第15讲 用一元一次不等式（组）解决问题（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

本初中数学讲义聚焦用一元一次不等式（组）解决问题，系统梳理列不等式（组）的步骤，包括审清不等关系、设未知数、列不等式、求解集、检验实际意义、规范作答，衔接一元一次方程知识，构建从等量到不等量关系的学习支架。 资料以10大题型为核心，涵盖实际应用、几何问题、经济方案等场景，典例与变式题结合，通过具体问题如租车数量计算、商品利润分析，培养学生抽象能力、模型意识和推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第15讲 用一元一次不等式（组）解决问题（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】建立不等式组解决问题 列一元一次不等式组解决问题的步骤： 注意：与列方程（组）解决问题一样，列一元一次不等式组时,单位要统一 【知识点02】列一元一次不等式解决实际问题 有些实际问题中存在不等关系,用不等式来表示不等关系,就能把实际问题转化为数学问题,从而通过解不等式解决实际问题. 应用一元一次不等式解决实际问题的步骤与列一元一次方程解决实际问题的步骤类似,即： 步骤 注意事项 审 认真审题,找出已知量和未知量,并找出它们之间的不等关系. 抓住题目中的关键字眼,如“大于”“小于”“不小于”“至少”“超过”等. 设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现. 列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同,并且单位要统一. 解 解不等式,求出其解集. 不等号方向及符号等不要出错. 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式;二符合实际意义. 答 写出答案. 应把表示不等关系的文字补上. 【题型一】列一元一次不等式 例1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某动车组列车速度最高可达，用不等式表示其数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查不等式，根据题意，动车组的最高速度为，即速度v的最大值为，因此v的取值范围应满足“不超过400”，即包含等于400的情况． 【详解】解：由题意知v的取值范围应满足“不超过400”，即， 故选C． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）x与1的和不大于0，用不等式表示为________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式即可． 【详解】解：∵x与1的和不大于0， ∴． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）【阅读感悟】 不等式可等价转化为不等式线或，不等式也可等价转化为不等式组或，我们把不等式与称为同解不等式． 【概念理解】 (1)下列属于同解不等式的是______； ①与；②与；③与；④与． 【问题解决】 (2)解不等式：； 【拓展延伸】 (3)不等式的解是______． 【答案】(1)④ (2)≤3 (3)或 【知识点】列一元一次不等式、求不等式组的解集 【分析】（1）根据同解不等式的定义即可判断； （2）根据同解不等式的定义转化即可解答； （3）将其转化成同解不等式即可解答． 【详解】（1）解：根据同解不等式的定义可知， ①与，故选项错误； ②与，故选项错误； ③与且，故选项错误 ； ④与，选项正确． 故选：④； （2）解：等价转化为不等式组 ①或②； 不等式组①无解，不等式组②的解为：， 不等式的解为； （3）解：等价转化为不等式组 ①或②， 等价转化为不等式组 ③或 ④， 不等式组③无解，不等式组④的解为： ， 的解为； 等价转化为不等式组 ⑤或 ⑥， 不等式组⑤的解为 ，不等式组⑥的解为： ， 的解为或， 不等式组①的解为：或，不等式组②无解， 不等式的解为或． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【题型二】用一元一次不等式解决实际问题 例2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车．如果44座的客车租用了3辆，那么40座的客车至少需租用（   ） A．5辆 B．6辆 C．7辆 D．8辆 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．设需租用40座的客车辆，根据总人数需求建立不等式，解出的最小整数值即可． 【详解】解：设需租用40座的客车x辆，由题意得： 　， 解得：． ∵x为整数， ∴x最小为7． 故选C． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打______折． 【答案】七/7 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设商店打折销售，利用利润销售价格进价，结合要保证利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，求解即可得出结论． 【详解】解：设商店打折销售， 依题意得：， 解得：． 故答案为：七． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）锡绣是无锡著名的民间传统手工艺，享誉海内外，某旅行社计划采购，两种无锡风光主题的锡绣作品作为旅行社的特色礼品，已知购买1件种锡绣作品与2件种锡绣作品共需550元，购买2件种锡绣作品与3件种锡绣作品共需950元． (1)求，两种锡绣作品的单价分别为多少元? (2)该旅行社计划采购，两种锡绣作品共200件，总费用不超过35000元，那么最多能采购种锡绣作品多少件? 【答案】(1)A种锡绣作品的单价为250元，B种锡绣作品的单价为150元 (2)最多能采购A种锡绣作品50件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种锡绣作品的单价为x元，B种锡绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种锡绣作品与2件B种锡绣作品共需550元，购买2件A种锡绣作品与3件B种锡绣作品共需950元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出结论； （2）设采购A种锡绣作品m件，则采购B种锡绣作品件，根据总价单价数量，结合总价不超过35000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种锡绣作品的单价为x元，B种锡绣作品的单价为y元 根据题意得：， 解得：， 答：A种锡绣作品的单价为250元，B种锡绣作品的单价为150元； （2）设采购A种锡绣作品m件，则采购B种锡绣作品件， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为50． 答：最多能采购A种锡绣作品50件． 【题型三】用一元一次不等式解决几何问题 例3．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 变式1．将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________． 【答案】3或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：3或 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 变式2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 【题型四】列一元一次不等式组 例4．（22-23七年级下·江苏无锡·月考）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速， 船只逆流速度船静水中的速度水流流速， 根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， 故选：． 【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键． 变式1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 变式2．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】根据矩形的周长公式及面积的计算方法，结合不等关系：面积大于平方米，周长小于米列出不等式组求解即可． 【详解】∵矩形的面积大于平方米，周长小于米，矩形的一边长为，临边长为 ∴ 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意正确列出不等式组是解题关键． 【题型五】不等式组的行程问题 例5．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【知识点】不等式组的行程问题 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 变式1．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的行程问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、不等式组的行程问题 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型六】不等式组的经济问题 例6．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 变式1．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【知识点】不等式组的经济问题、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数） (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．问：这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？ 【答案】(1)李老板购进香梨千克，苹果千克； (2)这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克． 【知识点】不等式组的经济问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解题的关键． （1）设李老板购进香梨千克，苹果千克，根据题意列出方程求解，即可解题； （2）设这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克，根据题意列出不等式组求解，即可解题． 【详解】（1）解：设李老板购进香梨千克，苹果千克， 根据题意得：， 解得， 则（千克）， 答：李老板购进香梨千克，苹果千克； （2）解：设这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克， 每天利润大于268元， ， 解得， 苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍． ， 解得， 综上，，且销售量取整数， ，则（千克）， 答：这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克． 【题型七】不等式组的分配问题 例7．（24-25七年级下江苏·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 变式1．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 变式2．养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 【题型八】不等式组的方案选择问题 例8．（25-26七年级上·江苏·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 变式1．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 【题型九】不等式组的阶梯收费问题 例9．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【知识点】不等式组的阶梯收费问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 变式1．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、不等式组的阶梯收费问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【题型十】一元一次不等式组的其他应用 例10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄明白图示的意思，列出不等式组．根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由题意可知铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，当铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，进而列出不等式组解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，当铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为， 则， 解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段检测）为了迎接第30个世界读书日，某校计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，甲种书柜、乙种书柜单价各是180元和240元．若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，乙种书柜的数量不多于12个，＿＿＿＿．问一共有哪几种购买方案？从下列①、②两个条件中选一个作为条件，填在横线上，使题目完整，并解答． ①甲种书柜每个占地，乙种书柜每个占地，学校用来安置书柜的面积不少于； ②学校至多能够提供资金4320元． 你的选择是＿＿＿＿．（填序号） 【答案】选择①：方案有3种分别是：8个甲和12个乙；9个甲和11个乙；10个甲和10个乙；选择②：方案有12种分别是：8个甲和12个乙；9个甲和11个乙；10个甲和10个乙；11个甲和9个乙；12个甲和8个乙；13个甲和7个乙；14个甲和6个乙；15个甲和5个乙；16个甲和4个乙；17个甲和3个乙；18个甲和2个乙；19个甲和1个乙 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用． 选择①：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据乙种书柜的数量不多于12个，学校用来安置书柜的面积不少于，列出不等式组，求解，再根据实际情况即可得出结论； 选择②：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据乙种书柜的数量不多于12个，学校至多能够提供资金4320元，列出不等式组，求解，再根据实际情况即可得出结论． 【详解】解：选择①： 设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个， 根据题意得：， 解得：， 是正整数， 的值可取， 答：方案有三种分别是：8个甲和12个乙；9个甲和11个乙；10个甲和10个乙． 选择②：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个， 根据题意得：， 解得：， 是正整数， 的值可取， 答：方案有12种分别是：8个甲和12个乙；9个甲和11个乙；10个甲和10个乙；11个甲和9个乙；12个甲和8个乙；13个甲和7个乙；14个甲和6个乙；15个甲和5个乙；16个甲和4个乙；17个甲和3个乙；18个甲和2个乙；19个甲和1个乙． 一、单选题 1．小勤一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为v千米/小时，则v满足的条件是（   ） 最高限速 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速 60 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是列不等式，要大于最低限速，小客车最高速不超过120，进而作答，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ， 小客车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C． 2．甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（    ） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 【答案】C 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设甲队胜了场根据甲队得分超过分列一元一次不等式求解，结合为整数确定甲队胜场的最小值，进而选出正确选项． 【详解】解：设甲队胜了场， 则， 解得：， ∴的最小值为， 即甲队至少胜了场， 故选：C． 3．语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】x的即，不超过3是小于或等于3的数，按语言叙述列出式子即可． 【详解】解：“x的与x的差不超过3”，用不等式表示为． 故选：B． 【点睛】本题考查了列不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 4．一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读页，根据张力读了一周(7天)还没读完可得不等式，根据李永不到一周就已读完可得不等式，再联立两个不等式即可． 【详解】解：设张力平均每天读x页，由题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件． 5．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】先利用加减消元法求出，即可判断①②；根据推出，则即可判断③；先推出，再结合a的取值范围即可判断④． 【详解】解：， 用得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为， 把代入，解得， 把代入，解得， 不符合题意，故①错误； ②当时，因为，得， 所以x，y的值互为相反数，故②正确； ∵，， 则， ∴， ∴，故③错误； ∵, ∴， ∵， ∴， ∴S的最大值为，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键在于能够根据题意求出． 6．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足的整数为 （    ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据第三次运算结果不大于28，且第四次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：依题意， 得：， 解不等式组得：， 故选：A． 7．如图为金银河影城的价目表．某社团16人去此影城看电影，打算以比赛奖金6000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买多少盒爆米花？（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量．本题主要考查一元一次不等式在实际消费场景的应用，熟练掌握“根据总花费限制列不等式，结合整数取值确定最值”是解题关键． 【详解】解：设可买盒爆米花．由题意得， ， 解得， ∴最大为 ． 故选：． 8．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出答对得分和扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得： ． 9．已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，，利用非负数的性质求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， ∴， ∴的最大值为． 二、填空题 10．“x的3倍与4的和是正数”用不等式表示为 ___________ ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得． 11．一辆匀速行驶的汽车在距离甲地50千米，要在之前驶过甲地，则车速（单位：千米/小时）应满足的条件是______． 【答案】 【分析】先计算汽车可行驶的时间． 再结合路程公式，根据题意列出一元一次不等式． 求解得到车速满足的条件． 【详解】解：由题意得，从到，可行驶的时间为分钟小时． 要在之前驶过甲地，说明行驶路程大于千米， 则 解得千米/小时． 12．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由运算流程，结合题意可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：第一次运算结果为， 第二次运算结果为， 根据题意可得， 解得． 13．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 【答案】 【分析】设一共有名学生，根据每人分本，则多本，可知图书共有本，根据每人分本，则最后一人分到了书但不到本书，列不等式组求解． 【详解】解：设一共有名学生，则图书共有本， 由题意得：， 解得：， 又学生人数为正整数， ， 学生人数为． 14．学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【答案】或或或或 【分析】先列方程求出原计划办公椅和会议桌的购买数量，再设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元，根据题意列出等式，变形得，由题意可知，从而得到关于的不等式，求解并判断其中的整数解即可． 【详解】解：设原计划购买办公椅把，则计划购买会议桌张， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴会议桌购买数量为（张）， 设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元， 根据题意可得：， ∴， ∵会议桌降价幅度不超过原价的， ∴，即， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， ∴，，，，， ∴学校实际购买了办公椅为或或或或把． 15．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 【答案】 、/B3、B2 3 【分析】（1）分别求两点间距离，满足≤2即可； （2）①求得CA两点间距离为2，k≥2即可；②表示CA的距离为，列不等式求解即可； （3）根据题意，，列不等式计算． 【详解】解：（1）由题意知：2，2，2， ∴、是点A的2可达点， 故填：、； （2）①当点C表示的数为﹣1时，≤，故k＝3， 故填：3； ②当点C表示的数为m时，≤2，解得：， 故填：； （3）由题意知：，， 即：，， 解得：， 故填：． 【点睛】本题考查两点间距离、不等式的应用，正确理解题意是关键． 三、解答题 16．目前世界公认的一种评定肥胖程度的分级方法为“体质指数法”，体重身高2（单位：），当一个人的“体质指数”为（包括，）时属正常，设某人的为． (1)用不等式表示为正常的指数范围，并把它表示在数轴上； (2)当一个人为下列值时，他的体质属于正常吗？用不等式和数轴给出解释； ①；②；③；④． (3)请判断一下你父亲（或母亲）的是否正常，并提出合理化建议． 【答案】(1)为正常的指数范围是，数轴表示见解析； (2)当一个人为时，他的体质不正常；当一个人为时，他的体质正常；不等式和数轴解释见解析； (3)我母亲的正常，建议继续保持． 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是熟练掌握用数轴表示不等式的解集． （1）根据题意即可得不等式，用数轴表示该不等式的解集即可； （2）根据正常的指数范围，分析每个序号对应的数据即可； （3）根据实际情况，将数据代入公式计算并分析结果． 【详解】（1）解：根据题意，为正常的指数范围是，在数轴上表示如下： （2）解：∵，，不在的范围内，在的范围内， ∴当一个人为时，他的体质不正常；当一个人为时，他的体质正常． 用数轴解释如下： （3）解：我的母亲身高，体重，， ∵在范围内， ∴我母亲的正常，建议继续保持． 17．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 18．某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于且不高于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升米，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？ 【答案】应种在比山脚的海拔最多高米的山坡上 【分析】设杜鹃花应种在比山脚的海拔高米的山坡上，根据题意列出不等式组，求解出的取值范围，从而得到的最大值． 【详解】解：设杜鹃花应种在比山脚的海拔高米的山坡上， 根据题意，可列不等式组： ， 解得， ∴的最大值为． 答：这种杜鹃花应种在比山脚的海拔最多高米的山坡上． 19．2026年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同时实现良好经营收益．已知购进2枚纪念徽章和3套主题书签，总进价为130元；购进4枚纪念徽章和1套主题书签，总进价为150元． (1)求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价； (2)该店计划购进两种文创产品共50件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2倍，且购进两种产品的总进价不超过1280元．求符合条件的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元 (2)进货方案有两种，方案1：纪念徽章17件，主题书签33件；方案2：纪念徽章18件，主题书签32件 【分析】（1）设每枚纪念徽章的进价为x元，每套主题书签的进价为y元，根据题意列方程组，再求解即可； （2）设购进纪念徽章a枚，用含a的式子表示购进主题书签的套数，根据题意列不等式组，再求解，根据解集的整数解得到a的值即可． 【详解】（1）解：设每枚纪念徽章的进价为x元，每套主题书签的进价为y元． 根据题意列方程组，， 解得． 答：每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元； （2）解：设购进纪念徽章a枚，则购进主题书签套． 根据题意列不等式组：， ∴， ∵a为整数， ∴或． 当时，； 当时，； 即符合条件的进货方案有两种： 方案1：纪念徽章17件，主题书签33件；方案2：纪念徽章18件，主题书签32件． 20．某校七、八两个年级的学生参加社会实践活动．原计划租用48座的客车若干辆，但还有24人无座位． (1)设原计划租用48座客车辆，试用含的代数式表示这两个年级学生的总人数； (2)现决定租用60座客车，则可比原计划租用48座客车少2辆，且所租60座客车中有一辆没有坐满，但这辆车已坐的座位超过36位．请你求出这两个年级学生的总人数． 【答案】(1)人 (2)这两个年级学生的总人数是648人 【分析】（1）根据题意可得，48座客车x辆可以坐人，但还是有24人无座，故两个年级学生的总人数是； （2）设原计划租用x辆48座客车，则实际租用辆60座客车，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，这两个年级学生的总人数为人； （2）解：设原计划租用x辆48座客车，则实际租用辆60座客车， 根据题意得：， 解得， 取整数， ，此时（人）． 故这两个年级学生的总人数是648人． 21．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 22．某校餐厅为学生们准备了，两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下： 品牌 营养成分表 品牌 营养成分表 项目 每 项目 每 能量 能量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用，两种品牌的酸奶各多少盒？ (2)已知品牌酸奶的价格是元／盒，品牌酸奶的价格是元／盒．某班级计划用不超过元从餐厅购买两种酸奶共盒，经与餐厅沟通，每盒品牌酸奶售价不变，品牌酸奶的售价打九折．求最多能购买品牌酸奶多少盒？ 【答案】(1)应饮用品牌酸奶盒，品牌酸奶盒 (2)最多能购买品牌酸奶盒 【分析】（1）根据能量总量和蛋白质总量的限制，设未知数后列二元一次方程组求解即可； （2）根据总费用不超过1000元的限制，设未知数后列一元一次不等式，取符合题意的最大正整数解即可求解． 【详解】（1）解：设应饮用A品牌酸奶盒，B品牌酸奶盒； 根据题意，得 解得 答：应饮用A品牌酸奶2盒，B品牌酸奶3盒． （2）设购买A品牌酸奶盒，则购买B品牌酸奶盒， 根据题意，得 化简得 整理得 移项得 解得 为非负整数 的最大值为 答：最多能购买A品牌酸奶146盒． 23．【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 【答案】(1)无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元 (2)； (3)当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算 【分析】（1）设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元，根据“购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元；购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元”，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种方案，列出代数式即可； （3）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元， 由题意，得：， 解得． 答：无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元． （2）解：选择方案一购买，共需元； 选择方案二购买，共需元． （3）解：由题意，得， 解得：， 又因为，且为整数，所以（为整数）． 答：当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 用一元一次不等式（组）解决问题（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】建立不等式组解决问题 列一元一次不等式组解决问题的步骤： 注意：与列方程（组）解决问题一样，列一元一次不等式组时,单位要统一 【知识点02】列一元一次不等式解决实际问题 有些实际问题中存在不等关系,用不等式来表示不等关系,就能把实际问题转化为数学问题,从而通过解不等式解决实际问题. 应用一元一次不等式解决实际问题的步骤与列一元一次方程解决实际问题的步骤类似,即： 步骤 注意事项 审 认真审题,找出已知量和未知量,并找出它们之间的不等关系. 抓住题目中的关键字眼,如“大于”“小于”“不小于”“至少”“超过”等. 设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现. 列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同,并且单位要统一. 解 解不等式,求出其解集. 不等号方向及符号等不要出错. 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式;二符合实际意义. 答 写出答案. 应把表示不等关系的文字补上. 【题型一】列一元一次不等式 例1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某动车组列车速度最高可达，用不等式表示其数量关系是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）x与1的和不大于0，用不等式表示为________． 变式2．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）【阅读感悟】 不等式可等价转化为不等式线或，不等式也可等价转化为不等式组或，我们把不等式与称为同解不等式． 【概念理解】 (1)下列属于同解不等式的是______； ①与；②与；③与；④与． 【问题解决】 (2)解不等式：； 【拓展延伸】 (3)不等式的解是______． 【题型二】用一元一次不等式解决实际问题 例2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某校七年级406名师生外出春游，租用44座和40座的两种客车．如果44座的客车租用了3辆，那么40座的客车至少需租用（   ） A．5辆 B．6辆 C．7辆 D．8辆 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打______折． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）锡绣是无锡著名的民间传统手工艺，享誉海内外，某旅行社计划采购，两种无锡风光主题的锡绣作品作为旅行社的特色礼品，已知购买1件种锡绣作品与2件种锡绣作品共需550元，购买2件种锡绣作品与3件种锡绣作品共需950元． (1)求，两种锡绣作品的单价分别为多少元? (2)该旅行社计划采购，两种锡绣作品共200件，总费用不超过35000元，那么最多能采购种锡绣作品多少件? 【题型三】用一元一次不等式解决几何问题 例3．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式1．将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________． 变式2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【题型四】列一元一次不等式组 例4．（22-23七年级下·江苏无锡·月考）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 变式2．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式． 【题型五】不等式组的行程问题 例5．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 变式1．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型六】不等式组的经济问题 例6．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 变式1．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数） (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．问：这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？ 【题型七】不等式组的分配问题 例7．（24-25七年级下江苏·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 变式2．养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【题型八】不等式组的方案选择问题 例8．（25-26七年级上·江苏·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式1．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【题型九】不等式组的阶梯收费问题 例9．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 变式1．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【题型十】一元一次不等式组的其他应用 例10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是_______． 变式2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段检测）为了迎接第30个世界读书日，某校计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，甲种书柜、乙种书柜单价各是180元和240元．若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，乙种书柜的数量不多于12个，＿＿＿＿．问一共有哪几种购买方案？从下列①、②两个条件中选一个作为条件，填在横线上，使题目完整，并解答． ①甲种书柜每个占地，乙种书柜每个占地，学校用来安置书柜的面积不少于； ②学校至多能够提供资金4320元． 你的选择是＿＿＿＿．（填序号） 一、单选题 1．小勤一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为v千米/小时，则v满足的条件是（   ） 最高限速 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速 60 A． B． C． D． 2．甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（    ） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 3．语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（　　） A． B． C． D． 4．一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为(　　) A． B． C． D． 5．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④ 6．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足的整数为 （    ） A．2 B．0 C． D．1 7．如图为金银河影城的价目表．某社团16人去此影城看电影，打算以比赛奖金6000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买多少盒爆米花？（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 9．已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．“x的3倍与4的和是正数”用不等式表示为 ___________ ． 11．一辆匀速行驶的汽车在距离甲地50千米，要在之前驶过甲地，则车速（单位：千米/小时）应满足的条件是______． 12．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为______． 13．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 14．学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 15．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 三、解答题 16．目前世界公认的一种评定肥胖程度的分级方法为“体质指数法”，体重身高2（单位：），当一个人的“体质指数”为（包括，）时属正常，设某人的为． (1)用不等式表示为正常的指数范围，并把它表示在数轴上； (2)当一个人为下列值时，他的体质属于正常吗？用不等式和数轴给出解释； ①；②；③；④． (3)请判断一下你父亲（或母亲）的是否正常，并提出合理化建议． 17．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 18．某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于且不高于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升米，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？ 19．2026年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同时实现良好经营收益．已知购进2枚纪念徽章和3套主题书签，总进价为130元；购进4枚纪念徽章和1套主题书签，总进价为150元． (1)求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价； (2)该店计划购进两种文创产品共50件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2倍，且购进两种产品的总进价不超过1280元．求符合条件的进货方案有哪几种？ 20．某校七、八两个年级的学生参加社会实践活动．原计划租用48座的客车若干辆，但还有24人无座位． (1)设原计划租用48座客车辆，试用含的代数式表示这两个年级学生的总人数； (2)现决定租用60座客车，则可比原计划租用48座客车少2辆，且所租60座客车中有一辆没有坐满，但这辆车已坐的座位超过36位．请你求出这两个年级学生的总人数． 21．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 22．某校餐厅为学生们准备了，两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下： 品牌 营养成分表 品牌 营养成分表 项目 每 项目 每 能量 能量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用，两种品牌的酸奶各多少盒？ (2)已知品牌酸奶的价格是元／盒，品牌酸奶的价格是元／盒．某班级计划用不超过元从餐厅购买两种酸奶共盒，经与餐厅沟通，每盒品牌酸奶售价不变，品牌酸奶的售价打九折．求最多能购买品牌酸奶多少盒？ 23．【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $