11.4一元一次不等式组11.5用一元一次不等式解决问题 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

本讲义聚焦一元一次不等式组及应用，系统梳理定义、解集类型（同大取大等）、解法步骤，衔接用不等式解决问题的步骤、不等关系关键词及行程、经济等应用模型，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以16大题型为核心，含解题技巧、典例及变式，通过参数问题培养推理意识，实际应用题型发展模型观念与应用意识。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学思维解决问题的能力。

11.4一元一次不等式组11.5用一元一次不等式解决问题 （知识点+16大题型+过关检测） 【题型1 一元一次不等式组的定义】 1 【题型2 求不等式组的解集】 4 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 6 【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】 7 【题型5 由不等式组解集的情况求参数】 9 【题型6 不等式组和方程组结合的问题】 12 【题型7 列一元一次不等式组】 14 【题型8 不等式组的行程问题】 15 【题型9 不等式组的经济问题】 21 【题型10 不等式组的分配问题】 24 【题型11 不等式组的方案选择问题】 27 【题型12 不等式组的阶梯收费问题】 32 【题型13 一元一次不等式组的其他应用】 36 【题型14 列一元一次不等式】 38 【题型15 用一元一次不等式解决实际问题】 39 【题型16 用一元一次不等式解决几何问题】 43 1. 理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的基本概念，掌握一元一次不等式组的判定条件； 2. 熟练掌握一元一次不等式组的解法及四种解集类型，熟记解集取值口诀； 3. 掌握利用一元一次不等式（组）解决实际问题、几何问题的核心思路，熟悉各类应用题的等量、不等量关系，明晰阶梯收费、行程、经济、分配等常见模型的知识点与解题依据。 03 知识•梳理 （一）11.4 一元一次不等式组核心知识点 1. 一元一次不等式组的定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 核心判定条件：所有不等式均为一元一次不等式、未知数完全相同、至少由两个不等式组成，缺一不可。 2. 不等式组的相关概念 （1）不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 （2）解不等式组：求一元一次不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 （3）无解：若几个不等式的解集没有公共部分，则该不等式组无解。 3. 一元一次不等式组四种解集类型（设） · 同大取大：，解集为 · 同小取小：，解集为 · 大小小大中间找：，解集为 · 大大小小无处找（无解）：，无解 补充：含等号的解集，遵循“有等号取端点，无等号舍端点”的原则，数轴上虚实圆点对应判定。 4. 解一元一次不等式组的步骤 ①解：分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集； ②画：在同一数轴上表示出各个不等式的解集； ③找：找出所有解集的公共部分； ④写：写出不等式组的解集，无公共部分则写无解。 （二）11.5 用一元一次不等式解决问题核心知识点 1. 列一元一次不等式解应用题的步骤 ①审：审题，找出题目中的已知量、未知量，提炼核心不等关系； ②设：设未知数，一般直接设所求量，特殊情况可间接设（不写范围）； ③列：根据不等关系列出一元一次不等式； ④解：求解不等式的解集； ⑤验：结合实际意义筛选有效解（人数、物品数为正整数，长度为正数等）； ⑥答：规范写出答案。 2. 常见不等关系关键词 · 至少、不少于、不低于：≥ · 至多、不大于、不超过：≤ · 大于、超过、多出：> · 小于、不足、少于：< 3. 各类应用模型核心不等关系 （1）行程问题：路程、速度、时间之间的不等约束，如时间不足、路程超出、速度限制； （2）经济问题：利润、成本、售价的不等关系，如利润不低于、成本不超过； （3）分配问题：物资分配、人员分配的盈亏不等关系； （4）阶梯收费问题：分段计费，总费用对应不同区间取值； （5）几何问题：利用三角形三边关系、周长、面积公式列不等关系。 04 题型•汇总 【题型1 一元一次不等式组的定义】 解题技巧 四步判定法（全部满足才是）：①由两个及以上不等式组成；②所有不等式只含同一个未知数；③未知数最高次数为1；④所有式子均为整式不等式。 易错规避：含多个未知数、未知数在分母、高次未知数、等式与不等式混合的式子，均不是一元一次不等式组。 【典例1】．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 【变式1】．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ④，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 综上，是一元一次不等式组的有3个． 【变式2】．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【变式3】．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 【题型2 求不等式组的解集】 解题技巧 1. 分步求解：先单独解每一个不等式，再结合数轴或口诀找公共部分； 2. 口诀速判：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了； 3. 含等号处理：端点有等号保留、无等号舍弃，公共部分需同时满足所有不等式； 4. 无解判定：两个解集无重叠区域，直接判定不等式组无解。 【典例2】．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 【变式1】．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，和为 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，再找出符合条件的整数解求和即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解有、、、，和为． 【变式2】．解不等式组 解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： 所以原不等式组的解集为 ． 【答案】； 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，并在数轴上表示这两个不等式的解集，找到这两个解集的公共部分，所以原不等式组的解集即为这两个解集的公共部分． 【详解】略． 【变式3】．解一元一次不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组无解． 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 解题技巧 1. 先求完整解集，再根据端点虚实筛选数值； 2. 严格区分取值类型：整数解（含正负、0）、正整数解（不含0）、非负整数解（0和正数）； 3. 临界取值：解集为小数区间时，只取区间内整数，不触碰边界外数值，杜绝漏解、多解。 【典例3】．不等式组的整数解的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的整数，统计整数解的个数即可得到答案． 【详解】解： 由①可得； 由②可得， 不等式组的解集为； ∴该区间内的整数只有，整数解共个． 【变式1】．不等式组的整数解是________． 【答案】2 【分析】先确定该不等式组的解集，再在解集中找出符合条件的整数解即可． 【详解】解：不等式组， 所以不等式组的解集为 ，则解集中的整数解为． 【变式2】．求不等式组的整数解． 【答案】 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 【变式3】．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解：，，，，，， 【详解】解：解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴它的所有整数解为，，，，，，． 【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】 解题技巧 1. 先解含参数不等式，化为最简解集形式； 2. 结合已知解集，对比取值范围，确定参数大小关系； 3. 重点验证端点值能否取等号（高频易错），可代入端点验证是否符合题意； 4. 口诀辅助：解集一致看范围，公共区间定参数，端点取舍必验证。 【典例4】．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2025 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，根据“不等式组的解集为”求出a、b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：解，得， 解，得． 不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ，， 解得， ． 【变式1】．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，因为不等式组有5个整数解，可得“”表示的不等式可以是，对照各选项选择即可． 【详解】解：由，得：， 一元一次不等式组的整数解有个， 整数解为、、、、， 不等式组的解集为， 则“”表示的不等式可以是， 的解集为， 的解集为， 的解集为， 的解集为， ∴选项符合． 【变式2】．如果不等式组无解，的取值可以是_____（写一个符合要求的即可）． 【答案】1（不唯一，不大于3即可） 【详解】解：由，得， ∵不等式组无解， ∴， ∴的取值可以是1． 【变式3】．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解得，则可得关于的不等式组的个整数解是、、、，然后列出不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∴关于的不等式组的个整数解是、、、， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 【题型5 由不等式组解集的情况求参数】 解题技巧 1. 有解问题：两个不等式解集存在公共部分，列出参数不等关系； 2. 无解问题：两个解集无公共部分，满足“大大小小”特征； 3. 整数解限定问题：先写出基础整数解，反向锁定参数临界区间，逐一验证端点； 4. 核心原则：先定范围，再验等号，分类讨论不遗漏。 【典例5】．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和即可． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得 ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为 ∴， 解得，可得整数的可能取值为， 解二元一次方程组 将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得： 代入第二个方程得， ∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证： ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，不是整数，不符合； 符合条件的所有整数的和为：． 【变式1】．已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有2个整数解，那么a的取值范围是；乙：如果此不等式组无解，那么．其中下列判断正确的是（     ）． A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先确定不等式组的解集范围，再分别根据甲，乙给出的条件求出的取值范围，判断两人结论是否正确即可． 【详解】解：解得原不等式组的解集为， 判断甲的结论：不等式组有且仅有个整数解，且， 两个整数解为和， ， 解得，与甲的结论一致，故甲正确； 判断乙的结论： 不等式组无解， ， 解得， 即不等式组无解时的取值范围是，并非，故乙错误， 因此甲对，乙错． 【变式2】．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得出为，，，，，，根据不等式组有个整数解得出关于的不等式组，然后根据题意得到整数为，，，再求其和即可． 【详解】解：解方程组， 由得，代入得：， 解得， 方程组的解为整数， 是的整数约数，即可取，，， 则为，，，，，， 解不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解，其整数解为，，，，， ， 解得， 结合的所有可能取值，符合条件的整数为，，，它们的和为 ， 故答案为：． 【变式3】．关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大的原则确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 根据同大取大的原则，可得， 解得． 【题型6 不等式组和方程组结合的问题】 解题技巧 1. 先解方程组：用参数表示出方程组的未知数解； 2. 代入不等关系：将解代入题目给定的不等式（组）； 3. 求解参数不等式，得到参数范围； 4. 特殊题型：解为正数、负数、整数时，额外增加对应约束条件，精准筛选范围。 【典例6】．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 【变式1】．已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴，因此选项A判断正确． ∴ ， ∴， ∴，因此选项B判断正确． ∵ ， 由得 ， ∴ ，因此选项C判断正确． ∵， 由 得 ， 即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误． 【变式2】．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式3】．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由得， ， 化简得，， 方程组的解满足， ， 根据不等式的基本性质移项得，． 【题型7 列一元一次不等式组】 解题技巧 1. 找多重约束：题目存在两个及以上不等条件，需分别列式； 2. 抓关键词：根据至少、至多、不超过、不足、不少于等关键词转化不等号； 3. 统一未知数：所有不等式使用同一个未知数，保证式子规范； 4. 规避错漏：不遗漏任何一条约束条件，避免少列不等式。 【典例7】．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 【变式1】．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 【变式2】．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 【变式3】．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 【题型8 不等式组的行程问题】 解题技巧 1. 核心公式：路程=速度×时间； 2. 常见不等场景：规定时间内未走完、提前到达、速度受限、路程超出范围； 3. 列式关键：根据“时间不足、速度不够、路程受限”等描述转化不等关系； 4. 实际约束：速度、时间均为正数，结果需符合实际意义。 【典例8】．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 【变式1】．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 【变式2】．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【变式3】．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【题型9 不等式组的经济问题】 解题技巧 1. 核心公式：利润=（售价-进价）×销量； 2. 常见约束：利润不低于定值、成本不超预算、售价有上下限； 3. 解题步骤：设售价/销量→表示利润→根据利润、成本约束列不等式（组）→求解取值范围； 4. 结果取舍：定价、销量一般为正数，整数题型需取整。 【典例9】．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 【变式1】．某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 【变式2】．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 【题型10 不等式组的分配问题】 解题技巧 1. 核心等量关系：总数量=单份数量×份数±剩余/不足量； 2. 不等关系提炼：分配后有剩余→总量＞单份×份数；分配后不足→总量＜单份×份数； 3. 双约束列式：同时满足剩余和不足的区间约束，列不等式组； 4. 取值要求：份数、物资数量均为正整数。 【典例10】．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【变式1】． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 【变式2】．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 【变式3】．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 【题型11 不等式组的方案选择问题】 解题技巧 1. 设未知数：设方案中核心变量（采购数量、车辆数等）； 2. 列不等式组：根据总数量、总费用、限制条件列出所有约束； 3. 求整数解：筛选符合条件的所有整数解，对应不同方案； 4. 最优选择：对比各方案成本、效率，选出最值方案（最省钱、最省时等）。 【典例11】．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 【变式1】．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【变式2】．班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 【答案】(1) (2)租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆 【分析】（1）由甲车数量为非负数，乙车数量为非负数，租车总数不超过5辆，三个不等关系列出不等式组； （2）解出不等式组，并由为非负整数，写出所有情况． 【详解】（1）略 （2） 不等式组的解集为 x为非负整数，，3，4 方案1：甲2辆，乙3辆 方案2：甲3辆，乙1.5辆(舍去，车辆整数) 方案3：甲4辆，乙0辆 可行方案∶租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆． 【变式3】．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过2900元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机每架一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 【答案】(1)甲型无人机每架一次可运输水果200千克，乙型无人机每架一次可运输水果300千克 (2)租用甲型无人机7架，乙型无人机2架时，一次运输水果总重量最大，最大运输重量为2000千克 【分析】（1）通过设未知数表示甲、乙无人机单次运货量，根据素材一的两组运输总量条件列出方程组，求解即可； （2）先设租用甲型无人机架，则乙型架，根据总租金不超过2900元列一元一次不等式求出取值范围，再列出总运输重量的代数式，根据取值范围确定最大值对应的方案． 【详解】（1）解：设甲型无人机每架一次可运输水果千克，乙型无人机每架一次可运输水果千克， 根据题意列方程组： ， 解得， 甲型无人机每架一次运 千克，乙型无人机每架一次运 千克． （2）解：设租用甲型无人机架，则租用乙型无人机架，设一次运输总重量为千克， 根据题意则有， 解得：， 又、均为非负整数， ， 解得， ， 的取值为7、8、9， 由题意， ①时，； ②时，； ③时，， 则取7时，此时最大为， 即最大运输重量为2000千克． 【题型12 不等式组的阶梯收费问题】 解题技巧 1. 分段梳理：明确每一段的计费标准、区间范围； 2. 区间判断：根据总费用先判断用量所在区间； 3. 列式计算：结合分段公式列不等式（组），求解用量范围； 4. 易错规避：不跨段计算，区间端点计费标准区分清晰。 【典例12】．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式1】．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 【变式2】．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【变式3】．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【题型13 一元一次不等式组的其他应用】 解题技巧 1. 抓核心变量：锁定题目中变化的核心未知量； 2. 套公式模型：结合对应题型公式（增长率、浓度、工程总量）； 3. 转化不等关系：根据“不低于、不超过、达标、合格”等约束列式； 4. 结合实际取舍结果，排除无意义数值。 【典例13】．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 【变式1】．已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，，利用非负数的性质求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， ∴， ∴的最大值为． 【变式2】．在我们的平常生活中，药品是每个家庭常备用品之一，如图是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】要确定每天服用药品剂量的取值范围，需分别计算每日最小剂量和每日最大剂量：最小剂量为每次最小用量每日最少服用次数，最大剂量为每次最大用量每日最多服用次数． 【详解】解：由题意可知： 每次服用剂量范围：， 每日服用次数：次， 每日最小剂量：； 每日最大剂量：， 因此每天服用这种药品的剂量的取值范围为． 【变式3】．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由运算流程，结合题意可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：第一次运算结果为， 第二次运算结果为， 根据题意可得， 解得． 【题型14 列一元一次不等式】 解题技巧 1. 步骤：审题意→找不等关键词→定不等关系→规范列式； 2. 核心：只有一组不等约束，无需列不等式组； 3. 易错点：区分大于、大于等于，严格对应题干表述，不随意增减等号。 【典例14】．用不等式表示x的2倍与3的差不大于8，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵x的2倍可表示为，x的2倍与3的差可表示为， 又∵“不大于8”的含义是差小于或等于8， ∴列出不等式为． 【变式1】．《中国居民膳食指南（2022）》建议，青少年每人每天糖的摄入量不超过25克，则青少年每天摄入糖的质量x克应满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵“不超过”在数学中表示“小于等于”，题干要求青少年每人每天糖的摄入量不超过25克， 设摄入量为克， ∴可得不等关系． 【变式2】．用不等式表示“的一半与5的差小于3”；______ 【答案】 【分析】先拆解题目中的数量关系，依次表示出对应量，再根据题目给出的不等关系列出不等式． 【详解】解：根据题意，的一半为， ∴的一半与的差为， ∴不等式为． 【变式3】．学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元．辞典每本40元，现已购买名著20套，设购买辞典本，根据题意，可列出关于的不等式为______． 【答案】 【分析】分别计算购买名著和辞典的总费用，根据总费用不超过总预算的不等关系列出不等式． 【详解】解：名著每套65元，购买20套名著的总费用为元， 辞典每本40元，购买本辞典的总费用为元， 根据总花费不超过总预算，可得． 【题型15 用一元一次不等式解决实际问题】 解题技巧 1. 严格遵循审题、设元、列式、求解、验根、作答六步骤； 2. 重点验根：解集必须符合实际场景，人数、个数、次数等必须为正整数； 3. 最值求解：实际问题中常求最值，结合解集临界值确定答案。 【典例15】．阅读与理解 已知某景区门票票价为元/人，春节期间，为了给假期出行的游客提供优惠，景区给出了如下优惠方案： 游客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 人以下（含人）没有优惠； 团购：超过人，其中人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有名学生游客买票，则总票款为 元； (2)若有名非学生游客采用团购方式买票，请用含的式子表示总票款； (3)一个旅游团共有名游客，其中非学生游客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该旅游团游客总票款为元，请问旅游团有学生游客多少人？ 【答案】(1) (2)元 (3)旅游团有学生游客人 【分析】（1）根据优惠方案，得到总票款票价人数折扣即可解答； （2）根据优惠方案，得到总票款为张原价票的金额加上超过人部分的八折票价即可； （3）设旅游团中有学生游客人，非学生游客人，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，总票款为 （元）； （2）解：由题意可得，总票款为元； （3）解：设旅游团中有学生游客人，非学生游客人， 非学生游客若达到团购人数并按团购方式买票， ，解得， 由题意可得，， 解得，符合题意； 答：旅游团有学生游客人． 【变式1】．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产.无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、高效，能更加均匀、节约农药使用等优势，因此受到了广大农户的欢迎.某公司目前有两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架款植保无人机和2架款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架款植保无人机和3架款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒． (1)问，两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ (2)该公司计划再购进，两款无人机共15架，要求这批无人机每小时喷洒的总面积不低于1400亩，请问至少要购进款无人机多少架？ 【答案】(1) 款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒 (2) 至少要购进款无人机10架 【分析】（1）设款植保无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，款植保无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设购进款无人机架，则购进款无人机架，根据题意列出不等式求得不等式的最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设款植保无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，款植保无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒， 根据题意，得，解得． 答：款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． （2）解：设购进款无人机架，则购进款无人机架， 根据题意，得，解得． ∴最小整数解为10． 答：至少要购进款无人机10架． 【变式2】．长沙作为历史文化名城，为了弘扬湖湘文化，推动文旅融合发展，某景区计划采购一批特色文化产品布置主题展馆．景区内的两个展馆采购情况如表： 湘绣（件） 铜官窑瓷器（件） 总费用（元） 展馆 展馆 (1)求湘绣和铜官窑瓷器每件各是多少元； (2)景区准备再采购湘绣和铜官窑瓷器共件，总费用不超过元，且采购铜官窑瓷器的数量不少于湘绣的数量的，景区有几种采购方案？请你设计出来． 【答案】(1)湘绣每件80元，铜官窑瓷器每件300元． (2)共有2种采购方案， 方案一：采购湘绣12件，铜官窑瓷器8件； 方案二：采购湘绣13件，铜官窑瓷器7件． 【分析】(1)根据表格中的总费用，设未知数建立二元一次方程组，求解即可得到两种商品的单价； (2)根据总费用限制和数量关系限制，设未知数建立一元一次不等式组，求出整数解，即可得到所有符合条件的采购方案． 【详解】（1）(1)设湘绣每件元，铜官窑瓷器每件元， 根据题意可得 解得 （2）设采购湘绣件，则采购铜官窑瓷器件， 根据题意可得 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数，     ∴的取值为12，13， 当时，， 当时，， ∴共有2种采购方案： 方案一：采购湘绣12件，铜官窑瓷器8件； 方案二：采购湘绣13件，铜官窑瓷器7件． 【变式3】．某超市在“五一”期间，计划将内江黑猪肉中的精品五花肉作为惠民商品，同时带动普通后腿肉的销售．经测算：购买1斤精品五花肉和2斤普通后腿肉共需47元，且精品五花肉的单价比普通后腿肉的单价高11元． (1)求普通后腿肉和精品五花肉的单价； (2)该超市计划购进两种猪肉共1000斤，且总采购费用不超过20800元．超市希望尽可能多地采购精品五花肉．问最多可购进精品五花肉多少斤？ 【答案】(1)普通后腿肉单价12元/斤，精品五花肉单价23元/斤 (2)最多可购进精品五花肉800斤 【分析】（1）设普通后腿肉单价为x元/斤，精品五花肉单价为元/斤，根据题意列出方程求解； （2）设购进精品五花肉a斤，则购进普通后腿肉斤，根据题意列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设普通后腿肉单价为x元/斤，精品五花肉单价为元/斤， 依题意得： 解得： ∴ 答：普通后腿肉单价12元/斤，精品五花肉单价23元/斤； （2）解：设购进精品五花肉a斤，则购进普通后腿肉斤， 根据题意得， 解得： 答：最多可购进精品五花肉800斤． 【题型16 用一元一次不等式解决几何问题】 解题技巧 1. 核心公式：熟练运用周长、面积公式，重点掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； 2. 列式依据：根据边长为正、周长/面积的取值约束列不等式； 3. 取值约束：几何边长必须为正数，严格筛选有效取值范围； 4. 综合题型：多条件几何问题可列不等式组求解。 【典例16】．如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 【变式1】．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 【变式2】．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 【变式3】．如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 05 过关•检测 1．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 3．按照如下程序，输入的值并计算.规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A．23 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得． ∵输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 4．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 5．若关于x的不等式组，下列说法不正确的是（     ） A．若不等式组的解集是，则 B．若不是不等式组的一个解，那么 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组无解，则 【答案】C 【详解】解：解不等式组，得，． 若不等式组的解集是，则，故选项A说法正确，不符合题意； 若不是不等式组的一个解，那么，故选项B说法正确，不符合题意； 若不等式组只有3个整数解，则，故选项C说法错误，符合题意； 若不等式组无解，则，故选项D说法正确，不符合题意． 6．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 7．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 8．若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键． 两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． 9．2026年3月23日是第66个“世界气象日”，某校组织600名师生前往城市气象科技馆开展“测今日气象，护明日家园”主题实践活动，计划租用30座和45座两种客车（两种客车都要租），要求每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（     ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【分析】设两种客车的租用数量为未知数，根据总人数列出二元一次方程，求方程的正整数解的个数，即可得到租车方案的数量； 【详解】解：设租用30座客车辆，45座客车辆，均为正整数（两种客车都要租）， 根据总人数为600，可得方程：， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，且， ∵ 3是奇数， ∴必为偶数， 由得， 符合条件的正偶数为：，共6个，对应均为正整数， 因此租车方案共有6种． 10．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案(2)更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可. 【详解】解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯， ∴优惠方法(1)的总费用为 ， 优惠方法(2)的总费用为 ， ∵方法(2)比方法(1)更省钱， ∴，化简得 ， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为 11．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出原不等式组中的两个不等式解集分别为：，， （1）把代入解集中，解不等式组即可； （2）根据题意得，不等式组有且只有5个整数解，所以确定出的值，只能取，再写出实数的取值范围即可． 【详解】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 12．已知关于、的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】解方程组可得，由方程组的解为整数得或或，即得，，，，，，解不等式组得，由不等式组有且只有个整数解得到，即得到，进而即可求解． 【详解】解：， 由②，得， 把③代入①，得， ∴， ∵方程组的解为整数， ∴或或， ∴，，，，，， ， 解不等式④，得， 解不等式⑤，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 解得， ∵，，，，，， ∴满足条件的整数的值为， ∴所有满足条件的整数的和为． 13．关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，根据方程组的解为整数且为整数，得到所有符合条件的，再解一元一次不等式，根据不等式整数解的和为得到的取值范围，最后计算的最大值即可． 【详解】解：解方程组， 由②得， 代入①得 ， 整理得， 解得， 代入③得， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴是的因数，即或， 分别计算得：当时，，，，符合条件； 当时，，，，不符合，舍去； 当时，，，，符合条件； 当时，，，，不符合，舍去； 综上，的可能取值为和，最大值为， 解不等式： 各项减得， 各项除以得：， 该取值内最多有个连续整数，由整数解的和为，得整数解为，，因此： ， 解得，故的最大值为， ∴的最大值为． 14．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 15．已知整数使得关于、的二元一次方程组的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则所有满足条件的的和为__________． 【答案】 【分析】先求解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数得到整数k的候选值，再求解一元一次不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解确定k的取值范围，最后筛选出同时满足两个条件的k，计算其和即可． 【详解】解：解方程组 ， 得 ， 解得 ， ∵方程组的解为正整数，且为整数， 是的正因数，可得或或 ，即或或， 当时，，不是正整数，舍去，剩余候选值为，， 解不等式组 ， 解不等式 得， 解不等式 得， ∵不等式组有且仅有四个整数解，四个整数解为，可得 ， 解得 ， 结合候选值可得，只有符合条件，所有满足条件的的和为． 16．我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若，则．例如，⋯下列结论中：①；②当m为非负整数时，；③满足的非负数x只有两个．其中结论正确的是_________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的结论，错误的举出反例或说明理由． 【详解】解：①当时，此时，，故结论①不正确； ②注意到都是非负数，令左边， 则，， ∴， ∴， 移项得， 即，结论②正确； ③，则 ，解得, 为非负整数， 或，故结论③正确． 故答案为：②③． 17．材料阅读：对非负数“四舍五入”到个位的值记为． 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：①______． ②如果，求的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． (3)请直接写出满足的所有非负数的值：______． (4)若为正整数，求证：． 【答案】(1)①3；② (2)不成立，反例见解析 (3)0或或 (4)证明见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，理解新定义． （1）①根据新定义即可得到答案； ②根据新定义列出不等式组，即可解得答案； （2）由新定义可知不一定成立，再举一个反例即可； （3）根据新定义列出不等式组求出的取值范围，再由为整数可得的值． （4）设，根据新定义证明即可． 【详解】（1）解：①， ． 故答案为：3． ②， ， 解得． （2）解：不一定成立， 比如：，， ， 而， 此时． （3）解：， ∴， 解得． 为非负数， ． 设，则k为整数， ∴， ， 解得：， ， 或或． 故答案为：0或或． （4）设， 则， ． ． ， ． 18．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键． 19．定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． (1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． (2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； (3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（）分别求出几个不等式（组）的整数解，按照定义要求判断即可； （）分别求出两个不等式组的解集，因为两个不等式组有相同的整数解，所以根据第一个不等式组的整数解，得到，解不等式即可； （）分别求出两个不等式组的解集，可分析得两不等式组有相同整数解时，整数解只可能为0，据此求出的范围． 【详解】（1）解∶解原不等式得； ∴整数解为：； ①解得， ∴整数解为：，与原不等式不同； 解得， 整数解为，与原不等式相同； ③解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为与原不等式不同； （2）解：解第一个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 整数解为； 解第二个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵整数解需为， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴； （3）解：解第一个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； 解第二个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； ∵两不等式组整数解相同且存在整数解， 若整数解为： 则，解得； 若整数解为， 则，解得，此不等式组无解； 同理可得若原题中两个不等式组的相同整数解包括小于的其他整数解时，都没有使之成立； ∴两不等式组相同的整数解只有0，此时． 20．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据“相伴方程”的定义进行判断即可． （2）根据题意，得出关于k的不等式，据此得出关于k的取值范围即可． （3）根据题意，得出关于m的不等式，据此得出关于m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由得，； 由得，． 解不等式组得，． 因为，， 所以不等式组的“相伴方程”是②． （2）解：由得，x． 解不等式组得，， 则， 解得． （3）解：由得，； 由得，； 由得，． 因为所给方程都是不等式组的“相伴方程”， 所以， 解得． 21．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)方程的解不是不等式的“内含解”，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可； （2）先得出方程组的解为，然后根据题意可得，进而求解即可； （3）先得出方程和不等式组的解分别为，，然后根据题意可得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：， ∴不在范围内， ∴方程的解不是不等式的“内含解”； （2）解： 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解是不等式的“内含解”， ∴， 解得：； （3）解： 由①可得：， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为， ∴， 解得：， 由方程可得，且方程的解是不等式组的“内含解”， ∴， 解得：， 综上所述：的取值范围为． 22．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（）把两个方程相加可得 ，即得，解方程即可求解； （）用第二个方程减去第一个方程可得 ，即得 ，再解不等式即可求解； （）由不等式可得 ，进而根据解集得到 ，求出的解集再结合（）得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ①②，得， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， ②①，得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为， ∴， 解得， 又由（）得，， ∴， ∴的整数值为或或． 23．蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒 (2)当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确找出等量关系，列出相对应的方程组和不等式组是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得，，解之得：， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒． （2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元， 水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒， ，解之得：， 由题意可得，， ， 随的减小而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元． 24．请根据素材，解决任务1与任务2、任务3． 背景 为落实省教育厅“双减”政策，丰富学校课后服务内容，彰显学校体育特色． 素材1 实验初中为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元． 素材2 已知A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元， 问题解决： (1)任务1：求两种品牌排球的单价 (2)任务2：根据需要，学校决定再次购进两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ (3)任务3：商场搞促销，A种品牌排球每个优惠元（为整数），B种品牌价格不变．学校仍计划购买A、B两种排球共50个，且总花费不超过3100元，购买的A种品牌排球不少于20个．若要求购买方案恰好有5种，求整数的值． 【答案】(1)A：80元/个；B：50元/个 (2)共有3种购买方案：①A排球23个，B排球27个；②A排球24个，B排球26个；③A排球25个，B排球25个 (3) 【分析】（1）设两种品牌排球的单价为元和元，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）设购买A品牌排球个，则购买B品牌排球个，列出不等式组进行求解即可； （3）设购买A品牌排球个，则购买B品牌排球个，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设两种品牌排球的单价为元和元， 由题意，，解得； 答：两种品牌排球的单价为元和元； （2）解：设购买A品牌排球个，则购买B品牌排球个， 由题意，，解得； ∵为整数， ∴； ∴； 故总共有3种购买方案：①A排球23个，B排球27个；②A排球24个，B排球26个；③A排球25个，B排球25个； （3）解：设购买A品牌排球个，则购买B品牌排球个， 由题意，，整理，得， ∵要求购买方案恰好有5种，即， ∴， ∴， ∵为整数， ∴. 25．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”的方式以达到节水的目的，收费标准如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ (1)某居民用户9月份用水9，应缴水费　　　元； (2)某居民用户10月份缴水费44元，求该用户10月份的用水量； (3)若用户11月份、12月份共用水18（12月份用水量超过11月份用水量），设11月份用水，求该户居民11月份、12月份两个月共交水费多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)24 (2) (3)当时，水费共交元；当时，水费共交元；当时，水费共交48元 【分析】（1）居民用户9月份用水9，处于第二档，根据收费标准计算即可； （2）若该用户10月份用水超过不超过，最多应收水费元，得到该用户10月份用水量超过了．设该用户10月份用水量为，根据收费标准列方程求解即可； （3）该户居民11月份、12月份两个月共用水，设11月份用水，则设12月份用水，由12月份用水量超过了11月份，得到，再根据，，分情况讨论，分别根据两个月所处的位置结合收费标准列式计算即可． 【详解】（1）解：某居民用户9月份用水9，处于第二档，应缴水费（元）； （2）解：若该用户10月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户10月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民10月份水费为44元，因为， 所以该用户10月份用水量超过了． 设该用户10月份用水量为， 由题意得：， 解得：， 答：该居民10月份用水量为； （3）解：该户居民11月份、12月份两个月共用水，设11月份用水，则12月份用水， ∵12月份用水量超过了11月份， ∴， 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 所以，当时，水费共交元；当时，水费共交元；当时，水费共交48元． 26．已知数轴上的两点所表示的数分别是和． (1)如图（1），点在点的右边，，若，请直接写出点、点表示的数． (2)如图（2），在（1）的条件下，点在点处以每秒2个单位长度向右运动，点在点处以每秒3个单位长度向左运动，点、点同时运动，请问当时，求点，点运动了多少秒？ (3)拓展应用：如图（3）有两列玩具车，甲车长为3个单位长度，乙车长为5个单位长度，甲车头在数轴上表示的数是，乙车头在数轴上表示的数是16．若甲车以每秒2个单位长度向右行驶，同时乙车以每秒1个单位长度向左匀速行驶，两车同时运动，点位于中点，小渝发现行驶中有一段时间，总共有秒钟，到两车头、的距离和加上到两车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为小渝发现的这一结论是否正确？若正确，直接写出的值及的定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)点表示的数是15，点C表示的数是5， (2)或秒 (3)，为定值8． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值的几何意义、解绝对值方程、不等式组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式以及绝对值的几何意义求解即可； （2）设当时，求点，点运动了t秒，则点M表示的数为，点N表示的数为，然后根据绝对值的几何意义列绝对值方程求解即可； （3）由题意可得：点A表示，P表示，点B表示，点M表示16，点N表示21，运动n后点A表示，P表示，点B表示，点M表示，点N表示，易得，，进而得到，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：设点C表示的数为c， ∵， ∴A表示的数为， ∵，点在点的右边， ∴，解得：， ∴点表示的数是15， ∵， ∴，解得：， ∴点C表示的数是5． （2）解：设当时，求点，点运动了t秒，则点M表示的数为，点N表示的数为， ∵， ∴，即，解得：或． ∴当时，求点，点运动了或秒． （3）解：由题意可得：点A表示，P表示，点B表示，点M表示16，点N表示21，运动n秒后点A表示，P表示，点B表示，点M表示，点N表示， ∴，， ∴， 当 或时， 与n无关， 解，该不等式组无解， 当，解得：， 此段时间共持续，； 综上．当时，此段时间共持续，为定值8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4一元一次不等式组11.5用一元一次不等式解决问题 （知识点+16大题型+过关检测） 【题型1 一元一次不等式组的定义】 1 【题型2 求不等式组的解集】 4 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 4 【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】 5 【题型5 由不等式组解集的情况求参数】 5 【题型6 不等式组和方程组结合的问题】 6 【题型7 列一元一次不等式组】 7 【题型8 不等式组的行程问题】 7 【题型9 不等式组的经济问题】 9 【题型10 不等式组的分配问题】 10 【题型11 不等式组的方案选择问题】 11 【题型12 不等式组的阶梯收费问题】 13 【题型13 一元一次不等式组的其他应用】 15 【题型14 列一元一次不等式】 16 【题型15 用一元一次不等式解决实际问题】 17 【题型16 用一元一次不等式解决几何问题】 18 1. 理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的基本概念，掌握一元一次不等式组的判定条件； 2. 熟练掌握一元一次不等式组的解法及四种解集类型，熟记解集取值口诀； 3. 掌握利用一元一次不等式（组）解决实际问题、几何问题的核心思路，熟悉各类应用题的等量、不等量关系，明晰阶梯收费、行程、经济、分配等常见模型的知识点与解题依据。 03 知识•梳理 （一）11.4 一元一次不等式组核心知识点 1. 一元一次不等式组的定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 核心判定条件：所有不等式均为一元一次不等式、未知数完全相同、至少由两个不等式组成，缺一不可。 2. 不等式组的相关概念 （1）不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 （2）解不等式组：求一元一次不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 （3）无解：若几个不等式的解集没有公共部分，则该不等式组无解。 3. 一元一次不等式组四种解集类型（设） · 同大取大：，解集为 · 同小取小：，解集为 · 大小小大中间找：，解集为 · 大大小小无处找（无解）：，无解 补充：含等号的解集，遵循“有等号取端点，无等号舍端点”的原则，数轴上虚实圆点对应判定。 4. 解一元一次不等式组的步骤 ①解：分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集； ②画：在同一数轴上表示出各个不等式的解集； ③找：找出所有解集的公共部分； ④写：写出不等式组的解集，无公共部分则写无解。 （二）11.5 用一元一次不等式解决问题核心知识点 1. 列一元一次不等式解应用题的步骤 ①审：审题，找出题目中的已知量、未知量，提炼核心不等关系； ②设：设未知数，一般直接设所求量，特殊情况可间接设（不写范围）； ③列：根据不等关系列出一元一次不等式； ④解：求解不等式的解集； ⑤验：结合实际意义筛选有效解（人数、物品数为正整数，长度为正数等）； ⑥答：规范写出答案。 2. 常见不等关系关键词 · 至少、不少于、不低于：≥ · 至多、不大于、不超过：≤ · 大于、超过、多出：> · 小于、不足、少于：< 3. 各类应用模型核心不等关系 （1）行程问题：路程、速度、时间之间的不等约束，如时间不足、路程超出、速度限制； （2）经济问题：利润、成本、售价的不等关系，如利润不低于、成本不超过； （3）分配问题：物资分配、人员分配的盈亏不等关系； （4）阶梯收费问题：分段计费，总费用对应不同区间取值； （5）几何问题：利用三角形三边关系、周长、面积公式列不等关系。 04 题型•汇总 【题型1 一元一次不等式组的定义】 解题技巧 四步判定法（全部满足才是）：①由两个及以上不等式组成；②所有不等式只含同一个未知数；③未知数最高次数为1；④所有式子均为整式不等式。 易错规避：含多个未知数、未知数在分母、高次未知数、等式与不等式混合的式子，均不是一元一次不等式组。 【典例1】．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【变式3】．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【题型2 求不等式组的解集】 解题技巧 1. 分步求解：先单独解每一个不等式，再结合数轴或口诀找公共部分； 2. 口诀速判：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了； 3. 含等号处理：端点有等号保留、无等号舍弃，公共部分需同时满足所有不等式； 4. 无解判定：两个解集无重叠区域，直接判定不等式组无解。 【典例2】．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式1】．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【变式2】．解不等式组 解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： 所以原不等式组的解集为 ． 【变式3】．解一元一次不等式组： (1) (2) 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 解题技巧 1. 先求完整解集，再根据端点虚实筛选数值； 2. 严格区分取值类型：整数解（含正负、0）、正整数解（不含0）、非负整数解（0和正数）； 3. 临界取值：解集为小数区间时，只取区间内整数，不触碰边界外数值，杜绝漏解、多解。 【典例3】．不等式组的整数解的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．不等式组的整数解是________． 【变式2】．求不等式组的整数解． 【变式3】．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】 解题技巧 1. 先解含参数不等式，化为最简解集形式； 2. 结合已知解集，对比取值范围，确定参数大小关系； 3. 重点验证端点值能否取等号（高频易错），可代入端点验证是否符合题意； 4. 口诀辅助：解集一致看范围，公共区间定参数，端点取舍必验证。 【典例4】．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2025 【变式1】．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如果不等式组无解，的取值可以是_____（写一个符合要求的即可）． 【变式3】．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 【题型5 由不等式组解集的情况求参数】 解题技巧 1. 有解问题：两个不等式解集存在公共部分，列出参数不等关系； 2. 无解问题：两个解集无公共部分，满足“大大小小”特征； 3. 整数解限定问题：先写出基础整数解，反向锁定参数临界区间，逐一验证端点； 4. 核心原则：先定范围，再验等号，分类讨论不遗漏。 【典例5】．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有2个整数解，那么a的取值范围是；乙：如果此不等式组无解，那么．其中下列判断正确的是（     ）． A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 【变式2】．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 【变式3】．关于的一元一次不等式组的解为，则的取值范围为________． 【题型6 不等式组和方程组结合的问题】 解题技巧 1. 先解方程组：用参数表示出方程组的未知数解； 2. 代入不等关系：将解代入题目给定的不等式（组）； 3. 求解参数不等式，得到参数范围； 4. 特殊题型：解为正数、负数、整数时，额外增加对应约束条件，精准筛选范围。 【典例6】．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【变式3】．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【题型7 列一元一次不等式组】 解题技巧 1. 找多重约束：题目存在两个及以上不等条件，需分别列式； 2. 抓关键词：根据至少、至多、不超过、不足、不少于等关键词转化不等号； 3. 统一未知数：所有不等式使用同一个未知数，保证式子规范； 4. 规避错漏：不遗漏任何一条约束条件，避免少列不等式。 【典例7】．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【变式3】．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【题型8 不等式组的行程问题】 解题技巧 1. 核心公式：路程=速度×时间； 2. 常见不等场景：规定时间内未走完、提前到达、速度受限、路程超出范围； 3. 列式关键：根据“时间不足、速度不够、路程受限”等描述转化不等关系； 4. 实际约束：速度、时间均为正数，结果需符合实际意义。 【典例8】．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【变式1】．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【变式2】．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【变式3】．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【题型9 不等式组的经济问题】 解题技巧 1. 核心公式：利润=（售价-进价）×销量； 2. 常见约束：利润不低于定值、成本不超预算、售价有上下限； 3. 解题步骤：设售价/销量→表示利润→根据利润、成本约束列不等式（组）→求解取值范围； 4. 结果取舍：定价、销量一般为正数，整数题型需取整。 【典例9】．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【变式3】．3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【题型10 不等式组的分配问题】 解题技巧 1. 核心等量关系：总数量=单份数量×份数±剩余/不足量； 2. 不等关系提炼：分配后有剩余→总量＞单份×份数；分配后不足→总量＜单份×份数； 3. 双约束列式：同时满足剩余和不足的区间约束，列不等式组； 4. 取值要求：份数、物资数量均为正整数。 【典例10】．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【变式2】．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本． 【变式3】．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【题型11 不等式组的方案选择问题】 解题技巧 1. 设未知数：设方案中核心变量（采购数量、车辆数等）； 2. 列不等式组：根据总数量、总费用、限制条件列出所有约束； 3. 求整数解：筛选符合条件的所有整数解，对应不同方案； 4. 最优选择：对比各方案成本、效率，选出最值方案（最省钱、最省时等）。 【典例11】．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【变式2】．班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 【变式3】．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过2900元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机每架一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 【题型12 不等式组的阶梯收费问题】 解题技巧 1. 分段梳理：明确每一段的计费标准、区间范围； 2. 区间判断：根据总费用先判断用量所在区间； 3. 列式计算：结合分段公式列不等式（组），求解用量范围； 4. 易错规避：不跨段计算，区间端点计费标准区分清晰。 【典例12】．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【变式2】．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式3】．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【题型13 一元一次不等式组的其他应用】 解题技巧 1. 抓核心变量：锁定题目中变化的核心未知量； 2. 套公式模型：结合对应题型公式（增长率、浓度、工程总量）； 3. 转化不等关系：根据“不低于、不超过、达标、合格”等约束列式； 4. 结合实际取舍结果，排除无意义数值。 【典例13】．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为公斤，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在我们的平常生活中，药品是每个家庭常备用品之一，如图是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则的取值范围为_____． 【变式3】．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为______． 【题型14 列一元一次不等式】 解题技巧 1. 步骤：审题意→找不等关键词→定不等关系→规范列式； 2. 核心：只有一组不等约束，无需列不等式组； 3. 易错点：区分大于、大于等于，严格对应题干表述，不随意增减等号。 【典例14】．用不等式表示x的2倍与3的差不大于8，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】．《中国居民膳食指南（2022）》建议，青少年每人每天糖的摄入量不超过25克，则青少年每天摄入糖的质量x克应满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．用不等式表示“的一半与5的差小于3”；______ 【变式3】．学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元．辞典每本40元，现已购买名著20套，设购买辞典本，根据题意，可列出关于的不等式为______． 【题型15 用一元一次不等式解决实际问题】 解题技巧 1. 严格遵循审题、设元、列式、求解、验根、作答六步骤； 2. 重点验根：解集必须符合实际场景，人数、个数、次数等必须为正整数； 3. 最值求解：实际问题中常求最值，结合解集临界值确定答案。 【典例15】．阅读与理解 已知某景区门票票价为元/人，春节期间，为了给假期出行的游客提供优惠，景区给出了如下优惠方案： 游客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 人以下（含人）没有优惠； 团购：超过人，其中人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有名学生游客买票，则总票款为 元； (2)若有名非学生游客采用团购方式买票，请用含的式子表示总票款； (3)一个旅游团共有名游客，其中非学生游客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该旅游团游客总票款为元，请问旅游团有学生游客多少人？ 【变式1】．随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产.无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、高效，能更加均匀、节约农药使用等优势，因此受到了广大农户的欢迎.某公司目前有两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架款植保无人机和2架款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架款植保无人机和3架款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒． (1)问，两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ (2)该公司计划再购进，两款无人机共15架，要求这批无人机每小时喷洒的总面积不低于1400亩，请问至少要购进款无人机多少架？ 【变式2】．长沙作为历史文化名城，为了弘扬湖湘文化，推动文旅融合发展，某景区计划采购一批特色文化产品布置主题展馆．景区内的两个展馆采购情况如表： 湘绣（件） 铜官窑瓷器（件） 总费用（元） 展馆 展馆 (1)求湘绣和铜官窑瓷器每件各是多少元； (2)景区准备再采购湘绣和铜官窑瓷器共件，总费用不超过元，且采购铜官窑瓷器的数量不少于湘绣的数量的，景区有几种采购方案？请你设计出来． 【变式3】．某超市在“五一”期间，计划将内江黑猪肉中的精品五花肉作为惠民商品，同时带动普通后腿肉的销售．经测算：购买1斤精品五花肉和2斤普通后腿肉共需47元，且精品五花肉的单价比普通后腿肉的单价高11元． (1)求普通后腿肉和精品五花肉的单价； (2)该超市计划购进两种猪肉共1000斤，且总采购费用不超过20800元．超市希望尽可能多地采购精品五花肉．问最多可购进精品五花肉多少斤？ 【题型16 用一元一次不等式解决几何问题】 解题技巧 1. 核心公式：熟练运用周长、面积公式，重点掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； 2. 列式依据：根据边长为正、周长/面积的取值约束列不等式； 3. 取值约束：几何边长必须为正数，严格筛选有效取值范围； 4. 综合题型：多条件几何问题可列不等式组求解。 【典例16】．如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【变式1】．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【变式2】．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【变式3】．如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 05 过关•检测 1．下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．按照如下程序，输入的值并计算.规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A．23 B．15 C．12 D．10 4．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式组，下列说法不正确的是（     ） A．若不等式组的解集是，则 B．若不是不等式组的一个解，那么 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组无解，则 6．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 7．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 8．若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．2026年3月23日是第66个“世界气象日”，某校组织600名师生前往城市气象科技馆开展“测今日气象，护明日家园”主题实践活动，计划租用30座和45座两种客车（两种客车都要租），要求每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（     ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 10．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 11．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 12．已知关于、的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为______． 13．关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 14．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 15．已知整数使得关于、的二元一次方程组的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则所有满足条件的的和为__________． 16．我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若，则．例如，⋯下列结论中：①；②当m为非负整数时，；③满足的非负数x只有两个．其中结论正确的是_________．（填序号） 17．材料阅读：对非负数“四舍五入”到个位的值记为． 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：①______． ②如果，求的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． (3)请直接写出满足的所有非负数的值：______． (4)若为正整数，求证：． 18．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 19．定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． (1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． (2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； (3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 20．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 21．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 22．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 23．蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 24．请根据素材，解决任务1与任务2、任务3． 背景 为落实省教育厅“双减”政策，丰富学校课后服务内容，彰显学校体育特色． 素材1 实验初中为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元． 素材2 已知A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元， 问题解决： (1)任务1：求两种品牌排球的单价 (2)任务2：根据需要，学校决定再次购进两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ (3)任务3：商场搞促销，A种品牌排球每个优惠元（为整数），B种品牌价格不变．学校仍计划购买A、B两种排球共50个，且总花费不超过3100元，购买的A种品牌排球不少于20个．若要求购买方案恰好有5种，求整数的值． 25．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”的方式以达到节水的目的，收费标准如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ (1)某居民用户9月份用水9，应缴水费　　　元； (2)某居民用户10月份缴水费44元，求该用户10月份的用水量； (3)若用户11月份、12月份共用水18（12月份用水量超过11月份用水量），设11月份用水，求该户居民11月份、12月份两个月共交水费多少元？（用含a的代数式表示） 26．已知数轴上的两点所表示的数分别是和． (1)如图（1），点在点的右边，，若，请直接写出点、点表示的数． (2)如图（2），在（1）的条件下，点在点处以每秒2个单位长度向右运动，点在点处以每秒3个单位长度向左运动，点、点同时运动，请问当时，求点，点运动了多少秒？ (3)拓展应用：如图（3）有两列玩具车，甲车长为3个单位长度，乙车长为5个单位长度，甲车头在数轴上表示的数是，乙车头在数轴上表示的数是16．若甲车以每秒2个单位长度向右行驶，同时乙车以每秒1个单位长度向左匀速行驶，两车同时运动，点位于中点，小渝发现行驶中有一段时间，总共有秒钟，到两车头、的距离和加上到两车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为小渝发现的这一结论是否正确？若正确，直接写出的值及的定值；若不正确，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $