专题03 解三角形中的最值问题全归纳（思维导图+2知识点+4大题型+综合通关）（暑假复习讲义）新高二数学人教A版

专题03 解三角形中的最值问题全归纳 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 与三角形（多边形）面积有关 题型02 与三角形周长有关 题型03 与三角形边长有关 题型04 与角度有关 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 三角形面积的最值、范围 2. 周长、边的最值、范围 1. 三角形面积、周长、边的最值：常利用基本不等式 2. 三角形面积、周长、边的范围：常利用三角函数，注意锐角或者钝角三角形条件 考情解码： 掌握考查的本质是基本不等式和函数单调性的内容，边角互化是写题的技巧 知识点一 三角形面积 1、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 2、基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) 3、利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 4、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 【易错提醒】 解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用） （1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的关系. （2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. （3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 即时即练 1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式和余弦定理，余弦函数的图象即可求得答案； （2）先由（1）的结论和基本不等式推出，利用三角形面积公式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）由（1）得，即， 当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，面积的最大值为． 2．在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解； （2）设的外接圆半径为，得到，再由求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，则， 因为， 所以，又，则， 所以. （2）设的外接圆半径为，则， 所以， ， ， ， ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 则， 则， 所以， 所以的面积范围. 知识点二 三角形周长、边长 1、求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 2、求周长的模型 即时即练 1．（25-26高一下·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用两角和差的正弦公式化简得到，从而求出，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 2．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得周长的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 3．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据正弦定理，将角度化为边，得到三边关系，再利用余弦定理计算角A的值即可； (2)由(1)可知角A的值，故利用正弦定理边角互化将边转化为角，利用三角函数的性质计算范围； 【详解】（1）解：由正弦定理可知：（为三角形外接圆的半径）， 故，，； 代入， 可得． 因为，所以，， 即，即； 因为，所以． （2）由（1）知，，则， 故； 因为，根据正弦定理可知： ． 在锐角三角形中，由解得， 所以，， ，即的取值范围为． 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小； （2）先根据余弦定理及，求出，再根据三角形面积公式求解 （3）利用正弦定理，结合将边转化为角，再由锐角三角形求出的范围，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理有 即 展开化简得, ，，，，, , ，. （2）由（1）可知，， 由余弦定理：得， 又，，即，联立 解得，所以. （3）由正弦定理， ∴. ∴ . ∵为锐角三角形，， 可得 ，解得：， ∴，∴ ∴，∴， ∴的范围是. 题型01 与三角形（多边形）面积有关 1．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) （ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）通过正弦定理边化角结合三角恒等变换求角A； （2）（ⅰ）结合面积公式和余弦定理列方程组求解边长；（ⅱ）借助余弦定理和基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）由正弦定理将已知等式边化角得： ， 代入， 消去得： . 因为，两边同除以得， 用辅助角公式化简为， 即 又，故，解得. （2）（ⅰ）已知，， 代入得： ，解得 . 由余弦定理， 代入数据得， 将代入得 ， 联立得，故. （ⅱ）由余弦定理得，由基本不等式得： ，当且仅当时取等号， 则，故面积最大值为. 2．（25-26高一下·山东济宁·期中）中，角所对的边分别为，若 (1)求的值； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)2. (2)证明见解析 (3)6． 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可化简求解， （2）利用余弦定理得，即可结合求证， （3）由和面积公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得 因为，所以，故 即， 由于不能为0，故，所以的值为2. （2）由余弦定理得 所以． 因为，所以， 所以，即， 所以． （3）因为，所以， 又，所以， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，所以面积的最大值为6． 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，求的长； (3)若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件化简等式求出，结合三角形的内角求出； （2）根据已知条件求出相关边、角，再利用余弦定理求解； （3）根据余弦定理和三角形面积公式，结合正弦函数的性质求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， ， ， ， 又， ． （2）由得，为等边三角形， ， 由，得， ， 在中，已知， 由余弦定理：， 则， ． （3）在中，， ， ， ， ， ． 4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 5．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）应用周长结合余弦定理及之间的关系计算求解边长.（2）（ⅰ）利用三角形面积公式以及余弦定理求解出的值，由此可求的值；（ⅱ）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系. 【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得， 将代入上式解得，所以， 则. （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又，所以， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 【易错警示】 解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用） （1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的关系. （2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. （3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 题型02 与三角形周长有关 1．（25-26高一下·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用两角和差的正弦公式化简得到，从而求出，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 2．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得周长的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 3．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知的内角所对边分别为，，． (1)求的外接圆的周长． (2)若为锐角三角形，求ΔABC周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角关系化简已知等式，结合正弦定理求角，再利用正弦定理求外接圆周长； （2）利用正弦定理列出周长表达式，利用三角形是锐角三角形求出的取值范围，进而求出周长的取值范围． 【详解】（1）由，得，， 故，， 可化为， 由正弦定理，则， 在中，，则，由二倍角公式得， ，则，， ，则，． 由正弦定理，故， 外接圆周长． （2）的周长，由，结合正弦定理得， ， ,则 ， 是锐角三角形，则三个内角均小于， ，解得， ，， 故， ． 4．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）如图，某公园有一块等腰梯形形状的空地，其中长为200m，长为50m.该公园拟在空地中间用栅栏围一块三角形区域种植花卉，其中分别在边上，且. (1)证明：的长为定值； (2)求周长的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)m. 【分析】（1）利用正弦定理分别求出，即可得出结论； （2）在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】（1）因为四边形为等腰梯形，则， 在中，，则， 由正弦定理可得，则， 同理可得， 又， 所以， 即的长为定值； （2）在中，， 由余弦定理可得 ， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最小值为. 5．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 题型03 与三角形边长有关 1．在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 2．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）已知的内角A，B，C所对的边为a，b，c，向量，，且； (1)求角A； (2)若，，求c； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合正弦定理建立方程，求解角． （2）已知两边及夹角，直接利用余弦定理求第三边． （3）利用正弦定理将表示成关于角的函数，再求出函数的取值范围即可． 【详解】（1）且，． 由正弦定理，得， 代入上式得， ，又，. （2）在中，由余弦定理：． 又，代入上式得， 或（舍去）． （3）在中，， 由正弦定理得． ． 又，． ． ，， ． 即的取值范围为. 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简计算求解； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合题意可得，根据正切函数性质计算求解. 【详解】（1）可化为， 由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以，即的取值范围为. 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小； （2）先根据余弦定理及，求出，再根据三角形面积公式求解 （3）利用正弦定理，结合将边转化为角，再由锐角三角形求出的范围，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理有 即 展开化简得, ，，，，, , ，. （2）由（1）可知，， 由余弦定理：得， 又，，即，联立 解得，所以. （3）由正弦定理， ∴. ∴ . ∵为锐角三角形，， 可得 ，解得：， ∴，∴ ∴，∴， ∴的范围是. 5．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明如下： 在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）略 （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 6．已知在锐角中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先切化弦，再结合余弦定理即可求解. （2）由正弦定理将所求边的式子化为关于A的三角函数，再根据角的范围求出. （3）由正弦定理将所求边的式子化为关于A的三角函数，其中要用到辅助角公式，辅助角是一个特殊角，再根据角的范围求出. 【详解】（1）由得，所以， 又为锐角三角形，所以． 故角的大小为. （2）因为，，由正弦定理，即. 再由正弦定理得， 又因为在锐角中，，. 所以，. 所以的取值范围． （3）由（2）知，，则   不妨令. 又因为在锐角中，， ， 即. 故的取值范围为 题型04 与角度有关 1．（25-26高一下·北京·期中）在中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求出的取值范围即可得解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 所以， 又，所以为锐角， 所以. 2．（25-26高一下·河南开封·期中）在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，由余弦定理得，令，结合基本不等式求得的最小值为，利用余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】设的三个角所对的边分别为， 由， 又由， 因为，所以，即， 由余弦定理得， 令，可得， 由基本不等式，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 又由，即的最小值为，经检验满足题意. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到，进而求出的范围，再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可. 【详解】由正弦定理可知，， 又 ， 所以. 又，所以， 又，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即. 又是锐角三角形，所以， 所以，则， 所以． 又在上单调递减，所以， 所以． 故选：B. 4．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦边角关系、三角形内角和及三角恒等变换得且，从而有，结合、和角正切公式得，最后应用基本不等式求最值. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，则， 所以， 即， 所以， 由，则，而，所以， 所以角为钝角，，则角为锐角即， 此时， 由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 5．（25-26高一下·宁夏·期中）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先利用余弦定理得到，由于为锐角三角形得到，利用三角恒等变换化简得到，最后利用三角函数求解即可. 【详解】因为， ，所以； 由于为锐角三角形且，因此， 又因为 所以， 因为，所以，所以， 则. 6．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）在锐角中，，，分别是角，，的对边，且，则的最小值是______． 【答案】7 【分析】利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可． 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以，因为为锐角三角形，所以， 进一步可得，解得， 得到 ， 令，则， 所以， 由基本不等式， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为7． 1．（25-26高一下·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C (2)若c＝6．     （Ⅰ）求△ABC周长的取值范围； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）（12，18]；（Ⅱ）． 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，化简可求得，从而求得. （2）（Ⅰ）由正弦定理将的周长表示为的函数，利用正弦型函数的取值范围，可得周长的取值范围；（Ⅱ）根据余弦定理及基本不等式可得的最大值，从而求得面积的最大值． 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理得， ， 则，由，得，所以，则． （2）（Ⅰ）由正弦定理得，， 所以，. △ABC的周长， 由，得. 则， 所以的周长的取值范围为． （Ⅱ）由余弦定理得， 所以，当且仅当时等号成立. 所以， 所以面积的最大值为． 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用正弦定理将边化成角，再结合三角恒等变换进行推导. (2)利用正弦定理将表达式化为关于角的函数，再根据三角函数单调性求函数值域. 【详解】（1）证明：因为，所以由正弦定理可得， 又 ，即， 解得或(舍去)，所以. （2）因为，由正弦定理可得 ， 因为是锐角三角形，所以， ，所以， 因为在上单调递增，，， 所以. 3．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【详解】（1）由正弦定理，，，可得： ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； （2）由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 4．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 5．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角； （2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得. 【详解】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 6．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， (1)求角的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，根据角的关系，再根据锐角三角形列式求解； （2）根据正弦定理由边的关系转化为角的关系，再根据三角恒等变换转化为的二次函数求解. 【详解】（1），∴由正弦定理得， 即，为锐角三角形，,则 所以，即，， . （2）由正弦定理得 ， . 7．（25-26高一下·福建宁德·期中）已知，内角对应的边为满足: . (1)求角； (2)若，求； (3)若为锐角三角形，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换计算可求得角； （2）利用三角形的面积可求得，利用余弦定理可求得； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换可求得，结合的范围，可求得边的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得：， ∴， ∴，∵，∴， ∴，∴； （2）∵⟹，∴， 由余弦定理可得：⟹，∴. ∵，∴. （3）解法一：由正弦定理可得：，∴， ∵，∴. ∴， ∵为锐角三角形        ∴可得：，∴，∴，∴. 故的取值范围为. 解法二：由余弦定理可得：⟹ ， ∵为锐角三角形，所以，又， ∴可得：，∴解得：， ∴，故的取值范围为. 8．（25-26高一下·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. (2) （i）或；（ii）. 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到 ，再求解即可. （2）（i）根据三角形面积公式求出，再余弦定理求出. （ii）根据（i）得到，再根据余弦定理得到，结合等腰三角形以及锐角三角形求出的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. 9．（25-26高一下·陕西安康·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，，求的值； (2)求的值； (3)若为锐角三角形，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理求解； （2）根据正弦定理、余弦定理以及求出之间的关系，进而求解； （3）根据题意取出的范围，得到的范围，再由（2）将用表示，最后利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，解得， 又，即，解得，或 当时，，则，又，所以， 此时，不符合题意，舍去，所以； （2）因为，所以， 又，所以，所以， 又，所以，整理得， 因式分解得：， 若，则，又，所以， 所以， 若，则，所以； 综上所述：； （3）因为，且为锐角三角形， 所以，解得，所以， 由正弦定理及得， 由（2）知，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 又，满足，所以的最小值为. 10．（25-26高一下·山东临沂·期中）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，． (1)若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且； ①求的长； ②若，求的值． (2)若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据已知条件，利用余弦定理和三角形面积公式求解；②建立坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出向量的数量积； （2）利用余弦定理和三角形面积公式，结合两角和的余弦公式及三角函数的性质求面积最大值． 【详解】（1）①中，已知，由余弦定理得： ，则， ， 由题意知，在中，， 由，解得， ，， 由凸四边形性质，，故，则， 由余弦定理得：， 故． ②以为坐标原点建立平面直角坐标系如图， 则，则， ，， ， ． （2）四边形的面积， 则， 在中，由余弦定理得： ， ， 在中，由余弦定理得： ， ，化简得， ，即， ， 当且仅当，即时，取等， 则，故． 11．（25-26高一下·山东·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． (1)求的值． (2)若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)通过三角形面积公式与余弦定理化简求出. （2）①通过正弦定理转换后进行化简求出只与有关的三角函数并求出范围.②通过①求得的比值表示出的范围后，利用余弦定理求出相对应的的范围并求出周长范围. 【详解】（1）因为， ， 根据余弦定理得，即， ，又因为， 所以，解得或，但是， 所以. （2）①因为，所以， 根据正弦定理. 因为为锐角三角形．，且单调递减，单调递增， 所以， 因此. ②因为，所以， 因为， 所以，且在时单调递增， 所以， 因为周长，所以. 12．已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以. 即的面积为. （2）设， 在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以， 在中，,, 由正弦定理，所以， 所以， 所以，化简得， 所以， 因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即. 所以的取值范围为. 13．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形中的最值问题全归纳 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 与三角形（多边形）面积有关 题型02 与三角形周长有关 题型03 与三角形边长有关 题型04 与角度有关 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 三角形面积的最值、范围 2. 周长、边的最值、范围 1. 三角形面积、周长、边的最值：常利用基本不等式 2. 三角形面积、周长、边的范围：常利用三角函数，注意锐角或者钝角三角形条件 考情解码： 掌握考查的本质是基本不等式和函数单调性的内容，边角互化是写题的技巧 知识点一 三角形面积 1、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 2、基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) 3、利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 4、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 【易错提醒】 解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用） （1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的关系. （2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. （3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 即时即练 1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 2．在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积范围. 知识点二 三角形周长、边长 1、求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 2、求周长的模型 即时即练 1．（25-26高一下·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 2．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 3．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求的取值范围． 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 题型01 与三角形（多边形）面积有关 1．（25-26高一下·浙江绍兴·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 2．（25-26高一下·山东济宁·期中）中，角所对的边分别为，若 (1)求的值； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，求的长； (3)若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 4．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 5．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【易错警示】 解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用） （1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的关系. （2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. （3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 题型02 与三角形周长有关 1．（25-26高一下·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 2．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 3．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知的内角所对边分别为，，． (1)求的外接圆的周长． (2)若为锐角三角形，求ΔABC周长的取值范围． 4．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）如图，某公园有一块等腰梯形形状的空地，其中长为200m，长为50m.该公园拟在空地中间用栅栏围一块三角形区域种植花卉，其中分别在边上，且. (1)证明：的长为定值； (2)求周长的最小值. 5．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 题型03 与三角形边长有关 1．在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 2．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）已知的内角A，B，C所对的边为a，b，c，向量，，且； (1)求角A； (2)若，，求c； (3)若，求的取值范围． 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 4．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 5．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 6．已知在锐角中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 题型04 与角度有关 1．（25-26高一下·北京·期中）在中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南开封·期中）在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·宁夏·期中）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 6．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）在锐角中，，，分别是角，，的对边，且，则的最小值是______． 1．（25-26高一下·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C (2)若c＝6．     （Ⅰ）求△ABC周长的取值范围； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值． 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 3．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 4．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 5．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 6．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， (1)求角的取值范围； (2)求的取值范围. 7．（25-26高一下·福建宁德·期中）已知，内角对应的边为满足: . (1)求角； (2)若，求； (3)若为锐角三角形，求边的取值范围. 8．（25-26高一下·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 9．（25-26高一下·陕西安康·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，，求的值； (2)求的值； (3)若为锐角三角形，且，求的最小值. 10．（25-26高一下·山东临沂·期中）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，． (1)若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且； ①求的长； ②若，求的值． (2)若，求四边形面积的最大值． 11．（25-26高一下·山东·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． (1)求的值． (2)若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 12．已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 13．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $