章节测评卷(五)测试范围：概率-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册期末复习专号升级突破大模拟（人教A版）

18 52= m[+(x-)2]+”[+(厅-)2] m m +n =(2+)+品(2+)=>2=，(C)不 正确： 对于(D),若m=n,x=y,则z=x=y,s2= m4+(任-1+4+5-门- m n 2 (D)正确， 故选(A)(D). 三、填空题 12.572:13.0.94:14.24 提示： 12.由题意向右读数依次为：774,946,774,428,114， 572,042,533,…, 所以符合条件的种子中，第4颗被检验的种子编号 为572. 13.估计该地区中学生每天睡眠时间的平均数为 800 1200 ×9+ 1200+800 1200+800 ×8=8.4(小时)， 估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 12089×[1+(9-841+12020”0×[a5+ 800 (8-8.4)2]=0.94. 14.由于用前n个区间的平均长度估计所有(n+ 1)个区间的平均长度N n+1 而缴获坦克的编号是3,5,12,18,20， 即n=5,x5=20, 故9=5所以N=24 则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数 为24. 四、解答题 15.解：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序， 可得 甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110， 乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106， 114, 由13×25%=3.25,13×50%=6.5， 可得数据的25%分位数为第4项数据， 50%分位数为第7顶数据， 即学生甲的25%分位数为76,50%分位数为88； 学生乙的25%分位数为86,50%分位数为98. 16.解：(1)整理数据如下表： 健康 基本使康 不健康尚能自理 不能自理 80岁及 20 45 20 15 以上人数 80岁 200 225 50 25 以下人数 根据分层随机抽样的知识，从样本中健康状况为不 能自理的老人中抽取8人， 80岁及以上老人应抽取8 15 25+15=3(人)， 25 80岁以下老人应抽取8×25+15 =5(人) (2)在600人中，80岁及以上老人的占比为 15+20+45+20_1 600 6 因为户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约 有120万人， 所以80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比估 值为20 800 6 =2.59%. 17.解：(1)由题中频率分布直方图知(0.01+m+ 0.04+0.02)×10=1,解得m=0.03. 设此次知识竞赛活动学生分数的中位数为， 因为数据落在[60,80)内的频率为0.4，落在[60， 90)内的频率为0.8， 参考答案 所以80<x。<90. 由(x0-80)×0.04=0.5-0.4得xo=82.5, 故估计此次知识竞赛活动学生分数的中位数为82.5. (2)由题中频率分布直方图及(1)知数据落在[60， 70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.1， 0.3,0.4,0.2, 则估计此次知识竞赛活动学生分数的平均数为65 ×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82 此次知识竞赛活动学生分数不低于82的频率为0.2 10-2 ×0.4=0.52， 10 故估计参赛的500名学生中获奖的人数为500× 0.52=260. 18.解：(1)从题表可以看出类型I轴承的使用寿 命的数据大多集中在[11.2,13.8]这个区间内，6.2,6.4 有严重的偏离，所以不宜使用平均数度量其使用寿命分 布的中心，由于极端值的大小对中位数没有影响，所以 应使用中位数度量类型I轴承的使用寿命分布的中心 (2)由题表可知，将类型I轴承的使用寿命由小到 大排序后，排在第15,16个的数据分别是11.8,12.2，故 中位数为12百万圈； 将类型Ⅱ轴承的使用寿命由小到大排序后，排在第 15,16个的数据分别是10.4,10.6，故中位数为10.5百万 圈。 因为12>10.5，所以应选类型I轴承 (3)由题表可得类型I中，极差=14.5-6.2= 8.3,多数的数据集中在[11.2,13.8]这个区间内，6.2， 6.4,8.3,8.6严重偏离分布中心，即波动较大，标准差必 定较大， 类型Ⅱ中，极差=13.4-8.4=5，相对较小，数据 的分布比较集中、均匀，标准差必定比类型I小， 故应选类型Ⅱ轴承 19.解：(1)由题可知，x=30×0.06+40×0.1+50 ×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08= 61, s2=(30-61)2×0.06+(40-61)2×0.1+(50 61)2×0.16+(60-61)2×0.3+(70-61)2×0.2+(80 -61)2×0.1+(90-61)2×0.08=241. (2)因为s2=241,知s≈16， 则a=5×{6}=45, 6=5×[60516]=75, 所以该抽样数据落在[45,75]内的频率为 0.16+0.3+0.2=0.66=66%>65%, 又=5×{1号x1}=30. 6=5×[1+号x16]=90 所以该抽样数据落在[30,90]内的频率约为 1-0.03-0.04=0.93=93%<95% 所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但 不能判定生产线技术改造成功， 高中数学必修第二册章节测评卷（五） 一、单项选择题 1~4 DBAA 5~8 DDAD 提示： 1.由互斥事件的概率加法公式得P(AUB)= P(A)+P(B)=0.3+0.3=0.6. 2.由题意，随机数中417,386,196,206表示这三天 中恰有两天下雨， 故估计这三天中恰有两天下雨的概率为是=子 4 3.因为事件A和事件B不能同时发生， 所以事件A和事件B是互斥事件. 因为该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选 择，所以事件A和事件B不是对立事件， 综上所述，事件A和事件B是互斥事件，不是对立 数理极 事件 4.因为甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7， 现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪， 只有甲打中猎物的概率为0.4×0.3=0.12， 只有乙打中猎物的概率为0.6×0.7=0.42， 所以甲、乙分配猎物的比例应该是0.12：0.42=2：7. 5.九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武 汉热干面分别记为a,b,c,d,e, 两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间2 =aa,ab,ac,ad,ae,ba,bb,be,bd,be,ca,cb,cc,cd,ce,da,db, dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee},共25个样本点， 两位参赛博主抽到不同主题的事件A={ab,ac,ad, ae,ba,be,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed, 共20个样本点， 所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为P(A)= 5 6.双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有4×4 =16种不同的组合情况， 其中只有双方都选白色或都选黑色或都选红色时 不符合要求，共有3种情况， 故他们的球衣颜色不符合要求的概率为6，符合要 求的概率为1-。=是 16 7.在甲、乙、丙处投篮投中分别记为事件A,B,C, 则P(A)=n,P(B)=,P(C)=子 可知恰好投中两次为事件ABC,ABC,ABC, 故恰好投中两次的概率P=P ×(1-子) px(1-)×号+1-p)x3 6P- 冬解得p=子 8.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10个， 随机选取两个不同的素数p,9(p<q), 有0x9 =45(种)选法， 事件A发生的样本点为(3,5)，(5,7)，(11,13)， (17,19),共4个， 事件B发生的样本点为(3,7)，(7,11)，(13,17)， (19,23),共4个， 事件C发生的样本点为(2,3)，(2,5)，(3,5)，(3， 7),(5,7),(7,11),(11,13),(13,17),(17,19),(19, 23),共10个， 所以P)=P(B)=告，P(C)=9=子 故P(A)+P(B)<P(C). 二、多项选择题 9.BC;10.BD;11.ACD. 提示： 9.对于(A),由P(A)=0.2,P(B)=0.6,则P(A) +P(B)≠1，(A)错误； 对于(B),A与B相互独立，则A与B相互独立， P(AB)P(A)P(B)[1 -P(A)]P(B) 0.48,(B)正确； 对于(C)(D),A,B互斥，则P(AUB)=P(A)+ P(B)=0.8,P(AB)=0,(C)正确，(D)错误 故选(B)(C). 10.点P的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)， (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3), 若点P(a,b)落在直线x+y=n(2≤n≤6，neN) 上， 则当n=2时，点P只能是(1,1)； 当n=3时，点P可能是(1,2)，(2,1)： 当n=4时，点P可能是(1,3)，(2,2)，(3,1)； 当n=5时，点P可能是(2,3)，(3,2)： 数理极 当n=6时，点P可能是(3,3) 故使事件C,的概率为号的n的取值为3或5. 故选(B)(D). 11.对于(A),游戏过程中棋子出现在第1站， 即棋子向前跳出一站， 此时掷出骰子向上的点数不大于4， 其概率R==子，()正确： 6 对于(B),游戏过程中棋子出现在第2站， 即棋子向前跳出一站，再跳出一站到达第2站； 或一次跳出两站到达第2站， 其概率A=子×子+分=子，（®）错误： 对于(C),当1≤n≤98时，棋子要到第(n+1)站，有两 种情况： 2P 由第n站跳出一站到第(n+1)站，其概率为 由第(n-1)站跳出2站到第(n+1)站， 其概率为P.1, 所以P=子P.+}P(1≤n≤98)，(C)正确； 对于(D),根据(C)选项，棋子跳到第99站的概率为 P=子P+子P, 由于跳到第99站时，自动停止游戏， 则Pm=子P,所以P>Pm,(D)正确 故选(A)(C)(D) 三、填空题 12.8 ； 13. 61 1000 14. 提示： 12.由题可知，从中任意取出2粒恰好是不同色的概 率为 p=1-号- 12 13.设事件M=“1张奖券中奖”，则M=AUBUC, 因为事件A,BC两两亚斥，且P(A)=0P(B) 20 所以P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+ 161 20 =10001 故1张奖券的中奖概率为 61 000 14.315=3×3×5×7, 可得a1=3,a2=3,4=5,a4=7, 若从a1,a2,a,a4中任选2个构成两位数a,a,(i≠j, 且1≤ij≤n), 则有a1a2=33,a1a3=35,a1a4=37,2a1=33,a2a3 =35,a2a4=37,a3a1=53,a3a2=53,a3a4=57,a4a1= 73,a4a2=73,a4a3=75,共12个， 则十位数字与个位数字不相等的有35,37,35,37， 53,53,57,73,73,75,共10个， 所以a,a,的十位数字a与个位数字a,不相等的概率为 5 四、解答题 15.解：(1)设事件M为“该学生没有参与该活动” 根据题表可得P(M)=1-40+12+9+15 =1- 100 76。 6 100 2 (2)设事件W为“B,C两所高中各有1名学生没有参 与该活动”， B高中没有参与该活动的学生有3人，分别记为a, b,c,C高中没有参与该活动的学生有1人，记为d, 该试验的样本空间2={(a,b),(a,c),(a,d),(b, …参考答案 c),(b,d),(c,d)},共有6个样本点， 事件N所含的样本点为(a,d),(b,d),(c,d),共有3 个样本点， 所以P(W)=各=分 6 16.解：(1)P(X=1)=7,PX=1)=0 (2)投掷4次硬币的样本空间2为： a,a,a,a,a,a,a,b,a,a,b,aj,a,b,a,a, ib,a,a,aj,ia,a,b,b3,ia,b,a,bj,a,b,b,aj,16,6,a, a,b,a,a,b,ib,a,b,aj,ia,b,b,b3,ib,a,b,b,ib, b,a,83,16,6,b,aj,1b,6,6,63. X4=2包含的样本点有a,a,a,b},a,a,b,a},a, b,a,aj,b,a,a,aj, 所以P(光=2)==： X4=0包含的样本点有{a,a,b,b},a,b,a,b},a, b,b,aj,b,b,a,a,1b,a,a,bf,ib,a,b,aj, 所以PX=0)=名=冬， 故P(X4=0)>P(X4=2). 17.解：比赛结束时A队的得分高于B队有三种情 况： (1)A队5分B队0分，即A队四局全胜，其概率为P (号)广=品 (2)A队4分B队1分，即A队第一、二、四局中败1 局，第三局胜，其概率为P=3×号×（子）×子 8 27 (3)A队3分B队2分，包括两种情况： ①A队第三局败，其余各局胜；②A队第一、二、四局 中胜1局，第三局胜 其概率为八=（号）×号+3×号×（行）为 2 20 3 81 由互斥事件的概率加法公式可得所求概率P= 16 81 8+20-20 27+81 7 18.解：(1)由题知a∈{1,2,3,4}，be{2,4,6,8}, 所以数对(a,b)的可能取值为(1,2)，(1,4)，(1， 6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4), (3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),共16个 若函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)， 则西数代图象的对称轴为直线：=名=1，即6 =2a, 所以满足条件的样本点为(1,2)，（2,4)，（3,6)， (4,8),共4个， 所以事件A的概率P(A)= 4 =1 16 4 (2)因为a>0,所以二次函数的图象开口向上， 所以方程If(x)I=2有4个根， 即为f(x)=2和f(x)=-2各有2个根， 所以二次函数f代x)=ax2-bx-1的最小值小于-2. 所以-4aB<-2,即公2>4a 4a 满足条件的样本点为(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)， (2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共 11个， 所以事件B的概率P(B)）= 19.解：(1)(i)由题知P(A1)=2a(1-a)= 3 8 PR,)=B=合 B= 解得=3 3 (i)由(i)知P(4,)=d=6,P(B,)=2p1- 19 4 B) 9 记事件A=“甲、乙两次解密过程中一共解开密码 三次”， 则A=AB2+A2B1, 又AB2与AB,互斥，A1与B2,A2与B,分别相互独立， 所以P(A)=P(AB2)+P(AB) =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的 概率为品 (2)由题知+合=3，所以&+B=38, B P(A1)=2a(1-a),P(A2)=a2,P(B1)=2B(1- B),P(B2)=B, 记事件A=“甲、乙两次解密过程中一共解开密码 三次”， 则A=AB2+A2B1, 又AB2与A,B,互斥，A1与B2,A2与B,分别相互独立， 所以P(A)=P(AB2)+P(A2B) =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) =2a(1-a)B+2B(1-B)a =2aB(a+B-2aB)=2(aB)2, 因为a+B=3aB≥20，所以g≥号，当且仅当 &=B=子时等号成立，此时a取最小值号， 所以P()=2(4g)2取最小值号 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率 最小值为品 高中数学必修第二册核心素养综合测评卷（一） 一、单项选择题 1~4 ABAD 5~8 BABD 提示： 1.a·(2a+b)=(1,-1)·(1,1)=1-1=0. 2.z= 2=2=1-2， 1+2+ 1 所以z=1+2i. 3.因为AC⊥平面ABC1,又ACC平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ABC1,且交线是AB. 故平面ABC1上的点C,在底面ABC上的射影H必在 交线AB上 4.根据题意，m,n的情况如下：(1,1)，(1,2)，(1， 3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共有16种 情况， 其中m,n满足1m-nl≤1的情况如下： (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3, 3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况， 所以两人心领神会“的质率是碧 =5 5.不妨设AD所在圆的半径为R,BC所在圆的半径为 r,由AD的长度为BC长度的2倍， 可知R=2r,又CD=R-r=1, 所以r=1,R=2, 故该曲池的体积V=牙(R-户)×4=4m 6.2至3月份的收人的变化值为60-80=-20（万 元)，11至12月份的收人的变化值为50-70=-20（万 元)，故(A)正确； 支出最高的月份是2月份为60万元，最低的月份是 5月份为10万元， 故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故(B)错误； 7,8,9月份的支出分别为20万元，40万元，40万元，高中数学必修第二册 章节测评卷（五） 测试范围：概率 ◎数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.若事件A与B互斥，且P(A)=0.3,P(B)=0.3,则P(AU B)= 高 (A)0.3 (B)0.4 (C)0.5 (D)0.6 数学· 2.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现 采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.用1,2,3， 必 4,5,6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180,792,454,417， 第 165,809,798,386,196,206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率 为 册 人 (B)号 (c) 3.某地新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物 A 理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式 版 某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件B=“他 章 选择化学和地理”，则事件A与事件B 测 (A)是互斥事件，不是对立事件 评 (B)既是互斥事件，也是对立事件 (C)既不是对立事件，也不是互斥事件 金 (D)无法判断 4.已知甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7.现二人同时 向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该 是 ( (A)2:7 (B)3:7 (C)4:7 (D)5:7 5.某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶 饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题 中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的 概率为 ( ()方 (®)号 (c (D)专 6.在贵州“村超足球”比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球 衣，已知甲队有白、黑、红、黄4种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑、红4 种颜色的球衣.若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的 球衣颜色符合要求的概率为 ( 6 (B)含 (c D 7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概 率分别为♪，2，子，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好 12 投中两次的概率为 ,则p= (A) (B)专 (D)子 8.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜 想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜 想”：对所有自然数k,存在无穷多个素数对(p,p+2k).其中当k=1 时，称(pP+2)为“孪生素数”，k=2时，称(pP+4)为“表兄弟素 数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数P,q(p<q),令事 件A={(p,q)为孪生素数}，B={(p,q)为表兄弟素数，C={(p, 9)I9-P≤4，记事件A,B,C发生的概率分别为P(A),P(B), P(C),则下列关系式成立的是 (A)P(A)P(B)=P(C) (B)P(A)+P(B)=P(C) (C)P(A)+P(B)>P(C) (D)P(A)+P(B)P(C) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知事件A,B满足P(A)=0.2,P(B)=0.6,则() (A)事件A与B可能为对立事件 (B)若A与B相互独立，则P(AB)=0.48 (C)若A与B互斥，则P(AUB)=0.8 (D)若A与B互斥，则P(AB)=0.12 10.设集合A={1,2,3},B={1,2,3},分别从集合A和集合B 中各随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a, b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤6，n∈N),则使事件 C,的概率为号的n的取值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 11.某游戏棋盘上标有第0,1,2，…，100站，棋子开始位于第0 站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4， 棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第 100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为P 则下列结论中正确的是 () ()P=号 (C)P=P.+3P1≤n≤98） 2 ,1 (D)P9>P10 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子 的概率为)，都是白子的籁率为}号，则从中任意取出2粒恰好是不同 色的概率为 13.某商场举行有奖促销活动，购满100元商品得1张奖券，多购 多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二 等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B, C,则1张奖券的中奖概率为 14.著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大 于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如60=2 高 ×2×3×5.已知315=a1×a2×…×an,且a1,a2,a3,…,an均为质 数 数，若从a1,2,a3,…,an中任选2个构成两位数a,a(i≠j,且1≤i, j≤n),则a:a:的十位数字a:与个位数字a不相等的概率为 必修第 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)为调查高中生对某活动的参与度，教委对A,B,C,D 四所高中按各校人数采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生， 册（人教 将调查情况整理后如下表所示： A 学校 B C D 抽查人数 50 15 10 25 参与该活动的人数 40 12 9 15 (1)在这100名学生中，随机抽取1名学生，求该学生没有参与 版)章节测评卷 该活动的概率； (2)在这100名学生中，从B,C两所高中没有参与该活动的学 金 生中随机抽取2名学生，求B,C两所高中各有1名学生没有参与该 活动的概率 16.(15分)如下图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于 位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向 右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷 次硬币后，质点位于位置X,(n=1,2,3,4) (1)请直接写出P(X,=1)和P(X2=1)的数值； (2)用α表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一 个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间2，并证明：P(X4=0)> P(X4=2) -4-3-2-101234 高中数学·必修第 册 17.(15分)某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场 教 脑力竞技赛，A,B两队各由4名选手组成，共赛四局，每局两队各派 一名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每 A 版 局的负者得0分，假设每局此赛A队选手获胜的概率均为子，且各局 比赛结果相互独立，求比赛结束时A队的得分高于B队的概率， 测评卷（五） 18.(17分)已知函数f(x)=ax2-bx-1,集合P={1,2,3,4}, Q={2,4,6,8},若分别从集合P,Q中随机抽取一个数α和b,构成 数对(a,b) (1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)”，求事 件A的概率； (2)记事件B为“方程If(x)|=2有4个根”，求事件B的概率， 19.(17分)随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉 及到一个国家经济、金融、政治等安全.为提高中学生的网络安全意 识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手 两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解 密，每份文件只有一次解密机会.已知甲每次解开密码的概率为 (行≤a<1,乙每次解开密码的概率为B(行≤B<1）,每次是 否解开密码也互不影响.设A1={甲成功解密一份文件}，A2=甲 成功解密两份文件}，B,={乙成功解密一份文件}，B2={乙成功解 密两份文件. （)已知餐率P(A,)=冬P(B)=手 (i)求a,B的值； (ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率； 2)若0+日 =3,求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次 的概率最小值 高中数学·必修第二册（人教A版）章节测评卷（五） (参考答案见18~19版)