第十章 概率 单元复习卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 人教版高中数学第十章概率单元复习卷，以现实情境为载体，覆盖概率核心概念与综合应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|必然事件（如第1题）、独立事件（如第2题）|基础概念辨析，强化数学思维| |多选|3|互斥与对立事件（如第9题）、概率性质（如第10题）|多角度考查逻辑推理| |填空|3|古典概型（如第12题）、独立事件概率（如第14题）|简洁考查计算能力| |解答|5|频率分布直方图与概率（第15题）、实际情境概率（第17题招聘考试）|综合数据处理与模型应用，体现数据意识与理性精神|

2025-2026年第二学期人教版（A版）第十章概率单元复习卷 一、单选题 1．下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 2．事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 3．从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 6．某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（   ） A． B． C． D． 7．某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 8．某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ） A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 10．已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 11．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 三、填空题 12．已知，从集合中随机取出两个数且，连接原点和两点，则的概率为__________． 13．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________． 14．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 四、解答题 15．义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图．    (1)求实数的值； (2)用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； (3)样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 16．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 17．甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 18．甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 19．每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求，的值； (2)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，…，，已知这个分数的平均数，若剔除其中的和两个分数，求剩余8个分数的平均数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B C B C A CD CD 题号 11 答案 ABD 12． 13．/ 14． 15．【详解】（1）由题意知，， 解得. （2）结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中，4人成绩在中． 从6人中选取2人的方法数为种，即样本空间中有15个样本点． 至少有1人成绩在中有两种情况：恰有一人成绩在该区间中，共有种；两人成绩都在该区间，共有1种； 根据加法原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点． 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为． （3）剩余8人成绩的平均值为． 由10个人成绩的标准差，则，即， 于是剩下8人的成绩的方差为． 16．【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 17．【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 因为，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 18．【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， 故甲总分高于乙总分的概率为 ． 19．【详解】（1）由频率直方图的性质得， ， 化简可得， 已知第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积，设样本容量为， 则，解得， 代入得，． （2）样本数据在组频率为：， 样本数据在组频率为：， 两组频数比为：，分层抽取6人， 则从组抽4人，记为，组抽2人，记为 从6人中选2人，总共抽法为： ， ，共计种； 两人来自不同小组的事件为： ，共计8种， 故概率为：． （3）已知这个分数的平均数，故总和为：， 剔除和后，剩余8个分数总和：， 故剩余8个分数的平均数为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $