20.1勾股定理及其应用(2)（学历案）--2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

该初中数学学历案聚焦勾股定理的实际应用，通过自主预习小测、典型问题剖析（门框、梯子、秋千模型）构建“实际问题-抽象建模-解决问题”的学习支架，涵盖直接应用与方程思想的解题步骤。 以真实情境（秋千荡出、水池芦苇等）培养数学眼光，通过双直角三角形模型（梯子滑动）发展数学思维，规范解题步骤强化数学语言表达。教师引导典例剖析，学生在分层训练中提升建模与运算能力。

20.1勾股定理及其应用（2）学历案 一、新课导航、自主预习 ★学习目标 1. 经历“实际问题→抽象建模→解决问题→反思拓展”的过程，会运用勾股定理解决生活、几何类实际问题。 2. 能将实际情境抽象为直角三角形模型，体会转化思想、方程思想，提升几何直观与数学建模能力。 3. 规范勾股定理应用题解题步骤，熟练进行根式运算、长度计算与结果取舍。 ★预习小测 1. 现有一个门框，高2m、宽1m，门框对角线上加固一根木条，求木条的长度。 2. 直角三角形两直角边长分别为0.7m、2.4m，求斜边长。 二、典型问题 典例剖析 （一）直接运用勾股定理解决实际问题 木板进门问题（门框模型） 例2一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么? 解题小结： 解决门窗、通道类通行问题，以门框、通道长宽为直角边，对角线为斜边，利用勾股定理求最长可通过长度。 梯子滑动问题（墙面梯子模型） 例3.如图一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上,此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处,底端位于地面的点B处,点B到墙面的距离BO为0.7 m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m,那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗? 分析：梯子长度不变，先后构成两个直角三角形，分别求出梯子顶端初始高度、移动后高度，作差得到下滑距离。 变式：一架5 m 长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端距墙脚3 m，若梯子顶端下滑1 m，求梯子底端滑动的距离. 解题小结： 梯子滑动问题属于双直角三角形模型，梯子为定长斜边，两次运用勾股定理计算边长变化。 （二）勾股定理+方程思想解决问题 例4.如图1是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米，如图2是秋千摆动过程示意图，其中O为秋千的绳索固定点，AC为部分地面平台，绳索OA=OB,BD⊥OA,BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，求绳索OA的长度. 解题小结： 当直角三角形边长未知、线段存在等量关系时，设未知数，结合勾股定理建立方程求解。 三、本课小结 运用勾股定理解决实际问题通用步骤： 1. 建模：把生活场景抽象为直角三角形，找准直角、直角边、斜边； 2. 列式：已知两边直接用勾股定理计算；边长未知时，结合方程思想设元求解； 3. 计算：准确完成平方、开方运算，合理取舍近似值； 4. 作答：回归实际问题，写出完整结论。 核心思想：数形结合、数学建模、方程思想。 四、技能训练 自主练兵 ★考考你的基本功（基础题） 1. 一个底部为边长6cm的正方形无盖盒子如图所示，长14cm, 宽8cm的手机能否装入盒子?为什么? 2.如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，求地面上钢缆缆的固定点A到电线杆底部点B的距离(结果保留小数点后一位). ★试试你的身手（中档题） 3.如图.有一块等腰直角三角形玻璃的一条直角边和一块长方形玻璃的长边紧靠在起.其中等腰直角三角形玻璃斜边长为62cm,长方形玻璃的宽为3cm,则长方形玻璃的面积是多少? 4.如图。有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的度与这根芦苇的长度分别是多少? 五、课后自主演练（拓展题） 1. 栅栏门高0.6m、宽0.8m，在对角顶点加加固木板，木板长度为______m。 2. 滑梯竖直高度AC=2m，水平距离BC=4m，滑梯AB的长为______m。 3. 长方形草坪拐角两直角边为3m、4m，行人走斜边“捷径”，相比原路少走多少米？（2步为1m，换算成步数） 学科网（北京）股份有限公司 $