第19章 二次根式（大单元教学设计）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的概念、性质与运算，通过生活情境（如登高望远、刹车距离）导入，前承平方根、整式、分式，后启勾股定理等，构建“数与代数”领域的运算工具支架。 该设计以“概念→性质→运算→应用”为主线，通过类比整式强化运算一致性，错例辨析培养逻辑推理，情境问题渗透模型意识，如刹车距离问题转化为根式运算。过程性评价与错题档案助力精准教学，提升学生运算能力与严谨思维，为教师提供系统化教学支持。

第十九章 二次根式 大单元教学设计 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 1. 知识链条定位 “数与代数” 领域关键枢纽 前承：七年级平方根、算术平方根、实数、整式加减乘除、分式. 本章：完成实数范围内代数式运算最后一块拼图（整式 — 分式 — 二次根式）. 后启：勾股定理、一元二次方程、解直角三角形、二次函数、圆的计算. 结论：二次根式是初中代数运算的 “必备工具层”，缺失则后续几何与函数学习无法展开. 2. 教材编排逻辑 概念→性质→乘除→加减→混合运算→应用 突出从具体到抽象，强调运算一致性（类比整式合并同类项）. 强化条件意识：根式有意义的约束（非负性）是本章最鲜明特征. 强调最简二次根式：统一运算结果，培养数学简洁性与规范化. 3. 教育价值 建立代数结构观：式的运算通性通法. 培养严谨推理：每一步化简都要有依据. 落实数学表达：用符号刻画现实世界中的长度、面积、比例. 新课标衔接与核心素养 （一）课标内容要求 了解二次根式、最简二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件. 掌握二次根式的性质和运算： 能进行二次根式的化简和乘除、加减运算. 能运用二次根式解决简单的实际问题，形成模型意识. （二）学业质量标准指向 能确定代数式中字母取值范围； 能依据法则进行代数运算与推理； 能将实际问题转化为数学符号表达并求解； 能自查、纠错、优化运算过程. （三）核心素养目标 数学抽象：抽象出二次根式的结构，形成符号意识. 逻辑推理：推导性质、判断取值范围、说明化简依据. 运算能力：准确、简洁、规范完成根式运算. 模型观念：用二次根式表示长度、面积、比例等现实量. 数据观念：近似计算、结果合理性检验. 学情分析 1. 认知基础（优势） 已掌握：平方根、实数、整式运算、等式与不等式基本性质. 具备初步类比迁移能力. 2. 认知障碍（痛点） 易混淆；忽视a≥0前提. 易漏：去根号不加绝对值；分母有理化不彻底. 易错：同类二次根式合并错误、运算顺序混乱. 弱：将实际问题转化为根式模型的意识弱. 3. 心理特征 八年级：抽象思维上升，但仍依赖具体、直观、对比、纠错. 对 “条件约束、分类讨论、步步有据”耐心不足，需强化规范训练. 单元教学目标 知识与技能 · 能说出二次根式定义，准确求被开方数中字母的取值范围. · 能默写并运用四条核心性质进行化简与说理. · 能识别最简二次根式，熟练进行乘、除、加、减及混合运算. · 能解决与长度、面积、折叠、勾股相关的简单实际问题. 数学思考 · 经历 “实例→抽象→符号→性质→运算” 过程，发展代数抽象. · 通过性质推导与错例辨析，发展演绎推理与批判性思维. · 类比整式、分式，建立代数式运算一致性结构认知. 问题解决 · 能将实际问题抽象为根式模型，选择合理方法求解并检验. · 能规范书写运算步骤，进行自我检查与错误归因. · 能合作交流，清晰表达推理过程与运算思路. 情感态度 · 感受数学符号的简洁美、统一美，提升代数学习兴趣. · 养成先定条件、再运算、最后化简的严谨习惯. · 在探究与纠错中获得成就感，增强数学学习自信. 学习活动设计 二次根式的概念与性质活动一 二次根式的运算活动二 学习评价设计 过程性评价 （一）评价维度与权重（单元总评） 课堂表现（20%）：参与、发言、合作、说理. 作业质量（30%）：预习、课时作业、订正、错题本. 当堂小测（30%）：每课 5 分钟，覆盖核心点与易错点. 实践任务（20%）：建模应用题、推理说理题. （二）评价工具 课堂观察量表：概念理解、推理表达、运算规范、合作参与. 作业评价量表： A 档：全对 + 步骤规范 + 最简结果 B 档：少量错误 + 已订正 C 档：概念不清 + 未订正 5 分钟小测单（每题指向一个素养点） 错题档案：错误类型 — 原因 — 修正 — 同类再练 （三）评价反馈 当堂反馈：即时纠错 周反馈：薄弱点强化 单元反馈：个性化辅导清单 终结性评价 1. 检测目标 概念：二次根式、有意义条件、最简二次根式. 运算：性质、乘除、加减、混合运算. 应用：实际问题建模、推理说理. 素养：符号意识、运算能力、推理能力、模型观念. · 优秀（90+）：概念清晰、运算熟练、推理严谨、全对极少失误. · 良好（80–89）：基础扎实，少量细节错误，能解决常规题. · 合格（60–79）：核心知识掌握，运算有疏漏，需强化规范. · 待提升（<60）：概念不清、运算薄弱，启动补弱计划. 反思性教学改进 （一）预期达成 知识结构化：学生能画出本章思维导图. 技能自动化：根式运算速度与正确率显著提升. 素养显性化：能说理、能建模、能自查、能纠错. （二）预期问题与对策 问题：学生仍忽视a≥0. 对策：口诀化+题组化+错题重复练. 问题：混合运算顺序混乱. 对策：固定步骤模板，强制分步书写. 问题：实际应用不会列式. 对策：建模 “三步法”：找量 — 列式 — 检验. （三）后续衔接改进 与勾股定理联动：长度计算必用根式. 与一元二次方程联动：根的化简必备. 与二次函数联动：定义域与最值必备. （四）教学创新优化 引入根式运算 “规范评分标准”，让学生自评互评. 建立高频错题库，循环训练，实现 “零重复错误”. 单元教学结构图 教学设计 二次根式的概念与性质活动一 · 情境引入 “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈√2hR，其中R是地球半径，约为6400km． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为800m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值； (2)已知一座山的海拔为320m，这座山到海边的最短距离为60km，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 师生活动：在教师的引导下，学生理解情境问题，合作探究，积极参与到课堂中去． 设计意图：生活中的实际案例引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活，同时引出本节课题. · 探究新知 (1)一张海报为长方形，若长是宽的3倍，面积为9 m2，则它的宽为_____m． (2)一个圆柱的体积为V，高为H，则底面半径为R=_____． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_______． 上面问题中，得到的结果分别是： 思考：这些式子分别表示什么意义？ 这些式子有什么共同特征？ 有一个数值转换器，原理如图所示，分别输入以下数字时，结果如何？ 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据. 结论推广到一般，如何用字母表示? 有一个数值转换器，原理如图所示，分别输入以下数字时，结果如何？ 归纳总结： 师生活动：教师引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1. 例2.当 a 或者x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 归纳总结： 例3.求使式子有意义的实数x的取值范围． 例4.化简： 例5.化简： 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范.重点掌握二次根式的概念，根据式子有意义求字母的取值范围.共同复述二次根式的性质，在例题的基础上强化理解. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握所学知识，同时培养学生变相思考问题的能力、运用知识解决实际问题的能力.培养学生自主学习的能力，同时通过初次尝试，发现学生在做题过程中出现的问题，引起学生对数学解题步骤的重视.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. 二次根式的运算活动二 · 情境引入 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16,其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示动摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得d=10m,f=1.2肇事汽车的车速大约是多少千米/时？ 师生活动：在教师的引导下，学生理解情境问题，合作探究二次根式的乘法运算，积极参与到课堂中去． 设计意图：生活中的实际案例引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活，同时引出本节课题. · 探究新知 计算下列各式: 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 计算下列各式: 观察两者有什么关系？ 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： 你能归纳出二次根式的除法法则吗？ 去掉分母中的根号： 观察上面各题的结果，他们有什么共同特点？ 满足如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如课本图所示的方式 ，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ 思考：满足什么条件才能截出两块正方形木板？你能用数学语言表示出来吗？ 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点? 1．定义： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式就叫做同类二次根式． 2．注意： 判断几个二次根式是否是同类二次根式时： 　　 第一步，将它们化成最简二次根式； 　　 第二步，看它们的被开方数是否相同． 师生活动：教师引导学生思考所提问题，待学生充分交流二次根式的运算后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1. 计算: 例2.比较大小： 例3.计算： 例4.把下列二次根式化成最简二次根式： 例5. 归纳总结： 判断两个二次根式是否能合并，应先把二次根式化为最简二次根式，然后判断被开方数是否相同，相同就能合并，否则不能合并． 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如： 例6.计算： 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 例7.计算： 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于二次根式计算的细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范，特别是计算完成之后为最简二次根式的形式. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握所学知识，同时培养学生变相思考问题的能力、运用知识解决实际问题的能力.培养学生自主学习的能力，同时通过初次尝试，发现学生在做题过程中出现的问题，引起学生对数学解题步骤的重视.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. · 课堂小结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1. 本节课你学到了什么？ 2. 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义? 3. 什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？ 4. 请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则. 5. 回顾整式、分式、二次根式等代数式的学习内容和学习方法，你有什么体会？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.由教师引导，学生进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化、条理化. · 当堂练习 1.下列各式中，一定是二次根式的是（   ） 2.当x取何值时，下列二次根式有意义？ 3. 4. 5.计算： 6.计算： 7.计算： 师生活动：学生做练习，教师订正答案. 设计意图：通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.通过分层练习，进一步提高学生学习兴趣，使学生的认知结构更加完善.同时强化本课的教学重点，突破教学难点. 单元作业设计 一、单选题 1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案． 【详解】A、原式，故此选项不符合题意． B、原式，故此选项不符合题意． C、是最简二次根式，故此选项符合题意． D、原式，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．下列计算正确的是（  　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式运算法则计算即可作答． 【详解】A、无意义，故该项错误，不符合题意； B、，故该项错误，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键． 4．实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B．a C． D．b 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值性质和实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由图可知：，， ． 故选：D 5．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形的面积为， 故选：． 6．当，时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，平方差公式，熟练掌握分母有理化是解题的关键．根据平方差公式进行分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：． 故选C． 7．估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小，二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简二次根式，再进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在9和10之间， 故选C． 8．若，化简的正确结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，先判断，，再根据 ，化简代数式并合并即可． 【详解】解：， ，， 故选：D． 9．当时，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质以及二次根式和分式的有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：A．当时，，故，选项错误； B．当时，，故，选项错误； C．当时，，，故，符合题意； D．当时，，分母为0，根式无意义，选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 10．当时，多项式的值为（　　） A．5 B．7 C．8 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，代数式求值．熟练掌握分母有理化，平方差公式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，分母有理化得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选：D． 二、填空题 11．化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的定义、解二元一次方程组、代数式求值，根据同类二次根式的定义得，解得，再代入求值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13．化简：将m写到根号中： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 14．比较大小： （选填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． 利用作差法可得，然后通过，，再次利用作差法比较和的大小，从而得到，即可得出答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 15．二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）先算乘法，再算减法． （2）先计算完全平方公式，再算加减法即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化可得，，再代入计算即可求解； （2）由（1）得：，，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：，6，； （2）解：由（1）得：，， ∴． 18．定义两种新运算，规定：，，其中a、b为实数且． (1)求的值； (2)求的解． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算，二次根式的混合运算，解分式方程． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义得到方程，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 方程两边同乘 ，得 ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴的解是． 19．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． （1）利用长方形的周长＝2（长+宽）即可求解； （2）将大长方形面积减去阴影面积即可求解． 【详解】（1）解：（）． 答：长方形宣传栏的周长为． （2）（）． 答：用于张贴学生作品的面积为． 20．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 21．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)正整数的最小值是10，最大值是25； (3)． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值． 【详解】（1） 故答案为：， （2） ， ，或，或， 或． ∴正整数的最小值是10，最大值是25． （3） 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 22．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值． (2)求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值等知识，化简二次根式是解题的关键． （1）分子分母同乘即可求解； （2）仿照题干中提供的材料所示的方法，把各项化简即可求解； （3）把a化简为，进而可得，原式变形为，再代入即可求值． 【详解】（1）解：； （2）解： … ； （3）解：， ∴, ∴， 即， ． 23．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小智在学校学完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如：，善于思考的小智进行了以下探索，若设，则有，，这样小智就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小智的方法探索，并解决下列问题． (1)若，当a，b，m，n均为正整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得________， ________； (2)若，当a，b，m，n均为正整数时，求a的值； (3)求出的值． 【答案】(1)， (2)64或16 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用完全平方公式展开等式右边，比较系数得出和的结果； （2）利用完全平方公式展开等式右边，比较系数得出，，再结合m，n均为正整数得出或，分两种情况代入计算即可得出结果； （3）根据二次根式的性质并结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴（a，b，m，n均为正整数）， ∴，； （2）解：， ， ，， ， ，n为正整数， 或， 当，时，； 当，时，， 的值为64或16； （3）解：∵，， ∴． 24．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，， ∵ ∴ ∴（当且仅当时，） 【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则 ∴，当且仅当，即时，有最小值2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，则的最小值是_____； (2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，，即可求得答案； （3）设，则，，，则． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值． 故答案为： （2），，即的最小值为． 根据题意，得． ∴ 将代入，得 原式 ． （3）设，则，，． ． 因为，当且仅当，即时，有最小值， 所以当时，取得最大值，最大值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $