核心素养综合测评卷(一)-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册期末复习专号升级突破大模拟（人教A版）

高中数学必修第二册 核心素养综合测评卷（一） ©数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 高 1.已知向量a=(1,-1),b=(-1,3),则a·(2a+b) ( 数学 (A)0 (B)1 (C)-1 (D)2 必 则 2.设x=, 2+i (A)1-2i (B)1+2i (C)2-i (D)2+i 3.如图1，在斜三棱柱ABC-A,B,C,中，AC 册 ⊥平面ABC1,则C,在底面ABC上的射影H必 教 在 ( ) (A)直线AB上 (B)直线BC上 A 版 (C)直线AC上 (D)△ABC内部 图1 4.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1,2,3， 4四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏， 素 甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m,再由乙猜这 个小球上的数字，记为n.如果m,n满足Im-n|≤1，那么就称甲、 合 乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是 ( 评 (A)4 (®)合 (c日 5 (D) 5.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载 了一种名为“曲池”的几何体，该几何体是上、 下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被其 D 两条半径截得的部分).现有一个如图2所示的 曲池，其中AA1,BB,CC,DD1是柱体的高，底 图2 面扇环所对的圆心角为，AD的长度为BC长度的2倍，A,=4,CD =1,则该曲池的体积为 ( (A)3T (B)4T (C)5π (D)6T 6.某商城一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况如图3 所示，下列说法正确的是 ( (A)2至3月份的收入的变化值与11至12月份的收入的变化值 相同 (B)支出最高值与支出最低值的比是3：1 (C)7至9月份的平均支出为50万元 (D)利润最高的月份是2月份 金额/万元 80 70 B 50 D 30 20 10 0 C 123456789101112月份 注：收入 支出- 利涧=收入一支出 0 图3 图4 7.如图4，在正方体ABCD-AB,C,D1中，E是BB,的中点.若AB =6,则点B到平面ACE的距离为 (A)5 (B)6 (C)36 (D)3 8.在△ABC所在的平面上存在一点P,AP=入AB+AC(入，u ∈R),则下列说法正确的是 () （A)若入+4=1，则点P的轨迹不可能经过△ABC的外心 (B)若入+A=-2,则点P的轨迹不可能经过△ABC的垂心 (C)若A+4=?,则点P的轨迹可能经过△ABC的重心 (D)若A=u,则点P的轨迹可能经过△ABC的内心 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.合肥市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试 (满分10分)，其中男生540人，女生360人.现在按性别进行分层，通 过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女 生的测试成绩，分别是6,7,7,7,8,9,10,10，样本中男生测试成绩的 平均数为7.5，则 () (A)样本中有12位男生的测试成绩 (B)样本中女生测试成绩的75%分位数是9 (C)样本中女生测试成绩的标准差为2 (D)样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75 10.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P, Q,满足PA+2P元=0，QA=2QB,记△APQ的面积为S,则下列说 法正确的是 ( (A)PB∥Cd (B)B郦=号B+子BC (C)Pi.P元>o (D)S=4 11.如图5，扇形ABC的弧长为12π，半径为62，线段AB上有一 动点M,BC上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点 的圆锥，使得AB和AC重合，则在图6的圆锥中 图5 图6 (A)圆锥的体积为216π (B)当M为AB的中点时，线段MN在底面的投影长为3√7 (C)存在M,使得MN⊥AB (D)MW=3Y30 2 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 中数学·必 12.在△ABC中，已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,A=30°，B=120°，b=5,则c= 第 13.已知一块形状为正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂 册 直的三棱柱)的实心木材ABC-AB,C1,AB=AA1=23,若将该木 材切割成一个球，则此球的半径的最大值为 教 14.航天(Spaceflight)又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航 A 天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇 版 宙空间，又称外层空间)以及地球以外天体各种活动的总称.航天活 核 动包括航天技术（又称空间技术）、空间应用和空间科学三大部分 心 为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛小张、小胡、 小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题.已知小张同学答 综 对的概率是子，小张、小胡两位同学都答错的概率是号，小胡、小郭两 测 位同学都答对的概率是。 若各同学答题正确与否互不影响，则小 卷 张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)如图7，在△ABC中，已知∠B=30°，D是BC边上 的一点，AD=5,AC=7,DC=3. (1)求△ADC的面积； (2)求边AB的长 图7 S 16.(15分)2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防 范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开 展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面 有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样 本数据的频率分布直方图如图8， (1)请估计这200位市民的平均年龄（同一组中的数据用该组 区间的中间值代替)； (2)现用分层随机抽样的方法从年龄在区间[20,30)和[70， 80)两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话 回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率 频率 组距 0.023 0.020 0.017 0.012 高中数学·必修第二册（人教A版）核心素 0.006 0.002 0.00i工 01030507090年龄/岁 20406080 图8 17.(15分)如图9，AB=(6,1),BC=(x,y),C⑦=(-2，-3)， 且BC∥AD. 综合 (1)求y与x的关系式； (2)若AC⊥BD,求x与y的值及四边形ABCD的面积， 评卷 图9 厨 18.(17分)如图10，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,P为线段 DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP,得到 四棱锥D-ABCP. (1)在DC上是否存在点E,使得AD∥平面PBE?若存在，求出 点E的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角P-AD-B的平面角的余弦值. D P 图10 19.(17分)某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该 电子产品核心系统的某个部件G由2个电子元件组成.如图11所示， 部件G是由元件A与元件B组成的串联电路，已知元件A正常工作的 概率为子，元件B正常工作的概率为子，且元件A,B工作是相迈独立的 (1)求部件G正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另 一产地的电子元件，使得部件G正常工作的概率增大.已知新增元件 正常工作的概率为p(0.8≤p<1),且四个元件工作是相互独立的 现设计以下三种方案： 方案一：新增两个元件都和元件A并联后，再与B串联； 方案二：新增两个元件都和元件B并联后，再与A串联； 高 方案三：新增两个元件，其中一个和元件A并联，另一个和元件 B并联，再将两者串联 则该公司应选择哪一个方案，可以使部件G正常工作的概率达 到最大？ 图11 数学·必修第二册（人教A版）核心素养综合测评卷( (参考答案见19~21版)数理极 当n=6时，点P可能是(3,3) 故使事件C,的概率为号的n的取值为3或5. 故选(B)(D). 11.对于(A),游戏过程中棋子出现在第1站， 即棋子向前跳出一站， 此时掷出骰子向上的点数不大于4， 其概率R==子，()正确： 6 对于(B),游戏过程中棋子出现在第2站， 即棋子向前跳出一站，再跳出一站到达第2站； 或一次跳出两站到达第2站， 其概率A=子×子+分=子，（®）错误： 对于(C),当1≤n≤98时，棋子要到第(n+1)站，有两 种情况： 2P 由第n站跳出一站到第(n+1)站，其概率为 由第(n-1)站跳出2站到第(n+1)站， 其概率为P.1, 所以P=子P.+}P(1≤n≤98)，(C)正确； 对于(D),根据(C)选项，棋子跳到第99站的概率为 P=子P+子P, 由于跳到第99站时，自动停止游戏， 则Pm=子P,所以P>Pm,(D)正确 故选(A)(C)(D) 三、填空题 12.8 ； 13. 61 1000 14. 提示： 12.由题可知，从中任意取出2粒恰好是不同色的概 率为 p=1-号- 12 13.设事件M=“1张奖券中奖”，则M=AUBUC, 因为事件A,BC两两亚斥，且P(A)=0P(B) 20 所以P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+ 161 20 =10001 故1张奖券的中奖概率为 61 000 14.315=3×3×5×7, 可得a1=3,a2=3,4=5,a4=7, 若从a1,a2,a,a4中任选2个构成两位数a,a,(i≠j, 且1≤ij≤n), 则有a1a2=33,a1a3=35,a1a4=37,2a1=33,a2a3 =35,a2a4=37,a3a1=53,a3a2=53,a3a4=57,a4a1= 73,a4a2=73,a4a3=75,共12个， 则十位数字与个位数字不相等的有35,37,35,37， 53,53,57,73,73,75,共10个， 所以a,a,的十位数字a与个位数字a,不相等的概率为 5 四、解答题 15.解：(1)设事件M为“该学生没有参与该活动” 根据题表可得P(M)=1-40+12+9+15 =1- 100 76。 6 100 2 (2)设事件W为“B,C两所高中各有1名学生没有参 与该活动”， B高中没有参与该活动的学生有3人，分别记为a, b,c,C高中没有参与该活动的学生有1人，记为d, 该试验的样本空间2={(a,b),(a,c),(a,d),(b, …参考答案 c),(b,d),(c,d)},共有6个样本点， 事件N所含的样本点为(a,d),(b,d),(c,d),共有3 个样本点， 所以P(W)=各=分 6 16.解：(1)P(X=1)=7,PX=1)=0 (2)投掷4次硬币的样本空间2为： a,a,a,a,a,a,a,b,a,a,b,aj,a,b,a,a, ib,a,a,aj,ia,a,b,b3,ia,b,a,bj,a,b,b,aj,16,6,a, a,b,a,a,b,ib,a,b,aj,ia,b,b,b3,ib,a,b,b,ib, b,a,83,16,6,b,aj,1b,6,6,63. X4=2包含的样本点有a,a,a,b},a,a,b,a},a, b,a,aj,b,a,a,aj, 所以P(光=2)==： X4=0包含的样本点有{a,a,b,b},a,b,a,b},a, b,b,aj,b,b,a,a,1b,a,a,bf,ib,a,b,aj, 所以PX=0)=名=冬， 故P(X4=0)>P(X4=2). 17.解：比赛结束时A队的得分高于B队有三种情 况： (1)A队5分B队0分，即A队四局全胜，其概率为P (号)广=品 (2)A队4分B队1分，即A队第一、二、四局中败1 局，第三局胜，其概率为P=3×号×（子）×子 8 27 (3)A队3分B队2分，包括两种情况： ①A队第三局败，其余各局胜；②A队第一、二、四局 中胜1局，第三局胜 其概率为八=（号）×号+3×号×（行）为 2 20 3 81 由互斥事件的概率加法公式可得所求概率P= 16 81 8+20-20 27+81 7 18.解：(1)由题知a∈{1,2,3,4}，be{2,4,6,8}, 所以数对(a,b)的可能取值为(1,2)，(1,4)，(1， 6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4), (3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),共16个 若函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)， 则西数代图象的对称轴为直线：=名=1，即6 =2a, 所以满足条件的样本点为(1,2)，（2,4)，（3,6)， (4,8),共4个， 所以事件A的概率P(A)= 4 =1 16 4 (2)因为a>0,所以二次函数的图象开口向上， 所以方程If(x)I=2有4个根， 即为f(x)=2和f(x)=-2各有2个根， 所以二次函数f代x)=ax2-bx-1的最小值小于-2. 所以-4aB<-2,即公2>4a 4a 满足条件的样本点为(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)， (2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共 11个， 所以事件B的概率P(B)）= 19.解：(1)(i)由题知P(A1)=2a(1-a)= 3 8 PR,)=B=合 B= 解得=3 3 (i)由(i)知P(4,)=d=6,P(B,)=2p1- 19 4 B) 9 记事件A=“甲、乙两次解密过程中一共解开密码 三次”， 则A=AB2+A2B1, 又AB2与AB,互斥，A1与B2,A2与B,分别相互独立， 所以P(A)=P(AB2)+P(AB) =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的 概率为品 (2)由题知+合=3，所以&+B=38, B P(A1)=2a(1-a),P(A2)=a2,P(B1)=2B(1- B),P(B2)=B, 记事件A=“甲、乙两次解密过程中一共解开密码 三次”， 则A=AB2+A2B1, 又AB2与A,B,互斥，A1与B2,A2与B,分别相互独立， 所以P(A)=P(AB2)+P(A2B) =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) =2a(1-a)B+2B(1-B)a =2aB(a+B-2aB)=2(aB)2, 因为a+B=3aB≥20，所以g≥号，当且仅当 &=B=子时等号成立，此时a取最小值号， 所以P()=2(4g)2取最小值号 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率 最小值为品 高中数学必修第二册核心素养综合测评卷（一） 一、单项选择题 1~4 ABAD 5~8 BABD 提示： 1.a·(2a+b)=(1,-1)·(1,1)=1-1=0. 2.z= 2=2=1-2， 1+2+ 1 所以z=1+2i. 3.因为AC⊥平面ABC1,又ACC平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ABC1,且交线是AB. 故平面ABC1上的点C,在底面ABC上的射影H必在 交线AB上 4.根据题意，m,n的情况如下：(1,1)，(1,2)，(1， 3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共有16种 情况， 其中m,n满足1m-nl≤1的情况如下： (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3, 3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况， 所以两人心领神会“的质率是碧 =5 5.不妨设AD所在圆的半径为R,BC所在圆的半径为 r,由AD的长度为BC长度的2倍， 可知R=2r,又CD=R-r=1, 所以r=1,R=2, 故该曲池的体积V=牙(R-户)×4=4m 6.2至3月份的收人的变化值为60-80=-20（万 元)，11至12月份的收人的变化值为50-70=-20（万 元)，故(A)正确； 支出最高的月份是2月份为60万元，最低的月份是 5月份为10万元， 故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故(B)错误； 7,8,9月份的支出分别为20万元，40万元，40万元， 20 故这三个月份的平均支出为20+0+0-19四（万元）， 3 故(C)错误； 利润最高的月份是3月份和10月份，都是30万元， 高于2月份的利润，故(D)错误 7.在正方体ABCD-ABC1D1中，AB=6,E是BB 的中点， 则BE=3,AE=CE=√6+32=35，AC=62, 所以5Au=之×65×V35>-(32)=96. 设点B到平面ACE的距离为h, 由e=a得号×分×6x6x3=号× 96h,解得h=6. 8.若入+4=1，根据向量共线的推论知P,B,C三点 共线，即P在直线BC上， △ABC中，当∠A=90°时，则BC的中点为三角形外 心，故P有可能为外心，(A)错误； 若入+4=-2，不妨取入=-14=-1， 当AB=AC时，AP.BC=(-AB-AC·(AC-AB =A应-A衣=0， 此时P的轨迹经过△ABC的垂心，(B)错误； 若P为△ABC的重心，则必有证=号×分（店+ Ad=子（店+Ad, 此时A+以=子，(C)错误： 若A=4,设△ABC为等边三角形， 结合A=AA店+入AC(入∈R), 则P点在BC边的中线上，也在∠BAC的平分线上， 点P的轨迹可能经过△ABC的内心，(D)正确. 二、多项选择题 9.AC;10.BD;11.BCD. 提示： 9.设样本中有x位男生的测试成绩， 340 360 =冬，解得x=12,(A)正确： 8×75%=6,所以样本中女生测试成绩的75%分位 数为920-95.（®）错误： 样本中女生测试成绩的平均数为： 6+7+7+7+8+9+10+10 8 =8, 所以样本中女生测试成绩的标准差为s= √g[6-8y2+3x(7-8)2+8-8)+9-8+2×(10-8 =2,(C)正确： 由选项(A)和(C)知，样本中所有学生测试成绩的 平均数为8×8+2×7.5=7.7，(D)错误 8+12 故选(A)(C). 10.由P+2P元=0，Q=2QB,可知点P为线段AC 上靠近点C的三等分点，点Q在线段AB的延长线上，且 B为AQ的中点，如图1所示 对于(A),点P不是线段 AC的中点，点B是AQ的中点， 所以PB与Cd不平行，故(A) B 错误； 图1 对于(B),B=B+A币=B+子AC=B+ 子(BC-B时=号B+子武，故(B)正确： 对于(C),P.P元=1P1P1cosm=-plp元1 <0,故(C)错误； 对于(D),设△ABC的边AB上的高为h, 则S度=分·AB,A=3,即ABh=6, 则5m=·A0子=×2×4Bx子= 参考答案， 2×6=4,即S=4,故(D)正确 故选(B)(D). 11.对于(A),设圆锥的底面半径为R,高为h, 由题意知2πR=12π，所以R=6, 圆锥的母线长为6√2，故h=√(62)2-62=6， 故圆锥的体积为V=分×m心×九=分×m×36× 6=72π，(A)错误； 对于(B),如图2，当M为AB的中点时， 设M在底面上的投影为H,则H为OB的中点， 则HN为线段MN在底面的投影， 0H=3,而∠N0H=120°，0N=6,在△0HN中， HN2=02+0W2-20H·ON·c0s∠120 =9+36-2×3×6×(-）=63. 即N=3万，即线段MN在底面的投影长为3万，(B)》 正确； 对于(C),如图2，作 NT⊥OB于点T,作TM ⊥AB于点M,连接MN, 设圆锥底面直径为 B(C) BE,由于AB=AE=6万， BE=12, 图2 即AB2+AE2=BE2, 所以AB⊥AE,则TM∥AE, 又∠N0E=60°，则△ONE为正三角形， 故T为OE的中点， 则BT=BE, 4 故BM,=子BA,即M,为AB的四等分点。 由于平面ABE⊥底面BNE,平面ABE∩底面BWE =BE,NTC底面BWE,WT⊥BE, 故NT⊥平面ABE,ABC平面ABE,故NT⊥AB, 又TM1⊥AB,TM,∩NT=T,TM1,WTC平面NTM1, 故AB⊥平面NTM1, MNC平面NTM1,故AB⊥MN, 故当M与M1重合时，MW⊥AB,(C)正确： 对于(D),由(C)的分析知，AB⊥M1N, 而=6×=3， 故MWm=M,N=√/TN2+TM √35)+（子×6列）-3.(D)正确 故选(B)(C)(D). 三、填空题 12.5 3； 13.114 提示： 12.因为A=30°，B=120°， 所以C=180°-(A+B)=30°， 由正弦定理得，c= bsin C-5sin30°_55 sin B sim120° 3 13.设△ABC的内切圆半径为r, 则，=×5x25=1, 3 2 因为2r<25,所以当球的半径等于底面正三角形 ABC内切圆的半径时，球的半径取得最大值， 故此球的半径的最大值为1. 14.设小张同学答对的事件为A,答错的事件为A, 小胡同学答对的事件为B,答错的事件为B, 小郭同学答对的事件为C,答错的事件为C, 因为小张同学答对的概率是子，小张、小胡两位同 学都答错的概率是；，小胡、小郭两位同学都答对的概 率是 6 数理报 所以P(A)=子，则P(面=子 而PA)=P(MP(商=分即号P(B)=号 则P(B=3,即P(B)=, 而P(BG)=PB)·PC)=G,即P(0=石， 则P(C)=子，即P(O=子， 所以小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答 对这道题的概率为： PP(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 四、解答题 15.解：(1)在△ADC中，由余弦定理的推论得 Cs LADC AC 2AD·DC 2×5×3 因为∠ADC为三角形的内角， 所以∠ADC=120°，所以sim∠ADC=5 所以Sae=子4D:DC:sin∠ADC= -×5×3 =153 4 (2)在△ABD中，∠ADB=60°， 由正弦定理得 AB AD sin∠ADB-sinB' 所以AB=55. 16.解：(1)由频率分布直方图可得这200位市民的 平均年龄为：5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17 +45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85× 0.02=47.9. (2)样本中年龄在区间[20,30)的频率为0.012× 10=0.12, 年龄在区间[70,80)的频率为0.006×10=0.06， 则从年龄在区间[20,30)的市民中抽取6× 0.12 0.12+0.06 =4(人)，分别记作a,b,c,d, 从年龄在区间[70,80)的市民中抽取6× 0.06 0.12+0.06 =2(人)，分别记作A,B, 从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有 ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,6A,6B,cd,cA,cB,dA,dB,AB, 15种， 其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有aA, aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,共8个， 所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率P=8 17.解：(1)因为Ad=A店+BC+C心=(4+x,y-2), 所以由BC∥AD得x(y-2)=y(4+x), 即y (2)由题易得AC=A正+BC=(x+6,y+1), BD BC+CD (x-2.y-3). 由AC⊥Bi可得AC.BD=0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=x2+y2+4x -2y-15=0, 又因为y=-} 所以AC=(8,0),BD=(0,-4)或4C=(0,4),B =(-8,0), 又因为A元⊥B币， 所以四边形ABCD的面积为号Ad1励1：子× 数理招 8×4=16. 18.解：(1)存在.如图3所示 连接AC,BP,设AC交BP于点F, 因为CP∥AB,且CP=2AB, 所以 1 B 3 图3 PB 取DC靠近点C的三等分点E,号-了 连接EF,PE,BE,则EF∥AD. 又EFC平面PBE,AD丈平面PBE, 所以AD∥平面PBE. 故存在满足条件的点E,且E是线段DC上靠近点C 的三等分点， (2)易知AP=BP=√2，AB=2, 所以AP2+BP2=AB2,所以AP⊥BP 又平面ADP⊥平面ABCP,平面ADP∩平面ABCP =AP,BPC平面ABCP, 所以BP⊥平面ADP, 因为DPC平面ADP,所以BP⊥DP, 所以BD2=DP2+BP2=1+2=3. 在△ADB中，因为AB2=AD2+BD2,所以AD⊥DB, 又PD⊥AD,PDC平面ADP,BDC平面ADB,平面 ADP∩平面ADB=AD, 所以∠PDB即为二面角P-AD-B的平面角， 在Rt△PDB中，cos LPDB=BD DP 3 所以二面角P-AD-B的平面角的余弦值为停 19.解：(1)记事件A1,B,分别表示元件A,B正常工作， 则P(A)=子，P(B,)=手 事件E表示G正常工作，由元件A,B工作是相互独 立的， P(E)P(A B)=P(A )P(B)=- 2 4 8 (2)设方案一、二三正常工作的概率分别为P,P2,P, 设新增的两个元件为元件C,D, 记事件C1,D1分别表示新增的两个元件正常工作， 则P(C)=P(D1)=p. 事件A,B1,C1,D1分别表示元件A,B,C,D不正常 工作， 由于四个元件工作相互独立， 则P=P[(A,UCUD)B] =P(A UC UD)P(B) =[1-P(ACD)]P(B,) =[1-P(A)P(C)P(D)]P(B), 所以P=[1-子×(1-p)]×专 151-p)2; 同理得：P=子×[1-专1-p)] 2 3-N B=-31-p]×-1-p] =5(p+2)(p+4) 又因为0.8≤p<1, 则A-B=房1-p0. -=-3+=(-+2)<0 所以选择方案三可以使部件G正常工作的概率最大 高中数学必修第二册核心素养综合测评卷（二） 一、单项选择题 1~4 CBBD 5~8 BAAA 参考答案、 提示： 度C,心 解得a=1. 2.从随机数表的第1行第5列开始从左至右依次选 取两个数字， 则选取的个体编号依次为08,02,14,07,01,04（重 复和不在01~20内的编号别除)，第6个编号为04. 3.因为a=(1,3),b=(2,2), 所以a+b=(3,5),a-b=（-1,1), 所以cos(a+b,a-b〉=(a+b):(a-b) l a+bl l a-bl -3+5 32+ √(-1)2+12 4.记五人分别为1,2,3，甲，乙 任选两人有(1,2)，(1,3)，(1，甲)，(1，乙)，(2,3)， (2,甲)，(2，乙)，(3，甲)，(3，乙)，（甲，乙），共10个样 本点， 其中甲、乙均未人选的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)， 共3个样本点， 则甲，乙均未人选的概率为品 =0.3. 所以甲、乙至少有一人人选的概率为1-0.3=0.7. 5.如图1. 由题意得AE⊥BC, 所以A正.B元=0， 则A.B元=(A正+E)·BC =A正.BC+E.B元=D正.BC= 图1 分花（证-商=子-分配破- -d1cos=-×1x1×分 4 6.由题可知，球形冰块内切于 高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形 是球面大圆的外切三角形，如图2， 作OD⊥AC,垂足为D, 则球的半径r=OD=4cm, 此时OA=2r=8cm,水面半 图2 径R=0C=8×m30°-85(em）, 3 设加人小球后水面以下的体积为”，原来水的体积 为V,球的体积为，所以水的体积为V=”- (8)x8-子x=18(m). 7.由题知两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色， 若第一次取球柙、乙都陬到红球，概率为】 则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白 球，乙的袋子中有1个红球和2个白球， 第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为 号x号+号x号=5 故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，甲 的袋子中有6个球的概率为宁×石=石 15 同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后， 甲的袋子中有6个球的概率为 故所求概率为幻 60 8.如图3，连接AC,BD,交于点O,连接OB', ABCD为菱形，∠ABC=120°， 所以AC⊥BD,OB'⊥AC,OD⊥AC, 所以∠B'OD为二面角B'-AC-D的平面角， 于是∠B'OD=30°， 又因为0B=0=子4B=2. 所以B'D=JOB2+OD-20B'·ODcos30° 2+2-2x2x2x=6-E, 21 取OC的中点P,取CD的 中点Q,连接EP,EQ,PQ B 所以PQ∥OD,EP∥OB', 所以AC⊥EP,AC⊥PQ, 又EP∩PQ=P,EP,PQ C平面EPQ, 图3 所以AC⊥平面EPQ, 所以在三棱锥B'-ACD表面上，满足AC⊥EF的点 F轨迹为△EPQ(除E外)， 因为EP=0B,P0=0D,E0=BD, 所以△EP0的周长为号×(6-万+2+2)= 4+6-2 2 所以点F轨迹的长度为4+6-2 2 二、多项选择题 9.AC:10.CD:11.ABD. 提示 9.因为B=哥，a+c=56, 所以(a+c)2=a2 +2+2ac=3b2, ① 由余弦定理可得d2+d2-2aco号=， ② 联立①②可得2a2-5ac+2c2=0, 即2(）-5(2）+2=0， 解得=2或号=子 故选(A)(C). 10.对于(A),设元=∑， 则5=六-偶+0)=2+e 所以y=x+c, 因为c≠0，所以x≠y,所以(A)错误； 对于(B),因为y:=x:+c(i=1,2,…,n), 所以y1,y2,…,yn的中位数是x1,,…,x.的中位数 加c,所以(B)错误： 所以号=（+e 所以=，所以两组数据的方差相同，从而这两组 数据的标准差相同，所以(C)正确； 对于(D),设x1<x2<…<x,则第一组数据的极 差为xm-x1, 设y1<y2<…<yn,则第二组数据的极差为ym一y =(xm+c)-（x1+c)=xn-x1, 所以两组数据的极差相同，所以(D)正确 故选(C)(D). 11.如图4所示. 对于(A),记正六边形 ABCDEF的中心为点O,由正棱 锥的几何性质可得PO⊥底面 ABCDEF. 易知△AOB是边长为2的等 边三角形， 图4 则S正六边形ABCDEF =65e=6×5x2=65, -×65×P0 =2√5·P0=45, 所以P0=2,故0P=OA=0B=OC=0D=0E =OF=2,故O为正六棱锥P-ABCDEF的外接球球心， 且该球的半径为2，因此P-ABCDEF的外接球的表面积 为4r×22=16π，(A)对； 对于(B),因为AB=AF=OB=OF=2,