等变形，代数式的加减代换，掌握整体思想是解题关键． （1）把看作一个整体，直接合并同类项的系数，得到简化结果； （2）将代数式变形为，再把整体代入求值； （3）把已知的、、看作整体，通过加减组合出和，再代入目标式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ． （3）解：，，， ， ， ． 2．我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学的整体思想．整体思想是数学解题中的一种重要的思想，其应用较为广泛．请运用整体思想解答下面的问题． (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把看成整体直接计算即可； （）将原式变形为，然后整体代入计算即可； （）先将原式去括号，然后合并同类项，利用加法交换律和结合律，再整体代入即可； 本题考查了整式的加减运算化简求值，掌握合并同类项的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴原式 ， ， ； （3）解：∵ ，， ∴原式 ， ， ， ， ． 3．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （A级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）运用“整体思想”合并； （3），则______． （B级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． （C级选做题） （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，运用“整体思想”求的值； （3）若，则______． 【答案】（A级选做题）（1）2；（2）；（3）2；（B级选做题）（1）2；（2）；（3）；（C级选做题）（1）2；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整式的加减、求代数式的值，解此题的关键是采用整体代入的思想进行计算． （A级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）运用“整体思想”合并同类项即可； （3）把写成，整体代入计算即可； （B级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）把写成，整体代入计算即可； （3）由可得，把写成，整体代入计算即可； （C级选做题） （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）将写成，整体代入计算即可； （3）由可得，再将写成，整体代入计算即可． 【详解】解：（A级选做题） （1）， 故答案为：； （2）； （3）， ， 故答案为：； （B级选做题） （1）， 故答案为：； （2）， ； （3）， ， ， 故答案为：； ，则 （C级选做题） （1）， 故答案为：； （2）， ， （3）， ，即， 故答案为：． 【类型六】整除问题 1．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除下面是数学学习小组探究“自然数被9整除的规律”的学习片段． 猜想：一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除． 【探究一】若这个自然数是两位数 设这个两位数为，则． 能被9整除，能被9整除， 就能被9整除，即能被9整除． 【探究二】若这个自然数是三位数 设这个三位数为，则． 能被9整除，能被9整除， 就能被9整除，即能被9整除． 【探究三】若这个自然数是四位数 (1)请将【探究三】补充完整． (2)请写出一个能被9整除的五位数． 【答案】(1)证明：设这个四位数为， 则． 能被整除，能被整除， 能被整除， 即能被整除． (2)（答案不唯一） 【分析】（1）仿照题目给出的两位数、三位数的探究过程，将四位数拆分为9的倍数部分加上各数位数字和的部分，利用整除的性质完成推导即可； （2）根据探究得到的规律，写出各数位数字之和能被9整除的五位数即可． 【详解】（1）略； （2）解：由探究可得，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除． 取五位数，它的各数位数字和为，能被整除， 因此是符合要求的能被整除的五位数．（答案不唯一） 2．【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①；②是的倍数，且是的倍数 【分析】（1）利用表格中的规律得出可以被7整除，那么就能被7整除； （2）根据规律得到，分解式子得到，即可求解； （3）①设前面的数字为，即，整理得到，即是的倍数时，能被整除，求出即可；②由被整除的规律和被整除的规律列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一个三位数，如果可以被7整除，那么就能被7整除； （2）解：∵， ， ∵是的倍数， ∴是的倍数时，那么就能被7整除， 即是的倍数时，那么就能被7整除； （3）解：①设中前面的数字为，则可表示为， ∵， ∴当是的倍数时，能被整除， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②：∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； ∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； 综上所述，当是的倍数，且是的倍数时，四位数，既能被整除，也能被整除． 3．综合与实践 【问题背景】小马同学探索被5整除的数的规律，她查到了如下材料． (1)材料1：一个两位数，若十位数字是a，个位数字是b，则它记为，． 材料2：设是一个三位数，．显然能被5整除，若_____（写出一个即可），b也能被5整除，则这个三位数能被5整除． (2)【实践应用】设是一个三位数，若能被3整除，则这个三位数能被3整除．理由如下：因为①_____， 因为（②_____），且②是整数，所以①能被3整除， 又因为能被3整除，所以这个三位数能被3整除． 请你写出①，②表示的代数式， (3)【拓展延伸】设是一个四位数，若能被9整除，则这个四位数能被9整除．请模仿（2）说明理由． 【答案】(1)0或5（填写一个即可） (2)①；② (3)见解析 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据整除定义进行解答即可； （2）根据整式加减法则，进行填空即可； （3）仿照（2）中的证明方法，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，且b为整数， ∴当或5时，b能被5整除； （2）解： 显然能被3整除， 因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． （3）解： ． 显然能被9整除， 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除． 【类型七】代数式的变化规律 1．代数式是表示数量变化规律的重要形式.一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … … … … … … … … 【初步感知】 （）根据表中信息可知：_____，_____； 【归纳规律】 （）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就随之增加．类似的，的值随着的变化而变化的规律是：_____； 【计算验证】 （）当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【应用迁移】 （）观察表格，下列结论正确的序号是_____． ①当时，；②当时，； ③当时，；④当时，． 【答案】（），；（）的值每增加，的值就减少；（）当，的值从增加到时，关于的代数式的值增加；当，的值从增加到时，关于的代数式的值减少，理由见解析；（）①③④ 【分析】（）把和分别代入和计算即可求解； （）根据表格数据找出变化规律即可； （）由，分和两种情况即可求解； （）根据表格数据逐项判断即可求解； 本题考查了代数式求值，代数式的应用，整式的运算，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）当时，， ∴； 当时，， ∴； 故答案为：，； （）的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就减少， 故答案为：的值每增加，的值就减少； （）∵， ∴当，的值从增加到时，关于的代数式的值增加；当，的值从增加到时，关于的代数式的值减少； （）①当时，由表格得，， ∴，故①正确； ②当时，由表格得，， ∴，故②错误； ③当时，由表格得，，， ∴， ∴，故③正确； ④由表格得，当时，故④正确； 综上，结论正确的序号是①③④， 故答案为：①③④． 2．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 … … 0 a … … b 0 2 … … 1 3 5 … (1)根据表中信息可知： ， ； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就减少1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是： ； (3)观察表格，下列说法错误的有 ；（填序号） ①当时，；②当时，；③当时，；④当时，． (4)若的值总是大于的值，观察表格，写出你认为满足这一条件的x的取值范围． 【答案】(1) (2)x的值每增加1，的值就增加2 (3)①② (4) 【分析】本题主要考查代数式求值，解答的关键是分析清楚所给的数列之间的关系． （1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）观察表格中的数据，从而可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：； （2）观察表格，的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2， 故答案为：x的值每增加1，的值就增加2； （3）①当时，，，错误； ②当时，，，错误； ③当时，，，正确； ④当时，，，正确， 故答案为：①②； （4）观察表格得，当时，的值总是大于的值． 3．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 m 5 7 … … 7 6 5 4 3 2 n … … 11 6 3 2 3 6 11 … (1) ______，______； (2)表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：______．的值随着x的变化而变化的规律是：______． (3)下列结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】(1)3，1 (2)x的值每增加1，的值就减小1；当时，的值随着x的增大而减小；当时，的值随着x的增大而增大，的最小值为2 (3)②④ 【分析】本题考查了求代数式的值，整式的性质，熟练掌握求代数式的值是解题的关键． （1）根据代数式求代数式的值解答即可； （2）根据代数式的值的变化规律解答即可． （3）根据代数式的值的变化特点，判断解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，1． （2）解：根据代数式的值变化规律是：x的值每增加1，的值就减小1， 时，的值随着x的增大而减小， 时，的值随着x的增大而增大， 的最小值为2． 故答案为：x的值每增加1，的值就减小1；时，的值随着x的增大而减小；时，的值随着x的增大而增大，的最小值为2． （3）解：①当时，解得，故本题错误； ②当时，解得，故本题正确； ③当时，解得或，故本题错误； ④当时，解得，故本题正确． 故答案为：②④． 【类型八】一元多项式的恒等关系 1．阅读理解 如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式，对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与 当任取一个数时，如，，，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 要判断两个多项式是否恒等，可以通过去括号、合并同类项，判断能否把其中一个多项式转化为另一个多项式，或者能否把两个多项式都化简为相同的形式．例如，把，分别降幂排列，都能够化为 (1)判断多项式与是否恒等，并说明理由． (2)已知一元多项式（其中，为常数）与（其中，为常数）恒等，请直接写出，，，的值．___________ 【答案】(1)恒等，理由见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了去括号、合并同类项，解决本题的关键是根据去括号、合并同类项把多项式化简，再根据多项式相等即多项式中的同类项分别相等，求出系数． (1)根据去括号法则去括号可知两个多项式恒等； (2)根据多项式相等即多项式中的同类项相等，得到各项系数的值． 【详解】（1）解：多项式与恒等， 理由如下： ， ， 与恒等； （2）解：多项式与恒等， ， ，，，． 2．课本再现 一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与． 当任取一个数时，如，，，…，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． (1)关于的多项式（其中为常数）与（其中，为常数）是恒等的，则___________，___________，___________； (2)七年级数海遨游社团的同学们对恒等式展开了深入研究，他们发现的值可以计算，当时，左边，右边，所以． 请你参考他们的探究过程，求以下代数式的值： ①； ②； ③． 【答案】(1)，， (2)①，②243， ③ 【分析】本题考查了求代数式的值，准确理解题意是解题的关键． （1）根据恒等即可求得； （2）①当时，分别求得左边和右边，即可知； ②当时，左边，右边，即可知； ③结合和，即可求得，再利用，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的多项式与是恒等的， ∴ ∴，，； （2）解：①当时，左边，右边， ∴； ②当时，左边，右边， ∴， ∴； ③∵，， ∴ 则左边，右边， ∴， ∵， ∴． 3．【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与．当x任取一个数时，如，，1，…，a，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等 【问题解决】已知恒等式，当时，左边，右边＝，所以．求以下代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，准确理解题意是解题的关键． （1）仿照题例求出当时，左右两边的值，进而求解即可； （2）将，两式相加，得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：当时，左边，右边， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【类型九】代数式的归纳 1．“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，“归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． 【探究】数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下： 直观发现：小正方形的数量和依次为，，，，… 因此空白部分的小正方形的数量和依次为，，，，… （1）请你归纳总结：____； 【迁移】数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： （2）连续奇数的和 请你归纳总结：_______； （3）连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结：____； 【应用】 （4）利用以上结论，计算的值． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析， ；（4）20050 【分析】本题考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）根据题意画出图形，同（2）的结论推出个连续偶数的和，得出规律即可； （4）根据题意整理得到连续奇数的和以及连续偶数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为： ； 故答案为：； （3）第④个图，如图： 由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为：； 故答案为：； （4）解： ． 2．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．对于较为复杂的问题，可以从分析简单情形入手，通过分析归纳出一般规律．将棱长为1cm的正方体按如图方式放置，对于第1个图，可知其表面积为6cm2．用棱长均为1cm的正方体按照第2个图、第3个图、……进行放置． (1)依次写出第2个图、第3个图的表面积： cm2， cm2；（直接写结果） (2)求第20个图的表面积； (3)直接写出第n个图的表面积： cm2．（结果不用化简） 【答案】(1)34，86 (2)4642cm2 (3) 【分析】本题主要考查了图形类数字变化规律问题， 对于（1），分别数出第1，2，3个图中正方形的个数，根据每一个的面积是1可得出答案； 对于（2）（3），根据（1）中数字变化特点得出规律即可解答． 【详解】（1）解：第1个图的表面积为； 第2个图的表面积为； 第3个图的表面积为； 故答案为：34，86； （2）解：由（1）规律可知第20个图的表面积为： ； （3）解：由（1）可知第n个图的表面积为：． 故答案为：． 3．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们进行推理，获得结论． 问题：求的值（其中是正整数），参加鹿鸣成长课程的同学们运用数形结合的方法进行了探究． 方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，，个小圆圈排列组成的，再把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即． 【问题提出】同学们进一步探究：求的值（其中是正整数）． 【问题解决】采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用图形进行推理获得结论． 探究1：如图2，可以看成1个的正方形的面积，即． 探究2：如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；，分别表示1个的长方形，其面积的和为：；，，的面积和为，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形．由此可得：． 探究3：类比上述探究过程，请你借助图形探究：　　　　； 要求构造图形，并说明理由． 【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：　　= （直接写出结论即可） 【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和． 例如：棱长是1的正方体有：个， 棱长是2的正方体有：个， 棱长是6的正方体有：个； 利用上面归纳的结论，通过计算可得图4中大小正方体的总个数为　　． 【逆向应用】 如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有2025个，那么棱长为1的小正方体的个数为　　． 【拓展探究】 观察下列各式：；；；； 若为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2443”这个数，则的值为　　． 【答案】问题解决：，；结论归纳：，；结论应用：；逆向应用：；拓展探究： 【分析】本题考查图形及数字的变化规律．利用数形结合的思想，推理得到数字的变化规律是解决本题的关键． 问题归纳：构造边长为的大正方形，根据图形可得相应的结果； 结论归纳：利用上题的规律解决问题即可； 结论应用：图4中大小正方体的总个数为，利用得到的规律求解即可； 逆向应用：根据上题的结论易得搭成的大正方体中最大正方体的棱长，进而根据上题的结论可得棱长为1的正方体的个数是搭成的大正方体中最大正方体的棱长的立方； 拓展探究：判断出的结果中等号右边的第一数，和所给的数2443进行比较，可推算出的值． 【详解】问题归纳：如图，表示1个的正方形，其面积为：；，，的面积和为，，，，，的面积和为，而，，，，，，，，恰好可以拼成一个边长为的大正方形．由此可得：． 故答案为：，36； 结论归纳：； 故答案为：，； 结论应用：图4中大小正方体的总个数为； 故答案为：441； 逆向应用：设搭成的大正方体中，最大正方体的棱长为， 则大小正方体的总个数为：． ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）． 棱长是1的正方体有：； 故答案为：729； 拓展探究：的结果中等号右边的第一个数为：； 的结果中等号右边的最大的数为：； 的结果中等号右边的最大的数为：； ． 的结果中等号右边的第一数为：； 等式右边含有“2443”这个数， ， ， ，， 的值为49． 故答案为：49． 【类型十】代数式的新定义应用 1．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式是将与互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式是二元对称多项式；②整式与通过一次加法或减法运算可得到． （1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足与互换后不变、无同类项、按降幂排列的多项式即可； （2）对每个多项式组，先验证是否为二元对称多项式，再验证与能否通过加减运算得到； （3）利用“二元对称关联式”的条件，分、、三种情况列等式，求解对应的多项式． 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 2．阅读以下材料并回答问题： 在代数式的研究中，为了统一表述，定义整式的“标准式”与“偏差值”． ◇定义1（标准式）：关于字母x的整式，若满足以下条件，则称为“标准式”： ①式子中不含同类项； ②各项按照 x 的降幂排列； ③最高次项的系数为正数； 例如，整式的标准式推导过程为：先合并同类项得，再调整最高次项系数为其绝对值，得标准式为． ◇定义2（偏差值）：对于非标准式的整式，将其转化为标准式后，原整式中各项系数的绝对值之和与标准式中各项系数的绝对值之和的差的绝对值，称为该整式的“偏差值”．例如，整式中各项系数的绝对值之和为，其标准式系数绝对值之和为，则该整式的偏差值为．请根据以上材料回答下列问题： (1)请将整式转化为标准式 ， 其偏差值为 (2)若整式（其中m为常数）的偏差值为8，则m的值为 (3)若整式（其中a 、b 为常数）的标准式是关于x 的一次多项式，且偏差值为8，则 ， ． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【分析】本题考查整式运算和新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． （1）仿照题干中的例子，先合并同类项，调整最高次项系数为其绝对值，得到标准式；计算原整式中 各项系数的绝对值之和与标准式中各项系数的绝对值之和的差的绝对值，计算偏差值即可； （2）先去括号、合并同类项得到标准式，再根据原式的各系数的绝对值之和减去标准式中各项系数的绝对值之和等于8，进行列方程求解即可； （3）先化简整式，根据标准式是一次多项式确定的值，再根据偏差值求解即可． 【详解】（1）解： 合并同类项得：， 最高次项系数为其绝对值，得标准式为：， 整式中各项系数的绝对值之和为，其标准式系数绝对值之和为， 则偏差值为， 故答案为：，； （2）解： 合并同类项得：， 最高次项系数为其绝对值，得标准式为：， 整式中各项系数的绝对值之和为， 其标准式系数绝对值之和为， 偏差值为， 即， 去绝对值得：或（舍去）， 则， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或； （3）解： 去括号、合并同类项得：， 由于原整式的标准式是关于x 的一次多项式， 则，解得， 因此原整式为， 原整式的各项系数的绝对值之和为， 当时，其标准式系数绝对值之和为， 根据偏差值为8得，， 即， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍去）， 当时，即，其标准式系数绝对值之和为， 根据偏差值为8得，， 即，无解， 综上所述，的值为． 3．新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）由题意可知，，即可求解． （2）由题意可知，，化简代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据可知， 根据可知； （2）解： 【类型十一】分数裂项 1．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】(1) ；（2）；（3）①；② 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合上面发现的规律进行计算即可； （3）根据所给等式，发现规律，并据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知：，，⋯⋯， 所以，， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①因为；；；… 所以，， 故答案为：； ② ． 2．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减．例如： ①，我们将上述计算过程倒过来，得到； ②，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，分数裂项的本质其实是异分母加减法的逆运算． 请你观察： 以上方法称为“裂项相消求和法”． 类比上述方法，解决以下问题： (1)直接写出计算结果： ①________；②__________； (2)计算： (3)计算： 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）①根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可；②根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可； （2）根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可； （3）根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 3．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； 【方法提示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2） （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）利用裂项公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3） 1．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项中所含字母相同，且相同字母的指数相等列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项，同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数相等， ∴两个单项式中的指数均为，的指数相等， ∴可列方程，移项、合并同类项得，解得． 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误； B、，∴B计算错误； C、，∴C计算错误； D、，∴D计算正确． 3．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 【答案】D 【详解】解：是常数，不含字母，则次数为0，故A错误； 单项式的数字因数是，即系数是，故B错误； 单项式中所有字母的指数和为，次数是3，故C错误； 单项式的数字因数为，即系数为，故D正确． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的次数及最高次项的系数（   ） A．2，2 B．2， C．3， D．3，2 【答案】B 【分析】本多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，常数项的次数为0，最高次项的系数是最高次项中的数字因数． 【详解】解：多项式的各项分别为，，， ∵是常数项，次数为0，的次数为1，的次数为2， ∴该多项式的次数为2，最高次项为，最高次项的系数为． 5．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知，则的值为 _________ ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴． 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知，那么______． 【答案】2或或0 【分析】本题根据可知均不为，需对的正负性分类讨论，利用绝对值的性质化简后计算即可． 【详解】解： ， 分四种情况讨论： ①当，时， ； ②当，时， ； ③当，时， ； ④当，时， ； 综上，的值为2或0或． 7．（25-26九年级下·江西抚州·阶段检测）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中“★”共有______个． 【答案】31 【分析】根据图形的特点归纳总结规律即可求解． 【详解】解：第1个图形中★共有个； 第2个图形中★共有个； 第3个图形中★共有个； 第4个图形中★共有个； ， 依此类推，第个图形中★共有个； ∴第10个图形中★共有个． 8．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，乘法分配律，正确去括号、合并同类项是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项化简整式； （2）先用乘法分配律去括号，再合并同类项得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，关键是掌握给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．先去括号，然后合并同类项进行化简，最后代入，求值． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 10．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）某小区的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建两个半圆形花圃（半径为b），其余部分进行硬化． (1)求硬化部分的面积（用含、的代数式表示）； (2)当时，求硬化部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值， 对于（1），根据长方形的面积减去圆的面积得出代数式； 对于（2），将数值代入计算得出答案． 【详解】（1）解：硬化部分的面积； （2）解：当时， 原式 ， 答：硬化部分的面积为． 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）当时，代数式的值为 （    ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入可得， ，A选项符合题意． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）某文具店笔记本单价为a元，圆珠笔单价为b元，购买3本笔记本、5支圆珠笔总费用为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，能够熟练掌握数学中常见的数量关系为解题的关键． 本题根据“总价=单价×数量”的关系，分别计算两种商品的总价，再求和得到总费用即可． 【详解】解：∵ 笔记本单价为元，购买本， ∴ 购买笔记本的总费用为元， ∵ 圆珠笔单价为元，购买支， ∴ 购买圆珠笔的总费用为元， ∴ 购买两种商品的总费用为（元）． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 4．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）当时，代数式的值是2005，则当时，代数式的值为（     ） A．2002 B．1999 C． D． 【答案】D 【分析】当时，代数式的值为2005，可先求出的值；当时，和的值为时的相反数，进而求出代数式的值． 【详解】解：当时，，则， 当时，，，则所求代数式为：， ∴当时，． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则 的值是______． 【答案】3 【分析】根据相反数和倒数的定义得到，，再对原式变形后代入计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数， ，， ． 6．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算，若，，则______． 【答案】1或 【分析】先根据可得或，再根据题意进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， 或， ， ①当，时， ； ②当，时， ； 综上所述：或， 7．（25-26七年级下·重庆·期中）有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 【答案】 【分析】根据有理数在数轴上的位置得到，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ． 8．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 【答案】5或 【分析】根据倒数、相反数、绝对值的概念可得，，再代入计算即可求解． 【详解】解：a与b互为倒数，c与互为相反数，， ，， ， 当时，； 当时，； 综上，的值为5或． 9．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足． (1)求的值； (2)求的值； (3)探究：和的关系；任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入和中，在运算后，你有什么发现？ 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查定义新运算和有理数的混合运算，正确掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，代入计算即可； （3）选择两个满足题意的有理数代入计算，观察结果即可． 【详解】（1）解：； （2）， ， 则原式； （3）选择和， 则，， ； 我发现在运算后，它们的值相等． 补充一般性结论，即的证明： 设这两个有理数分别为， 则，， ∴． 10．（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）阅读材料：代数式运算中：，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， (1)把看成一个整体，计算：； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)7 (3)21 【分析】本题考查了整式的加减： （1）把看成一个整体，再合并同类项； （2）将变形为，代入已知值计算； （3）先化简，再利用已知等式组合计算． 【详解】（1）解：把看成一个整体，则 ． （2）解：， ． （3）解： ， ， 原式 ． 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式系数为单项式的数字因数，单项式次数为所有字母的指数和，注意是常数不是字母，多项式的次数为最高次项的次数，项数为单项式的个数，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，不是，结论错误； B、单项式中字母的指数是，的指数是，总次数为，不是，结论错误； C、单项式的系数是，不是没有系数，结论错误； D、多项式 有、、共三项，最高次项的次数是，是二次三项式，结论正确． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）有理数a，b，c满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加法、绝对值的性质，根据和，可推得b、c同号，a与b、c异号，结合绝对值性质分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，且， ∴a、b、c三个数都不为0，且， 若b、c异号， 则， 与矛盾， ∴b、c同号，a与b、c异号， 可得， 当a为正，b、c为负时， ∵， ∴， ∴A选项不成立， ∴A错误； B、∵，且， ∴a、b、c三个数都不为0，且， ∴B选项错误； C、当时，； 当时，． ∴不恒成立， ∴C错误； D、∵和， 分情况讨论： 当时，成立； 当时，， 又∵， ∴当a、c异号时，． ∴D正确． 故选：D． 3．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，用相等长度的火柴棒摆成如图所示的一组图形，按照此规律，摆第个图形要用的火柴棒的根数为（    ）． A． B．12m C． D． 【答案】D 【分析】找出图形的变化规律，进行解答即可． 【详解】解：第1个图形需要12根火柴； 第2个图形需要20根火柴； 第3个图形需要28根火柴； 即每次增加8根火柴，则第m个图形需要根火柴． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，且，则的值为（   ） A．5或 B．或 C．5或7 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，求代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 根据绝对值与平方的性质求出x、y的所有可能取值，，再分情况讨论即可得解． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， 当，时，，满足题意，此时； 当，时，，满足题意，此时； 当，时，，不满足题意； 当，时，，不满足题意； 综上所述，或． 故选：C． 5．（24-25七年级上·重庆合川·期末）学校有足球m个，篮球的数量比足球的2倍多18个，则篮球的数量为_______． 【答案】 【详解】解：由题知， 因为足球有m个，且篮球的数量比足球的2倍多18个， 所以篮球的数量为个． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为6小块，除长方形A，B外，其余4块是形状，大小完全相同的小长方形，设小长方形的宽为．若，则长方形A，B的周长之和为___． 【答案】80 【分析】设小长方形的长为，分别表示出A，B的长和宽，然后表示出其周长之和后代入数值计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为， 则A的长为，宽为，B的长为，宽为， ， 即长方形A，B的周长之和为． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知：，． (1)计算：； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把，代入，然后根据去括号法则和合并同类项法则进行化简即可； （2）把，代入（1）中化简的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：当，时， ． 9．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有一种可计算之间整数相乘的手指算法． 例：计算时，按图1标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，双手共有5个手指，则以5作为十位数字；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指头数作为十位数字”）． 【学习算法】 （1）计算时，按上述方法，算法为： ； 【总结算法】 （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为： （用含a，b的代数式表示）． 【探究拓展】 （3）若a，b变为之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． （4）若a为6～10之间整数，b为16～20之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； （4） 【分析】理解新方法是解题关键． 【详解】解：（1）； （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有个手指，右手有个手指；虚线下方双手共有个手指．则算法为：（用含a，b的代数式表示）； （3）由题意得虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指，则在虚线下方共有个手指，但因为a，b为之间整数，所以算法为：； （4）若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指，下方则有左右手分别有个手指，，但因为a为6～10之间整数，b为16～20之间整数，则算法为：． 10．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)， (2)166 (3)两块阴影部分的周长之差为定值 【分析】本题考查了几何图形中的代数关系及周长计算，关键在于通过图形中正方形边长的关联，准确表示各线段长度，进而利用周长公式进行计算，并通过代数运算判断两块阴影部分周长之差是否为定值． （1）通过观察图形中正方形边长的关系，结合已知和最小正方形边长，推导和的表达式； （2）先确定长方形的长和宽，再利用周长公式计算并代入求值； （3）设定平移距离，分别表示两块阴影部分的周长，再求其差判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵最小的正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴长方形的周长为：， 当时， ， ∴长方形的周长为166； （3）解：两块阴影部分的周长之差为定值，理由如下： 设正方形沿方向向右平移，则， ∴左上角阴影部分的周长为：， ∵右下角阴影部分的邻边长为和， ∴右下角阴影部分的周长为：， 则， ∴图中两块阴影部分的周长之差为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $