精品解析： 第十四章《整式的除法与因式分解》期末章节复习题提高版B卷 2022—2023学年人教版数学八年级上册

八上第十四章《整式的除法与因式分解》 期末章节复习题提高版B卷 一、单选题 1. 若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 =（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 =（24-1）（24+1）（28+1）+1 =（28-1）（28+1）+1 =216 根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6 故选C 【点睛】此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n次幂的计算总结规律，从而可得到结果. 2. 不论、为何实数，代数式的值（ ） A. 总不小于 B. 总不小于 C. 可为任何实数 D. 可能为负数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 3. 展开式的常数项是（ ） A. B. 36 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，把当作一个整体，根据完全平方公式展开，最后再根据完全平方公式和整式乘法法则展开，即可得出答案． 【详解】解： ， 常数项为36， 故选：B． 4. 方程的所有整数解的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为-1，指数为偶数． 【详解】解：（1）当x+3=0，x2+x-1≠0时，解得x=-3； （2）当x2+x-1=1时，解得x=-2或1． （3）当x2+x-1=-1，x+3为偶数时，解得x=-1 因而原方程所有整数解是-3，-2，1，-1共4个． 故选C． 【点睛】本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意． 5. 设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则【 】 A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】略 6. 的个位数字是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵一个数的乘方的个位数字＝这个数的个位数字的乘方的个位数字．依题意知， 易知9的n次方的个位数有两种情况，当n是偶数是，其个位数=1，当n为奇数时，个位数=9，∴的个位数为9.而93则考虑个位3的n次方：，且的个位数=9，所以的个位数=，所以其个位数="7." 结合前者9+7=16∴的个位数为6. 考点：整式 点评：本题难度较高，主要考查学生对幂的乘方的学习．需要进行分析数字n次方下个位数的特殊情况．本题主要围绕9来分析为解题关键． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、与不是同类项，不能合并，故错误； D、，正确． 8. 在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设： ，① 然后在①式的两边都乘以6，得： ，② 由得，即，所以.得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设①，两边都乘以a得出，②，②-①得出aS-S=a2015-1，求出即可 【详解】设，① 则，② 由得，∵∴，∴. 【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握运算法则是解题关键 9. 若x，y为正整数，且，则x，y的值有( ) A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，再根据指数相等即可求解． 【详解】解：， ， ，y为正整数， ，y的值有，； ，； ，； ，． 共4对． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂的乘法法则，灵活运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 10. 计算多项式-2x（3x-2）2+3除以3x-2后，所得商式与余式两者之和为何？（　　） A. -2x+3 B. -6x2+4x C. -6x2+4x+3 D ．-6x2-4x+3 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式除以多项式，商式为-2x（3x-2），余式为3，即可解答 【详解】∵多项式-2x（3x-2）2+3除以3x-2后， ∴商式为-2x（3x-2），余式为3， ∴-2x（3x-2）+3=-6x2+4x+3 选：C 【点睛】此题考查整式的除法，解题关键在于掌握运算法则 二、填空题 11. 记，且，则__________． 【答案】64 【解析】 【分析】先在前面添加因式（2-1），再连续利用平方差公式计算求出x，然后根据指数相等即可求出n值． 【详解】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2n+1） =（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2n+1） =（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2n+1） =（2n-1）（2n+1） =22n-1， ∴x+1=22n-1+1=22n=2128， 2n=128， ∴n=64． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式（2-1）然后就能依次利用平方差公式计算． 12. 你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，分别化简下列各式并填空： 根据上述规律，可得______．请你利用上面的结论，判断：结果的末位数字是______ ． 【答案】 ①. ## ②. 5 【解析】 【分析】先根据题意得到规律，再找到的个位数是2，4，8，6循环出现的规律即可得到答案． 【详解】解：根据题意：；；， … ∴ ∴ 根据以上分析：； ∵ ∴的个位数是2，4，8，6循环出现的， ∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为5 故答案为：，5． 【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 13. 若x、y互为相反数，则 (5x)2·(52)y=________. 【答案】1 【解析】 【分析】因为x、y互为相反数，所以x+y=0，再把原式先根据幂的乘方、再根据同底数幂乘法法则进行计算，即可得到52（x+y），然后x+y=0代入即可求结果. 【详解】解：∵x、y互为相反数，所以x+y=0， ∴(5x)2·(52)y=5x2·52y=5x2+2y=52（x+y）=50=1. ∴原式=1 故答案为1 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键是熟练掌握运算法则. 14. 已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是________. 【答案】b＞c＞a＞d 【解析】 【详解】试题分析:把四个数字的指数化为11，然后比较底数的大小． 解：a=255=3211，b=8111，c=6411，d=2511， ∵81＞64＞32＞25， ∴b＞c＞a＞d． 故答案为b＞c＞a＞d． 考点：幂的乘方与积的乘方；实数大小比较． 15. 在有理数范围内分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4=__． 【答案】（3x+2）（3﹣x）（6x2+7x+6） 【解析】 【详解】试题分析：根据整式的乘法法则展开，设t=x2+7x+6，代入后即可分解因式，分解后把t的值代入，再进一步分解因式即可． 解：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4 =（x+1）（x+6）（x+2）（2x+3）﹣20x4 =（x2+7x+6）（2x2+7x+6）﹣20x4 令t=x2+7x+6 t（x2+t）﹣20x4 =t2+tx2﹣20x4 =（t﹣4x2）（t+5x2） =（x2+7x+6﹣4x2）（x2+7x+6+5x2） =（6+7x﹣3x2）（6x2+7x+6） =（3x+2）（3﹣x）（6x2+7x+6）． 故答案为（3x+2）（3﹣x）（6x2+7x+6）． 考点：因式分解-十字相乘法等；多项式乘多项式． 点评：本题考查了多项式乘多项式、分解因式等知识点的理解，能选择适当地方法分解因式和把多项式展开是解此题的关键． 16. 已知=2，则=__． 【答案】±4 【解析】 【详解】试题分析：根据完全平方公式求出x+x2+=2，①x+=2时，根据公式x3+=（x+）（x2﹣x•+）求出x3+的值，根据完全平方公式求出x6+的值，根据立方和公式求出x9+=的值即可；②x+=﹣2时，同法可求出答案． 解：x2+=2， ∴﹣2x•=2， ∴=4， ∴x+=±2， ①x+=2时， x3+=（x+）（x2﹣x•+）=2×（2﹣1）=2， ∴两边平方得：x6+2x3•+=4， ∴x6+=4﹣2=2， x9+=（x3）3+=（x3+）（x6﹣x3•+）=2×（2﹣1）=2， ∴+x9++x=2+2=4； ②x+=﹣2时，同法可求+x9++x=﹣2﹣2=﹣4． 故答案为±4． 考点：完全平方公式 点评：本题考查了完全平方公式和立方和公式的应用，关键是灵活运用公式：立方和公式x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2），完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2．进行计算． 17. 如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数． 例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字； 再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字． 请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=_______． 【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【解析】 【详解】根据题意得：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 故答案为a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 点睛：由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n-1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1． 18. 若，，则用的代数式表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得：，再根据，可得，再由，得出用的代数式表示即可． 【详解】∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了幂的乘方，要熟练掌握运算法则，解答此题的关键是要明确： ，是正整数）． 三、计算题（共3题；共45分） 19. 计算 （1）； （2） （3）； （4） （5）先化简，再求值 ，其中x，y满足． 【答案】（1）1 （2）9 （3） （4） （5），1 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式变形后，结合有理数的混合运算法则解答即可； （2）根据零指数幂、负整数指数幂、积的乘方逆用，进行计算即可； （3）根据积的乘方、单项式乘除法法则进行计算即可； （4）根据多项式乘法、完全平方公式进行计算即可； （5）根据多项式除以单项式进行计算，再根据题意求出x、y的值，把x、y的值代入求出代数式的值即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解： ， ∵， ∴，， ，， ∴原式． 20. 已知2×5m=5×2m，求m的值． 【答案】m=1． 【解析】 【详解】试题分析：由2×5m＝5×2m得5m-1＝2m-1，即5m-1÷2m-1＝1，=1，因为底数不等于0和1，所以=，所以m－1=0，解得m=1． 试题解析： ∵2×5m＝5×2m， ∴5m-1＝2m-1， ∴5m-1÷2m-1＝1，即=1， ∵不等于0和1， ∴=， ∴m－1=0，解得m=1. 点睛：a0=1，a≠0. 21. （1）计算：|﹣5|+（﹣3）2﹣（π﹣3.14）0×（﹣）﹣2÷（﹣2）2017 （2）先化简，再求值：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣5=0． 【答案】（1）14+2﹣2015；（2）﹣2.5． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据绝对值、幂的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的除法和加减进行计算即可； （2）先对原式进行化简，再根据2a﹣8b﹣5=0，通过变形可以求得化简后的结果． 解：（1）|﹣5|+（﹣3）2﹣（π﹣3.14）0×（﹣）﹣2÷（﹣2）2017 =5+9﹣1× =5+9+ =5+9+2﹣2015 =14+2﹣2015； （2）[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a） = = =4b﹣a， ∵2a﹣8b﹣5=0 ∴﹣5=8b﹣2a， ∴﹣2.5=4b﹣a， ∴原式=4b﹣a=﹣2.5． 考点：有理数的混合运算；整式的混合运算—化简求值；零指数幂；负整数指数幂． 四、解答题（共3题；共26分） 22. 证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的两倍． 【答案】见解析 【解析】 【分析】设较小的奇数为，则较大的奇数为，分别求出这两个数的平方差和这两个数的和，即可得证． 【详解】证明：设较小的奇数为，则较大的奇数为， ， ∴两个连续奇数的平方差是8的倍数； ， ， ∴两个连续奇数的平方差等于这两个数的和的两倍． 23. 如图，正方形和的边长分别为、，试用、的代数式表示三角形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接CF，如图，利用正方形的性质得到BDCF，则S＝ ． 【详解】解：连接CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形， ∴∠DBC＝45°，∠FCE＝45°， ∴BDCF， ∴BD和CF间的距离处处相等 ∴S＝m2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，得出BD和CF的位置关系是解题的关键． 24. 利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]， 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你检验这个等式的正确性； (2)若a＝2 016，b＝2 017，c＝2 018，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？ 【答案】（1）详见解析；（2）3. 【解析】 【详解】试题分析：(1)已知等式右边利用完全平方公式化简,整理即可作出验证;  (2)把a,b,c的值代入已知等式右边,求出值即为所求式子的值. 解：(1)等式右边＝ (a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2) ＝ (2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac) ＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝等式左边，所以等式是成立的． (2)原式＝ [(2 016－2 017)2＋(2 017－2 018)2＋(2 018－2 016)2]＝3. 点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式(a±b)2=a2±2ab+b2，是解答本题的关键. 五、综合题 25. 我们规定：，例如． （1）试求：和的值； （2）想一想：与相等吗？请验证你的结论． 【答案】（1）； （2）与不相等，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，属于新定义题，解答本题的关键是读懂新定义，理解题中给出的符号所代表的运算法则，把新定义转化成常见的运算． （1）根据题中规定的运算法则进行运算即可求值； （2）分别计算出与的值，然后即可作出判断． 【小问1详解】 解：； ． 【小问2详解】 解：与不相等，理由如下：，， 与不相等． 26. 在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．比如在学习“同底数幂的乘法法则”过程中，利用有理数的乘方概念和乘法结合律，可由“特殊”抽象概括出“一般”，具体如下22×23＝25，23×24＝27，22×26＝28…→2m•2n＝2m+n…→am•an＝am+n（m、n都是正整数）我们亦知： ， ， ， … （1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式． （2）请尝试说明（1）中关系式的正确性． （3）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了” 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）利用求差法比较大小即可； （3）利用（1）中结论，即可解决问题； 【详解】解：（1）． （2）∵＝， ∵a＞b＞0，c＞0， ∴a+c＞0，b﹣a＜0， ∴＜0， ∴． （3）∵原来糖水里含糖的质量分数为， 加入k克糖后的糖水里含糖的质量分数为， 由（1）可知：＜， 所以糖水更甜了． 【点睛】本题考查分式的混合运算、同底数幂的乘法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八上第十四章《整式的除法与因式分解》 期末章节复习题提高版B卷 一、单选题 1. 若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 不论、为何实数，代数式的值（ ） A. 总不小于 B. 总不小于 C. 可为任何实数 D. 可能为负数 3. 展开式的常数项是（ ） A. B. 36 C. 9 D. 4. 方程的所有整数解的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则【 】 A. B. C. D. 3 6. 的个位数字是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设： ，① 然后在①式的两边都乘以6，得： ，② 由得，即，所以.得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“”（且），能否求出的值？你的答案是（ ）. A. B. C. D. 9. 若x，y为正整数，且，则x，y的值有( ) A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 10. 计算多项式-2x（3x-2）2+3除以3x-2后，所得商式与余式两者之和为何？（　　） A. -2x+3 B. -6x2+4x C. -6x2+4x+3 D ．-6x2-4x+3 二、填空题 11. 记，且，则__________． 12. 你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法，分别化简下列各式并填空： 根据上述规律，可得______．请你利用上面的结论，判断：结果的末位数字是______ ． 13. 若x、y互为相反数，则 (5x)2·(52)y=________. 14. 已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是________. 15. 在有理数范围内分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4=__． 16. 已知=2，则=__． 17. 如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数． 例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字； 再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字． 请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=_______． 18. 若，，则用的代数式表示__________． 三、计算题（共3题；共45分） 19. 计算 （1）； （2） （3）； （4） （5）先化简，再求值 ，其中x，y满足． 20. 已知2×5m=5×2m，求m的值． 21. （1）计算：|﹣5|+（﹣3）2﹣（π﹣3.14）0×（﹣）﹣2÷（﹣2）2017 （2）先化简，再求值：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣5=0． 四、解答题（共3题；共26分） 22. 证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的两倍． 23. 如图，正方形和的边长分别为、，试用、的代数式表示三角形的面积． 24. 利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]， 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你检验这个等式的正确性； (2)若a＝2 016，b＝2 017，c＝2 018，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？ 五、综合题 25. 我们规定：，例如． （1）试求：和的值； （2）想一想：与相等吗？请验证你的结论． 26. 在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．比如在学习“同底数幂的乘法法则”过程中，利用有理数的乘方概念和乘法结合律，可由“特殊”抽象概括出“一般”，具体如下22×23＝25，23×24＝27，22×26＝28…→2m•2n＝2m+n…→am•an＝am+n（m、n都是正整数）我们亦知： ， ， ， … （1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式． （2）请尝试说明（1）中关系式的正确性． （3）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $