专题03 空间向量基本定理（2知识点+五大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 空间向量基本定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。 2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 【题型01：空间向量基底的概念及辨析】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解. 【详解】由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故A错误； 对于B，因为非零向量，，两两垂直，所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误； 对于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高二下·河北保定·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 4．（18-19高二上·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断选项中的向量是否与共面即可，如果不共面就符合题意. 【详解】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A； 对于选项B，，故共面，排除B； 对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D． 对于C，，向量，而不与共面，故C正确. 故选：C. 5．（24-25高二上·吉林·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的定义逐项判断即可求解. 【详解】对于A选项，有，所以共面； 对于B选项，有，所以共面； 对于C选项，假设共面，则有， 即，由此有、、共面，与已知条件矛盾， 所以不共面； 对于D选项，，所以共面. 故选：C 【题型02：用基底表示向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 3．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 4．（24-25高二下·广东·阶段练习）在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为的重心，得，根据空间向量的运算法则即可求解. 【详解】依题意， ， 故选：A. 5．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 【题型03：空间向量基本定理中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南·期中）在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】如图， ， 又， 所以，则. 故选：C 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 3．（24-25高二上·陕西·阶段练习）已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 依题意可得 ， 因为，所以，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 5．（24-25高二上·重庆·期中）在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用四点共面定理可知，若四点共面，则可用表示，且系数和为1，通过条件表示向量，可得的关系，代入计算可得结果. 【详解】连结并延长交于，因为为重心，则为中点， ， ， 四点共面，则，即， 因为，所以，解得：， ，，， 即， 故选：A    【点睛】知识点点睛：若四点共面，且面外一点，则可用表示且系数和为1. 【题型04：利用空间向量基本定理证明线线平行、垂直位置关系】 一、解答题 1．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.    (1)用，，表示向量； (2)在线段上存在一点，且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得结果； （2）利用垂直关系的向量表示，可得，即可求得. 【详解】（1）易知； （2）易知，又； 所以； 不妨取， 可得 ， 即可得， 所以. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：    (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与可得证. 【详解】（1）证明：由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面． （2）证明：由，，， 得 ， ． （3）证明：由（2）知， 所以 ， ． 3．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体中，M，N分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的数量积为0可得答案. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，如图， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， , 若，则，即， 所以， 即，又， 所以，即，所以， 即时，. 4．（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 【答案】(1)， (2)基底向量见解析，证明见解析 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）利用空间向量的线性运算得到，，进而利用线面平行与面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）因为，点是侧面的中心， 所以， . （2）以为基底， 则， ， ，， 所以，， 则，， 又平面平面平面. 同理平面，又平面， 所以平面平面. 【题型05：空间向量的正交分解】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1. 【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又为一组单位正交基底， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 二、多选题 3．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】A.根据均为单位向量且两两垂直判断；B.利用基底的定义判断；C.利用数量积的运算律求解判断；D.利用基底的定义判断. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确． 因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误． ，C正确． 因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确． 故选：ACD 三、填空题 4．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 【答案】4 【分析】变形得到，从而得到方程组，求出答案. 【详解】， 又，所以， 故. 故答案为：4 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【分析】根据空间向量基底的意义表示向量，再借助相等向量列出方程组求解即得. 【详解】设， 依题意，，而空间的基底， 则，解得， 所以． 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性关系即可求解. 【详解】, 故选：C 2．（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 3．（24-25高二上·山东潍坊·期末）如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 4．（24-25高二上·山西晋中·期末）在三棱柱中，，，，为平行四边形对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则计算可得结果. 【详解】如下图所示： 易知 . 故选：C 5．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则 则， 则空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D. 6．（24-25高二上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】推导出，由题意可得，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，即可得解. 【详解】因为为的中点， 则， 由题意可得，则， 所以，，则， 故，，. 故选：D. 7．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 8．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此A错误； 对于B，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此B错误； 对于C，假定向量，，共面，则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，因此C正确； 对于D，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此D错误； 故选：C． 9．（23-24高二上·河北保定·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得存在实数，使，表示出，根据系数对应相等列方程求解. 【详解】由平行六面体的特征可得 设，则， 可得， 又 由四点共面可得存在实数，使 所以， 所以，解得. 故选：B. 二、多选题 10．（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可. 【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确； 对B，设，其中， 则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确； 对C，显然不存在实数使得成立， 则能构成空间向量的一组基，故C正确； 对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高二上·广东·期末）已知点分别为正方体中平面和平面的中心，则（    ） A．对于任意的，均有共面 B．对于任意的，使得 C．存在，使得共面 D．不存在使得 【答案】AC 【分析】根据空间向量共面定理判断AC，根据空间向量基本定理求得值判断BD． 【详解】对于A，正方体中，，四边形为平行四边形，，都在平面内， 所以对于任意的，都有共面，故A正确； 对于，故，故B错误； 对于，则时，共面，故C正确； 对于D，，得，故D错误． 故选：AC．    三、填空题 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 【答案】 【分析】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】取中点N，连接， 又 ，. 故答案为：. 14．（23-24高二上·湖北武汉·期中）设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量 ． 【答案】 【分析】设，从而根据列出方程组，求出，求出答案. 【详解】设， 则， 故，解得：，故 故答案为： 15．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则 . 【答案】/0.5 【分析】由两边同时平方计算可得答案． 【详解】如图，两条异面直线，所成的角为， ，，，，， 或，， ， 则 ， 得或（舍去） 故答案为： 16．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【答案】4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 四、解答题 17．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及线性运算可得，可得从而证得； （2）由向量的线性运算可得，，再根据异面直线与所成角的余弦值的公式求解即可. 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的线性运算即可求解. （2）待定系数并结合向量线性运算即可证明向量，，共面，从而得证. 【详解】（1）因为，分别为棱，的中点，所以， . （2）因为，所以， 因为，所以， 设，所以由（1）可知， 解得，，， 向量，，共面，又平面， 所以平面. 19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 20．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形ABCD和ABEF中， ， 记． (1)当时，求MN与AE夹角的余弦值； (2)是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）利用空间向量的数量积求夹角即可； （2）利用空间向量证明线面垂直即可. 【详解】（1）, 在矩形ABEF中,易知， ， 当时，, , , . 故MN与AE夹角的余弦值. （2）若平面ABCD， 平面ABCD， . 则显然成立， 又，即， 解得,满足题意. 故存在，使得平面ABCD. 5 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量基本定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点02：空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。 2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 【题型01：空间向量基底的概念及辨析】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 2．（24-25高二下·河北保定·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（18-19高二上·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【题型02：用基底表示向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高二下·广东·阶段练习）在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型03：空间向量基本定理中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南·期中）在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 3．（24-25高二上·陕西·阶段练习）已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·期中）在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 【题型04：利用空间向量基本定理证明线线平行、垂直位置关系】 一、解答题 1．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点.    (1)用，，表示向量； (2)在线段上存在一点，且，求证：. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：    (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)． 3．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体中，M，N分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 4．（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 【题型05：空间向量的正交分解】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 三、填空题 4．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 一、单选题 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东潍坊·期末）如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西晋中·期末）在三棱柱中，，，，为平行四边形对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（23-24高二上·河北保定·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·广东·期末）已知点分别为正方体中平面和平面的中心，则（    ） A．对于任意的，均有共面 B．对于任意的，使得 C．存在，使得共面 D．不存在使得 三、填空题 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 13．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 14．（23-24高二上·湖北武汉·期中）设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量 ． 15．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则 . 16．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 四、解答题 17．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 18．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 20．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形ABCD和ABEF中， ， 记． (1)当时，求MN与AE夹角的余弦值； (2)是否存在使得平面ABCD？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$