第10讲 二元一次方程与二元一次方程组的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 二元一次方程与二元一次方程组的概念 （知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】二元一次方程 示例 二元一次方程 【知识点02】二元一次方程的解 【知识点03】二元一次方程组 示例 二元一次方程组 【知识点04】二元一次方程组的解 二元一次方程组的解：我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解. 说明：二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组的解应写成 敲黑板 二元一次方程组的解的特点 （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解. （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，方程组有无数个解. 【题型一】二元一次方程的定义 例1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若关于x、y的方程是二元一次方程，则的值等于_________． 变式1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 变式2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）设甲数为，乙数为，则“甲数的3倍等于乙数”列方程是_____． 变式3．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 【题型二】二元一次方程的解 例3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程的解，则a的值为_______ 例5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 变式1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）二元一次方程的一个解可以是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 变式3．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）为迎接杭州亚运会，在两个社区共设置六个摊点售卖亚运会纪念品，其中第一、二、三号摊点在A社区，第四、五、六号摊点在B社区，每个摊点原有纪念品一样多．第一、二、三、四号摊点每天新运来相等数量的纪念品，第五号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的，第六号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的．第3天结束营业时，第四、五号摊点的纪念品恰好售完并撤走摊点；第4天结束营业时，第一、二、三、六号摊点的所有纪念品均售完并撤走．若第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，求两社区售出纪念品的总数量之比． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 例6．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 例7．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）． 变式1．（22-23七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有________（填序号） ①②  ③   ④． 变式2．（22-23七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 例8．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 例9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 变式1．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级下·江苏·月考）写出一个解是的二元一次方程组：______． 变式3．请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 例10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若方程组的解是，则（    ） A．2 B． C．0 D．4 例11．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 例12．（22-23七年级·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 变式1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）已知是方程的一个解，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若是关于的二元一次方程的解，则的值为______． 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 一、单选题 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．如果是关于的二元一次方程，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 3．二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程的一组解为，则的值是（ ） A．9 B．5 C．3 D．0 5．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 6．如果是方程组的解，则a2008+2b2008的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 8．若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（    ） A．2 B． C．11 D． 9．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 二、填空题 10．请写出一个方程_______，使它与组成的方程组的解是 11．______方程组的解（填“是”或“不是”）． 12．小明心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后加原两位数的个位数字，结果是94．算算看小明心里想的两位数是 _____． 13．已知关于x、y的方程组的解是，则________． 14．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若其千位与十位之和与百位与个位之和都等于8，则称这个四位正整数为“发财数”．若“发财数”的千位数字小于百位数字，且被7除余3，则满足条件的“发财数”的最大值是______． 15．已知关于，的方程组，其中．下列结论：①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是_________． 三、解答题 16．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 17．是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 18．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 19．已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 20．解答下列问题： (1)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (2)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (3)找出一组x，y的值，使这组值同时满足方程和． (4)根据上面的探究，你能直接写出二元一次方程组的解吗？ 21．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 22．对一个自然数A，将A的各个数位上的数字从左到右依次加1、加2、加3…，得到一个新的自然数，并且在这个过程中各个数位均不产生进位，则称A为“科学数”，称为A的“智慧数”．规定F（A）＝．例如：B＝540是一个“科学数”，理由如下：∵5+1＝6＜9，4+2＝6＜9，0+3＝3＜9，∴540是一个“科学数”．＝663为B的“智慧数”，F（B）＝＝401． （1）判断567　　　　　　（填“是”或“不是”）“科学数”；计算：F（57）＝　　　　　　； （2）若M是一个三位“科学数”，M的百位数字是7，十位数字是x，个位数字是y，且F（M）＝4x+515，求M的值． 23．将1到2021之间的所有奇数按顺序排成下图： 记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17． (1)P45＝　 　； (2)若Pmn＝2021，则m＝　 　，n＝　 　； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二元一次方程与二元一次方程组的概念 （知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】二元一次方程 示例 二元一次方程 【知识点02】二元一次方程的解 【知识点03】二元一次方程组 示例 二元一次方程组 【知识点04】二元一次方程组的解 二元一次方程组的解：我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解. 说明：二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组的解应写成 敲黑板 二元一次方程组的解的特点 （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解. （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，方程组有无数个解. 【题型一】二元一次方程的定义 例1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程，熟练掌握二元 一次方程的定义，是解题的关键 根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②未知数的项的次数为1；③整式方程．逐一分析选项即可． 【详解】A. ，含两个未知数，但乘积项的次数为2，不符合条件②，排除． B. ，含两个未知数，但y的次数为2，不符合条件②，排除． C. ，整理为，含两个未知数，且次数均为1，是整式方程，符合所有条件． D. ，含三个未知数，不符合条件①，排除． 故选：C． 例2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若关于x、y的方程是二元一次方程，则的值等于_________． 【答案】4 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：4． 变式1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：方程：②，不是整式方程，不是二元一次方程， ③，未知数的次数不都为，不是二元一次方程， ④，含未知数的项的次数不为，不是二元一次方程， ①；⑤，符合二元一次方程的定义． 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）设甲数为，乙数为，则“甲数的3倍等于乙数”列方程是_____． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了列二元一次方程，解题关键是掌握列二元一次方程的方法． 根据倍用乘法，列出方程． 【详解】解：设甲数为，乙数为， ∵甲数的3倍等于乙数， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 【答案】存在，这个二元一次方程为 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，理解方程解的意义是解题的关键．观察和，可得它们的结构是相同的，再结合方程解的定义即可完成解答． 【详解】解：和中字母系数相同，常数项也相同， 两个等式可以统一表示为， 这个二元一次方程为． 【题型二】二元一次方程的解 例3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将代入，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 例4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知是二元一次方程的解，则a的值为_______ 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，理解方程的解的含义是解本题的关键．把代入方程即可得到a的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：2． 例5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 变式1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）二元一次方程的一个解可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将各选项的未知数的值代入原方程，验证方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是方程的解； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，故是方程的解； C、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是方程的解； D、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，故不是方程的解． 变式2．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 变式3．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）为迎接杭州亚运会，在两个社区共设置六个摊点售卖亚运会纪念品，其中第一、二、三号摊点在A社区，第四、五、六号摊点在B社区，每个摊点原有纪念品一样多．第一、二、三、四号摊点每天新运来相等数量的纪念品，第五号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的，第六号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的．第3天结束营业时，第四、五号摊点的纪念品恰好售完并撤走摊点；第4天结束营业时，第一、二、三、六号摊点的所有纪念品均售完并撤走．若第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，求两社区售出纪念品的总数量之比． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设每个摊点原有纪念品x件，第一、二、三、四号摊点每天新运来y件纪念品，则第五号摊点每天新运来件纪念品，第六号摊点前三天每天新运来件纪念品，第四天新运来件纪念品，根据第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，即可找出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出，用含y的代数式分别表示出两社区售出纪念品的总数量，二者相除后即可得出A、B两社区售出纪念品的总数量之比为． 【详解】解：设每个摊点原有纪念品x件，第一、二、三、四号摊点每天新运来y件纪念品，则第五号摊点每天新运来件纪念品，第六号摊点前三天每天新运来件纪念品，第四天新运来件纪念品， 依题意得： 化简得：， ∴A社区售出纪念品的总数量为（件）， B社区售出纪念品的总数量为（件）， ∴A、B两社区售出纪念品的总数量之比为． 故答案为：． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 例6．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意． 故选：D． 例7．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 变式1．（22-23七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有________（填序号） ①②  ③   ④． 【答案】①③/③① 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解． 【详解】解：二元一次方程组有①③． 故答案为：①③ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键． 变式2．（22-23七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答． 【详解】（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 例8．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 例9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 变式1．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】分别计算与，进而得出答案． 【详解】解：          故答案选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握二元一次方程组的解是本题的关键． 变式2．（23-24七年级下·江苏·月考）写出一个解是的二元一次方程组：______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意写出两个解为的二元一次方程，并把这两个方程组成方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合题意的二元一次方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【答案】(1)不是 (2)是 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】（1）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． （2）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． 【详解】（1）把代入方程组， 发现不满足， 所以不是原方程组的解； （2）把代入方程组， 发现适合每一方程， 所以是原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的定义是解题的关键． 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 例10．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若方程组的解是，则（    ） A．2 B． C．0 D．4 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，代数式求值，将方程组的解代入原方程组，解关于a和b的方程，再求和即可． 【详解】解：方程组的解是， ，解得：， ， 故选：C． 例11．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 例12．（22-23七年级·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键． 根据题意将和联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，得 ， 把代入①，得， ， 把，代入，得 ， 解得 变式1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）已知是方程的一个解，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程 得： 化简得： 解得： 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若是关于的二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】1 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】把与的值代入已知方程计算即可求出的值．本题考查已知二元一次方程的解求参数的值，理解方程的解的意义是解题的关键． 【详解】是关于的二元一次方程的解， ， 解得：， 故答案为：1． 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)8 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）根据进行求解即可； （2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， ∴． 一、单选题 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，紧扣二元一次方程组的定义判断即可得出正确答案． 【详解】A．是二元一次方程组，故不符合题意； B．是二元一次方程组，故不符合题意； C．未知数的项最高次数是二次，因此是二元二次方程组，故符合题意； D．是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：C． 2．如果是关于的二元一次方程，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，即方程中含有两个未知数，且未知数的次数为1，即可解答． 【详解】解：根据题意得： ， ， 解得： ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数为1的方程叫二元一次方程是解题的关键． 3．二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，使方程左右两边相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，如果一组数值是二元一次方程的解，则把这对数值代入方程，等式的两边成立；接下来分别将各项中x与y的值代入方程，进行检验即可得到结果． 【详解】解：A、当时，左边右边，故A的值是该方程的解； B、当时，左边右边，故B的值不是该方程的解； C、当时，左边右边，故C的值是该方程的解； D、当时，左边右边，故D的值是该方程的解． 故选：B． 4．已知二元一次方程的一组解为，则的值是（ ） A．9 B．5 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，依题意，把代入二元一次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】解：把代入二元一次方程 得：，，， 故选：C． 5．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】设可分成每小组5人的小组组，每小组4人的小组组，利用各组人数之和为43人，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出分组方案． 【详解】解：设可分成每小组5人的小组组，每小组4人的小组组， 依题意得：， ． 又，均为自然数， 当x=0，y= 不合题意，舍去； 当x=1，y=不合题意，舍去； 当x=2，y=不合题意，舍去； 当x=3，y=7成立； 当x=4，y=不合题意，舍去； 当x=5， 不合题意，舍去； 当x=6，y=不合题意，舍去； 当x=7，y=2成立； 当x=8，y=不合题意，舍去； 故共有2种分组方案． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 6．如果是方程组的解，则a2008+2b2008的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将方程组的解代入方程组可得关于a、b的二元一次方程组，再求解方程组即可求解． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ①＋②得，a＝1， 将a＝1代入①得，b＝1， ∴a2008＋2b2008＝1＋2＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 7．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项中，的值代入原方程，取方程左边方程右边的选项即可． 【详解】、当时，方程左边右边，此选项符合题意； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 8．若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（    ） A．2 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】由x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组计算即可求出m的值． 【详解】解：由题意得：y=-x， 代入方程组得：， 消去x得：， 解得：m=-2， 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 9．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．本题是求不定方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值． 要求二元一次方程的自然数解，首先将方程做适当变形，根据两个未知数的取值范围，分析解的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 二、填空题 10．请写出一个方程_______，使它与组成的方程组的解是 【答案】x+y=5（答案不唯一） 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据二元一次方程组的解的定义和二元一次方程的解的定义得出方程即可． 【详解】解：∵， ∴方程为x+y=5， 故答案为：x+y=5（答案不唯一）． 【点睛】本考查了二元一次方程组的解的定义和二元一次方程的解的定义，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 11．______方程组的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【分析】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．把代入原方程组的两个方程即可得到答案． 【详解】解：把代入原方程组 ①方程左边右边， ②方程左边右边， 所以不是原方程组的解． 故答案为：不是． 12．小明心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后加原两位数的个位数字，结果是94．算算看小明心里想的两位数是 _____． 【答案】79 【分析】设小明想的两位数的个位数字为a，十位数字为b，根据题意列出方程，然后根据1≤b≤9，0≤a≤9且a，b为整数，从而确定二元一次方程的解． 【详解】解：设小明想的两位数的个位数字为a，十位数字为b，由题意可得： 5（2b+3）+a＝94， 整理，可得：10b+a＝79， ∵1≤b≤9，0≤a≤9且a，b为整数， ∴a＝9，b＝7， ∴小明心里想的两位数是79． 故答案为：79 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 13．已知关于x、y的方程组的解是，则________． 【答案】5 【分析】先利用方程组解的定义得到，解得，即可求解代数式的值． 【详解】解：∵的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和代数式的值，理解题意准确计算是解题的关键． 14．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若其千位与十位之和与百位与个位之和都等于8，则称这个四位正整数为“发财数”．若“发财数”的千位数字小于百位数字，且被7除余3，则满足条件的“发财数”的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整除，二元一次方程的解；根据新定义可得，再由整除性可得能被7整除，继而对a、b进行验证求解即可． 【详解】“发财数”的千位数字小于百位数字， 的十位数字是，个位数字是， ， 被除余， 能被整除， ， ， 能被整除， ， ， 为，，， 则满足条件的最大的“发财数”为， 故答案为：． 15．已知关于，的方程组，其中．下列结论：①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是_________． 【答案】①③/③① 【分析】把代入原方程组，求出x和y的值，即可判断①；把代入原方程组，求出a的值，即可判断②；把代入原方程组，求出x和y的值，再将x和y的值代入求出a的值，即可判断③． 【详解】解：①把代入得， 解得：，则，的值互为相反数； 故①正确，符合题意； ②把代入得， 解得：， ∵， ∴不符合题意，则不是该方程组的解； 故②不正确，不符合题意； ③把代入得， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故③正确，符合题意； 综上：正确的有①③； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程组，解题的关键是掌握一元二次方程组的解的定义． 三、解答题 16．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 17．是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【详解】解：存在． ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，，解得． 故当时，方程是关于x，y的二元一次方程． 18．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 19．已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 20．解答下列问题： (1)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (2)二元一次方程的解有多少组？请写出五组． (3)找出一组x，y的值，使这组值同时满足方程和． (4)根据上面的探究，你能直接写出二元一次方程组的解吗？ 【答案】(1)二元一次方程的解有无数组． (2)二元一次方程的解有无数组． (3)同时满足方程和． (4)二元一次方程组的解为 【分析】（1）（2）根据二元一次方程解的性质，可知二元一次方程有无数组解，通过给赋值求得到解； （3）通过尝试或联立方程找同时满足两个方程的解； （4）根据前面的探究得出方程组的解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解有无数组． （2）解：二元一次方程的解有无数组． （3）解：联立方程，将两式相加得，代入得，则： 同时满足方程和． （4）解：二元一次方程组的解为 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的解，掌握二元一次方程有无数组解，二元一次方程组的解是同时满足两个方程的解是解题的关键． 21．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 22．对一个自然数A，将A的各个数位上的数字从左到右依次加1、加2、加3…，得到一个新的自然数，并且在这个过程中各个数位均不产生进位，则称A为“科学数”，称为A的“智慧数”．规定F（A）＝．例如：B＝540是一个“科学数”，理由如下：∵5+1＝6＜9，4+2＝6＜9，0+3＝3＜9，∴540是一个“科学数”．＝663为B的“智慧数”，F（B）＝＝401． （1）判断567　　　　　　（填“是”或“不是”）“科学数”；计算：F（57）＝　　　　　　； （2）若M是一个三位“科学数”，M的百位数字是7，十位数字是x，个位数字是y，且F（M）＝4x+515，求M的值． 【答案】（1）不是，42；（2）723 【分析】（1）依据“科学数”的定义可以判断；先求出57的“智慧数”，再利用公式可求得F（57）； （2）先求出M的“智慧数”，利用F（M）=4x+515，列出关于x，y的方程，利用自然数的数位的数字特征和“科学数”的意义确定x，y的值，M的值可得． 【详解】解：（1）∵5+1=6＜9，6+2=8＜9，7+3=10＞9， ∴567不是“科学数”． ∵5+1=6，7+2=9， ∴57的“智慧数”为69． ∴． 故答案为：不是，42； （2）∵M的百位数字是7，十位数字是x，个位数字是y， ∴M=700+10x+y． ∴M的“智慧数”M′=800+10（x+2）+y+3． ∴． ∵F（M）=4x+515， ∴． 整理得：4x+y=11． ∴． ∵M是一个三位“科学数”， ∴x＜8，y＜7，且x，y均为正整数． ∴当y=3时，x=2． ∴M=700+2×10+3=723． 【点睛】本题是阅读型题目，主要考查了有理数的混合运算，用代数式表示数字，二元一次方程的整数解等，准确理解题干中的定义及公式并熟练应用是解题的关键． 23．将1到2021之间的所有奇数按顺序排成下图： 记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17． (1)P45＝　 　； (2)若Pmn＝2021，则m＝　 　，n＝　 　； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)45； (2)169，3； (3)覆盖的4个数之和能等于200 【分析】（1）根据题意可知P45表示第4行第5个数，每行都有6个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值； （2）根据题意，可以得到2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，然后m为整数，1≤n≤6，即可得到m、n的值； （3）先判断，然后设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由． 【详解】（1）解：（1）由题意可得， P45＝2×（6×3+5）﹣1＝45， 故答案为：45； （2）解：∵Pmn＝2021， ∴2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021， ∴12m+2n﹣13＝2021， ∵m为正整数，1≤n≤6， ∴m＝169，n＝3， 故答案为：169，3； （3）解：所覆盖的4个数之和能等于200， 理由：设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11， 由题意可得（2n﹣3）+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+11）＝200， 解得：n＝24， ∴所覆盖的4个数之和能等于200． 【点睛】此题考查了数字类规律的运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解数字的排列规律并应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $