山东省淄博第四中学2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

**基本信息** 四中高二期末数学卷以科技前沿（具身智能竞赛）、文化遗产（一百零八塔）、实际生产（电池质检）为情境，通过分层设问考查统计概率、数列、函数等知识，体现用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|中位数、相关系数、函数图像|基础概念与直观想象结合| |多选|3/18|随机变量、函数性质、立体几何|多维度辨析逻辑推理能力| |填空|3/15|正态分布、偶函数、数列求和|知识迁移与简洁表达| |解答|5/77|数列通项与求和、函数极值、概率分布、独立性检验、随机游走|融合文化（一百零八塔）、科技（AI竞赛）、生产（电池质检）情境，考查综合应用与创新思维|

四中高二6月份期末检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．这一组数据：的中位数为 A． B． C． D． 2．对于，两个变量的四组样本数据，分别算得线性相关系数，，，，则线性相关性最强的是 A． B． C． D． 3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则 A． B． C． D．或 4．函数的图像大致是 A． B．  C． D．   5．已知实数是3与9的等比中项，则 A． B． C． D．6 6．已知函数的最大值为1，则 A． B．1 C． D．2 7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则 A．2 B．4 C．6 D．8 8．关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有 A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 10．设函数，给定下列命题，则下列选项正确的是 A．函数的最小值为 B．不等式的解集为 C．函数在单调递增，在单调递减 D．若恒成立，则实数 11．在直三棱柱中，下列说法正确的是 A．以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥有12个 B．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 C．过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对 D．给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有264种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若随机变量，且，则______． 13．已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 14．已知数列的前n项和为，且满足，，则 _________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列为等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．已知函数． （1）当，时，求的极值； （2）若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围． 17．年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．在平面直角坐标系中，一质点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处． (1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； (2)记第n秒末点M回到原点的概率为． ①求，，并利用公式，求； ②令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的．利用公式：，证明：点M是常返的． 高二数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $四中高二6月份期末检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.这一组数据：12,15,9,7,18,20,15的中位数为 A.13 B.14 C.15 D.16 2.对于x,y两个变量的四组样本数据，分别算得线性相关系数1=-0.75,5=0.70， 3=-0.85,4=0.80,则线性相关性最强的是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必 须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是P,随机变量X表示最终的比赛局数，若X的 数学期望为)，则P A. B. 3 C.4 4.函数f(x)=（x2-2x)e的图像大致是 B 5.已知实数a是3与9的等比中项，则a= A.±33 B.±6 C.3V3 D.6 6.己知函数fx)=+之的 二的最大值为1，则a= A B.1 D.2 高二数学试题第1页共4页 7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名 遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为 4=1,2,…,12),其中4=1,4=4=3,4=4=5，且46,4，，42是一个首项 为7，公差为2的等差数列.将4，马，，42分为6组，每组2个数，使得每组的2 个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等差数列，则d= A.2 B.4 C.6 D.8 8.关于x的不等式e2a+x.nr<x2+2对x∈(0,1)恒成立，实数a的取值范围为 A. B. C.(-m,0] D.[0,+o) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部 分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有 A.若随机变量X~N(1,o2),P(X<4)=0.79,则P(X≤-2)=0.21 1 B.若随机变量X~B10 则方差D(3X+2)=30 C.从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为1-C D.已知随机变量x的分布列为P(X=)-i=1,2,3》.则P(X=2)-号 10.设函数f(x)=h,g(x)=' ,给定下列命题，则下列选项正确的是 A.函数f(x)的最小值为 B.不等式8(x)>0的解集为 o C.函数8(x)在(0，e)单调递增，在(e,+o)单调递减 D.若f()-a≤0恒成立，则实数a≥1 A C 11.在直三棱柱ABC-AB,C中，下列说法正确的是 A.以三棱柱的项点为顶点的三棱锥有12个 B B.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 C.过三棱柱任意两个项点的直线中，异面直线有39对 D.给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个 A人-----------二 端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方 法共有264种 B 高二数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 (1 12.若随机变量x心B,且D(X)三6，则P(X=3)= 13.已知f)=2m(a+0)(aeZ,0≤0<2m)是偶函数，f)在区间0,2 上单调递 增.则0=」 72π 、3 30+1,a.=2k-1 14.已知数列{am}的前n项和为Sn,且满足43=2，a+1= 没a-2h ,k∈N*,则Sg1= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.己知数列{an}为等差数列，且4+42=6,4+4=10 (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列 的前n项和Sn. a) 16.已知函数f(x)=lnx-ar+bx2. 1)当a=4,b=时.求)的极值： (2)若b=0,f(x)有最大值且f(x)的最大值小于2a-3,求a的取值范围. 17.2026年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作 大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重 新定义人类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞 赛活动，活动分两轮进行.第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学 校参加比赛的资格。已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为子，在通过 第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为 为复设他们之间遍过与香相互 独立 (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率： (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为5，求的分布列及期望. 高二数学试题第3页共4页 18.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工 程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样 本数据进行统计，制作了如下的2×2列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 (1)根据表中数据，依据小概率值=0.05的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品 质量有关联； (2)现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产 品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的 件数为X,求X的分布列和数学期望： (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记 其中合格的件数为Y,求使事件“Y=k”的概率最大时k的取值 参考公式及数据：x= n(ad-be) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.在平面直角坐标系中，一质点M从原点出发，每秒向左、 向右、向上或向下移动一个 单位长度，且向四个方向移动的概率均为}.例如在1秒末，点M会等可能地出现在(1,0)， (-1,0),(0,1),(0,-1)四点处 (1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率： (2)记第n秒末点M回到原点的概率为Pm. ①求P,24,并利用公式之(C)广=C,求P: i=0 ②令b.=p2m,记Sn为数列{b}的前n项和，若对任意实数t>0,存在n∈N+,使得Sn>t, 则称点是范运的.利用公式：2目)←m食，明点是宿运的， 高二数学试题第4页共4页四中高二6月份期末检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 c 心 C A B B B ACD BD 题号 11 答案 ABD 45 12. 512 13. 3π 1 14.211或218 2 15.(1)4.=2n (2)S= n+1 (1)设等差数列{a}的公差为d, 由41+4=6得2a+d=6, 由4+4=10得2g+3d=10, 解得d=2,a=2. 所以an=4+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)4=2n,则aH=2(0n+1), 4 -1=11 所以aa220+1）n+1）nn+1 n+1n+1 2 32, 16.解析：(1)当a=4,b=3时，fx)=nx-4x 共定文城为Q1四.了)=士4+3x=-- 令f'(国>0，得0<<写或x1,令f()0,得时1， 1-3 G 1 (1,+∞) f"(x) 0 0 × f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当x=时， 心有段大信/)-名h3。当x=1时，)有极小J)=多 答案第1页，共5页 极大位为名血3，枚小值为3 (2)若b=0,则f(y)=n-ax,定义域为(0，+o),f"(x)=1-a, 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增，f(x)无最大值，不合题意， 所以a>0,令T)0,则0<分)在o日上单词适鼎 令了)<0，则行f在[a上单调递减， 则fa=j-na-1, 因为f(x)的最大值小于2a-3,所以-lna-1<2a-3, 解2a+lna-2>0,设g(a)=2a+lna-2, 易知g(ad)在a∈(0，+o)上单调递增， 又8(1)=0，所以8(a>0=8(1),所以a>1,故a的取值范围为(1，+∞). 17.064 7 (3)分布列为： 5 0 25 55 39 0 128 128 128 128 数学期望为 (1)“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 3 每人通过第一轮的概率为4，且相互独立，故全部通过的概率为： 464 3 .3人中最多2人通过第一轮”的概率为：P 37 4 64 (2)小明通过第二轮的概率为：月=年衫方 32_1 小华通过第二轮的概率为：B一28 313 小方通过第二轮的概率为：B=428' 313 从3人中任选1人，每人被选中概率为}，由全概率公式： 答案第2页，共5页 月+片+投*副品 11335 (3)5的可能取值为0,1,2,3，三人通过第二轮的事件相互独立， -0=--动-割片总 -0-+号路 e-9品 -动-程 分布列为： 5 0 1 3 25 55 39 9 P 128 128 128 128 期望为：E(5)=0x25 39 +2× +3x 9_5 128128 128 1284 18.(1)认为参数调试与产品质量无关联. (2) X 0 个y 2 2-5 1 15 15 B()=2 (3)k=667 (1)解：(1)提出假设H:认为参数调试与产品质量无关联， 根据列联表中的数据，计算得到乙-200x(80×20-60×401587<=3.841, 140×60×120×80 故依据小概率值=0.05的独立性检验，没有充分证据推断零假设H,不成立， 因此原假设H。成立，即认为参数调试与产品质量无关联 (2)由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中， 合格产品有6×40 =4件，则不合格产品有2件， 0 X的所有可能取值为0,1,2， 答案第3页，共5页 则X-0晋x-小等器曾古 C151 故X的分布列为： X 0 1 2 2-5 15 则E(x)=0×2+1x8+2x1-2 5 15 153 (3)由思可刻胞机抽取调认5的产品的合常车为号-号故r~10o0引 21 1000-k 则P(Y=k)=C 33 ,k=0,1,…,1000, C /219- P(Y=k+1) (33 由 1000-k×2=2000-2k P(Y=k) 21 1000-k k+1 k+1 C3)3 故由2002>1可得女<66 1 k+1 又k∈Z,则当0<k≤666时，P(Y=k)<P(Y=k+1). 由20,2<1可得>66片，即当长≥67时，PV-)>P=+), k+1 故当事件“Y=k”的概率最大时，=667. 19. -[(2n] ②证明：由V2w 2n）2m =(2) 4 ( 6m e安广安品品 所=6++封月 答案第4页，共5页 令f()=血(1+)-x(x>0),则f(x)=1,-1<0, x+1 即函数f(x)在(0，+o)上单调递减， 所以f(四<f(o)=0,即n1+x)<x,则n1+<1 则对任意E整数郑有h1:分 1 。（k 所以s>2>之h1+》-着m2+m+h++ln+)-hn+ 6合k>6名+ 2 3 记[x]为不超过x的最大整数， 则对任意的实数t>0,当n≥[e]时，n>c-1,即S>h(0+1)>f, 6 综上，当n≥「e]时，S>t成立，所以点M是常返的. 答案第5页，共5页四中高二6月份期末检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C c B C A 心 B ACD BD 题号 11 答案ABD 45 3π 12.512 13. 2 1 14.211或218 15.(1)an=2n (2)S=n n+1 1)设等差数列a, 的公差为， 由8+a=6a24+d=6 得 由4+4=10a24+3d=10 得 解得d=2g=2 所以0，=4+m-10d=2+20n-)=2n 则=2n+0 (2)0=2n 4 4 =1=11 所以a,am2n:2(n+l)n(n+1)nn+1. --g日41 16解折：）当a=4,b时.f)=h-4+, 其定义域为(0，+o),f()=14+3x=3x-x- 令f()>0,得0<<3或x>1,令f()<0,得x<1, 答案第1页，共5页 1-3 1 (1,+o) '() 0 0 + f() 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当3时，f()有极大值 极大值为名-3，极小值为。 5 （2)若b=0:则f)=nx-am,定义拔为(0，+w),f()--a, 当a≤0时，f()>0.f闪在0+)上单调递增，（无最大值，不合盟意， >0,令了e>0,则0<后，O在0上年动： r0,则.a后 上单调递减， 因为()的最大值小于2a-3,所以-na-1<2a-3, 解2a+na-2>0,设8(a)=2a+na-2 易知8@在0∈(Q+四)上单调递增， 又80=0，所以3a>0=80, 所以a>1,故a的取值范围为 1,+0） 7 17.064 5 212 (3)分布列为： 5 0 答案第2页，共5页 25 39 9 P 55 128 128 128 128 5 数学期望为4 (1)“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为4，且相互独立，故全部通过的概率为： 4 64, 3 3 37 :“3人中最多2人通过第一轮”的概率为： P=1 64. 321 (2)小明通过第二轮的概率为：？=× 432’ 313 小华通过第二轮的概率为：乃=一×。 428, 313 小方通过第二轮的概率为：B=4×28, 1 从3人中任选1人，每人被选中概率为3，由全概率公式： 1 ,1D,1.11,3,3)5 B=+B+=32+8+82 (3)5的可能取值为0,1,2,3，三人通过第二轮的事件相互独立， Pg-0-引点 P附=小器 1×3x5+1×5x3+1x3×3-39 P(5=2)-2×8*8+2*8*82*8*8128, P=功品 分布列为： 5 0 3 答案第3页，共5页 9 P 25 55 39 128 128 128 128 期望为：E(5)=0× 25 55 39 +1 +2× +3× 9 5 28 128 128 128 4 18.(1)认为参数调试与产品质量无关联. (2) X 0 1 2 2-5 15 15 E(X)= 3 (3)k=667 Ho (1)解：(1)提出假设：认为参数调试与产品质量无关联， 200×(80×20-60×40)2 根据列联表中的数据，计算得到父 140×60×120×80≈1.587<x005=3.841, 故依据小概率值=0.05， 的独立性检验，没有充分证据推断零假设 不成立， Ho 因此原假设“成立，即认为参数调试与产品质量无关联. (2)由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中， 合格产品有6×0 ×60=4件，则不合格产品有2件， X的所有可能取值为0,1,2， x0叭答号.x=小瓷-P心-小答 则 故X的分布列为： X 0 1 2 2-5 8 1 15 答案第4页，共5页 则8(0=0号1管2x5-号 15 15-3: 40_2Y~B100, 2 (3)由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为603，故 P-- 1000-k ,k=0,1,,1000, 2)(1 999-k P(Y=k+1) C 33 1000-k×2=2000-2k 由P(Y=k) 1000-k k+1 k+1, 2024>1可得<6o0, 故由k+1 又keZ,则当0<k≤66时，PY=k)<P(V=k+) 202<1可府k>665,即当≥67时，PV=>PY=k+. 由k+1 故当事件“Y=k”的概率最大时，k=667. 19.a明 1 9 P2n [(2n)月 (②0p,=4:pn=4: 16.(n)4: (可 v4n2n 2n C3 =(2n)! e 4" (n) √6n aaac这品 所以 ◆f=h0+-x《x0）,则r国-+l1<0, 答案第5页，共5页 即函数（国在Q+)上单调速减， 所以fe水fo=0,即水，圆+} 则对任正些数郑对n:动 所以 记【冈为不超过x的最大整数， 则对任意的实数1>0：当n[e]时，n>e-1,即S,>n(n+)>1, 综上，当≥[e门时，5>t成立，所以点M是常返的. 答案第6页，共5页