第十章 概率 单元复习卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2025-2026年第二学期人教版（A版）第十章概率单元复习卷

一、单选题

1．下列事件是必然事件的是（    ）

A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签

B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱

C．平行于同一条直线的两条直线互相平行

D．有公共点的两个圆相切

2．事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）．

A． B． C． D．

3．从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（   ）

A． B． C． D．

7．某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ）

A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6

8．某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ）

A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球

C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球

10．已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ）

A．若A与B互斥，则   B．若，则

C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立

11．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ）

A．频率是随机的，概率是确定的           B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率

C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生  D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小

三、填空题

12．已知，从集合中随机取出两个数且，连接原点和两点，则的概率为__________．

13．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．

14．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________．

四、解答题

15．义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图．

  

(1)求实数的值；

(2)用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率；

(3)样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差．

 

 

 

16．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．

17．甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立.

(1)当时，求；

(2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值.

 

 

 

 

18．甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的．

(1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值；

(2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题：

①求甲总分为1分的概率；

②求甲的总分高于乙的总分的概率.

 

 

 

 

 

19．每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

(1)求，的值；

(2)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数．

参考答案

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	C	C	C	B	C	B	C	A	CD	CD
题号	11
答案	ABD

 

12．

13．/

14．

15．【详解】（1）由题意知，，

解得.

（2）结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中，4人成绩在中．

从6人中选取2人的方法数为种，即样本空间中有15个样本点．

至少有1人成绩在中有两种情况：恰有一人成绩在该区间中，共有种；两人成绩都在该区间，共有1种；

根据加法原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点．

根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为．

（3）剩余8人成绩的平均值为．

由10个人成绩的标准差，则，即，

于是剩下8人的成绩的方差为．

16．【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥，