精品解析：吉林省长春市第七十二中学2025-2026学年下学期6月中考模拟九年级数学

九年级考前练习 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共计24分） 1. 我们在生活中经常会遇到各种相反意义的量，如在课堂抢答活动中，若把加5分记作分，则扣3分记作（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．根据题意，加分记为正，则扣分记为负，据此即可求解． 【详解】解：若把加5分记作分，则扣3分记作分． 故选：B． 2. 如图是六个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的正视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据正视图是从正面看得到的图形即可得解，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，该几何体的正视图由两层构成，第一层有3个小正方形，第二层最左边和最右边各有1个正方形，如图所示： ， 故选：A． 3. 2025年我国粮食总产量再创新高，达706520000吨、将数字706520000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：706520000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 如图，点在上，，垂足为点．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和直角三角形两锐角互余的知识，掌握以上知识是解题的关键；根据“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是位似变换，根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为，即， 故选：B． 6. 2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ∴．   故选：A ． 7. 如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为以及蓄水池上宽下窄，先慢后快变化即可判断求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始下降的更慢，后来下降的更快， 故选：． 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了25mL D. 减小，减小了25mL 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 随的增大而减小， 当时，；当时，， 若压强由减压至，则气体体积的变化情况是增大了， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共计18分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 10. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程求解即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 11. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先由已知等式整理得到的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，令方程两边均等于孩子的人数即可． 【详解】解：设梨有个， 由题意可得：， 故答案为：． 13. 如图，为⊙O的直径，，是的切线， 点A是切点， 连接交于点 D， 连接， 若， 则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及弧长，由切线的性质得，则，再由直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质得，由弧长公式即可解决问题． 【详解】解：∵是的切线，为的直径， ∴， ∴°， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的长度为, 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，在菱形中，，，点在边上，且，连结交对角线于点，连结．给出以下四个结论： ①； ②； ③； ④的面积是的面积的倍； 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到，，结合推出是等边三角形，可判断①；利用全等三角形的判定证明，可判断②；利用全等三角形的性质得到，通过证明得到，得出，可判断③；由得到，再利用全等三角形的性质可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ，故①正确； ，，， ，故②正确； ， ，， ， 解得：， ∵在菱形中，，， ， ， ，故③错误； ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确结论的是①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 清明节假期期间，某电影院有三部影片可供顾客选择观看，分别为猫猫的奇幻漂流（记为A）、哪吒之魔童闹海（记为）、唐探1900（记为），小明和小红各随机从中购买一张电影票，用画树状图（或列表）的方法，求他们看同一部影片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件是解题的关键． 运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中他们选择的影片相同有3种等可能的情况， ∴P（小明和小红看同一部影片） 17. 学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？ 【答案】 甲的单价为元． 【解析】 【分析】设甲的单价为元，则乙的单价为元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设甲的单价为元，则乙的单价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是的解， ∴甲的单价为元． 18. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出中边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中的边上找到一点，连接，使． 【答案】（1） 解：边上的中线如图所示： （2） 解：点如图所示： （3） 解：点如图所示： 【解析】 【分析】（1）结合网格特征，先找出边上的中点，再连接，即可作答． （2）结合网格特征，得，再结合，即，即可在边上找到一点，使得是等腰直角三角形，进行作答． （3）结合网格特征，证明，故，连接，得，即可作答． 本题考查了网格作图，中线，特殊角的正切值，相似三角形的判定与性质，中线与三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 2026年5月3日，2026年跳水世界杯总决赛落幕，中国队包揽全部9枚金牌，中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．为了解八、九年级男生做“引体向上”的情况，体育老师在八、九年级中各随机抽取了40名男生，测试了这些男生一分钟所做“引体向上”的次数，测试结果统计如图表： 九年级所抽取男生一分钟所做“引体向上”次数统计表 次数/次 6 7 8 9 10 人数/人 3 8 12 10 7 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，九年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的中位数为____________次、众数为___________次； （2）求八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数； （3）若该校八、九年级各有400名男生，请估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数． 【答案】（1） 8，8 （2）八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数为7.8次 （3）估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数为110名 【解析】 【分析】（1）求出7次的人数，进而补全条形统计图；根据中位数和众数的定义作答即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）用八、九年级的男生数乘以各自所做“引体向上”次数为10次的男生人数的比例，相加即可． 【小问1详解】 解：八年级一分钟所做“引体向上”次数为7次的人数为（人） 补全条形统计图如图所示： ∵，， ∴中位数为次； ∵8次出现的次数最多， ∴众数为8次； 【小问2详解】 解：（次）， ∴八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数为7.8次； 【小问3详解】 解：（名）， ∴估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数为110名． 21. 国家体育总局等部门联合发布的《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026-2028年）》，旨在通过加强青少年科学健身普及和运动干预提升儿童和青少年的健康素质．周末，小明从家出发匀速去体育馆锻炼身体后匀速返回家，如图是他离家的距离（单位：）与离开家的时间（单位：）之间的关系，已知他在体育馆的时间为1小时． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填空：图中_____； ②求小明返回家的过程中，与之间的函数关系式； （2）当小明离开体育馆后，离家的距离为时，他离开体育馆多长时间？ 【答案】（1）①80；② （2） 【解析】 【分析】（1）①观察图象可得答案； ②设函数关系式为，再将点代入可得方程组，求出解即可； （2）将代入关系式求出，再减去离开体育馆的时间可得答案． 【小问1详解】 解：①观察图象可知， 解得； ②设与之间的函数关系式为，由题意， 得 解得 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ， 此时他离开体育馆． 22. 【问题原型】如图①，在中，，，．点是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】 如图②，小明发现点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆的一部分，因为，所以点的变化会导致点的变化，于是将问题进一步转化为探究点的轨迹问题：小明过点作，使点和点在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点和点均为定点，可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 … 又，， ， ． （1）请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】 （2）在图③中，点是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 【答案】（1）∴； ∵， ∴， ∴； （2）作图如下： 的最小值为 【解析】 【分析】（1）由证明过程知，只要补充即可；由辅助线作法知，再由已知得，则有，由此即可完成补充证明； （2）以O为圆心，为半径作；连接，则当点D在线段上时，最小，利用勾股定理求出的长，即可求出的最小值． 【小问1详解】 证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． ∴； ∵， ∴， ∴； 又，， ， ． 【小问2详解】 解：以O为圆心，为半径作； 连接，，则， ∴当点D在线段上时，最小，最小值为， ∵在中，， ， ∴ 即的最小值为． 23. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动，连接，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）________．（用含的代数式表示） （2）当时，求的值； （3）当点落在上时，求的值； （4）当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的值为________． 【答案】（1） （2）2 （3）4 （4）2或5 【解析】 【分析】（1）根据即可解答； （2）当时，易得，再利用勾股定理求解即可； （3）过B作于H，过Q作于E，过N作于F，即，，易证可得，；再证明可得，，进而得到即可确定时间t； （4）分点N在上方和下方两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，即， ∵， ∴，即， 解得：或， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过B作于H，过Q作于E，过N作于F，即，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ，解得：， ∴， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴． 【小问4详解】 解：如图，当点N在上方时，过作于J，过作于K，则；连接，设交于G， ∵点到直线的距离与点到直线的距离相等， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，即，点N和点G重合， 由（2）当时，， ∴当时，点到直线的距离与点到直线的距离相等； 如图：当点N在边下方时，分别过点Q、P、N作的垂线，垂足分别为F、G、L，与交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴． 综上，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的值为2或5． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点和点都在抛物线上，点的横坐标为，点关于点的对称点在轴上，过点作轴于点，连接． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当时，求点的坐标； （3）当抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的取值范围； （4）连接，．若，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线，求出c的值，即可解答； （2）根据点Q，点A关于点P的对称得到点P为的中点，根据点A，P的横坐标得到点Q的横坐标，代入函数关系式即可求出点Q的坐标； （3）分和两种情况，结合图象及纵坐标之差为列式求解即可； （4）分别表示出，，根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴该抛物线对应的函数关系式为． 【小问2详解】 解：∵点Q，点A关于点P对称， ∴点P为的中点， ∵点A在y轴上， ∴点A的横坐标为0， ∵点P的横坐标为m， ∴点Q的横坐标为， 当时，， 把代入函数，得， ∴点Q的坐标为． 【小问3详解】 解：∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，且点P，Q都在抛物线上， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵点P为的中点， ∴， ∴点A的坐标为． ∵抛物线， ∴顶点坐标为， 把代入抛物线，得， ∴点C的坐标为． ①若，则抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为点C，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得或（不满足，舍去）． ②若，当轴时，， 解得，． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为点Q，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解， ∴当时，不存在抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，轴时，不存在抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点与抛物线的交点，最低点为点P，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得， 解得或（都不满足，舍去）． 点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为， 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点C，最低点为抛物线顶点，如图， ∵点C的纵坐标为，抛物线顶点的纵坐标为，它们的差为， ∴时，都满足抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为抛物线顶点，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得， 解得或（不满足，舍去）． 综上所述，m的取值范围为或． 【小问4详解】 解：∵，，，轴， ∴， ， ∵， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级考前练习 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共计24分） 1. 我们在生活中经常会遇到各种相反意义的量，如在课堂抢答活动中，若把加5分记作分，则扣3分记作（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 2. 如图是六个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的正视图为（　　） A. B. C. D. 3. 2025年我国粮食总产量再创新高，达706520000吨、将数字706520000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在上，，垂足为点．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 7. 如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了25mL D. 减小，减小了25mL 二、填空题（每小题3分，共计18分） 9. 因式分解：__________． 10. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值是______． 11. 已知，则________ 12. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_______． 13. 如图，为⊙O的直径，，是的切线， 点A是切点， 连接交于点 D， 连接， 若， 则的长度为__________． 14. 如图，在菱形中，，，点在边上，且，连结交对角线于点，连结．给出以下四个结论： ①； ②； ③； ④的面积是的面积的倍； 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 清明节假期期间，某电影院有三部影片可供顾客选择观看，分别为猫猫的奇幻漂流（记为A）、哪吒之魔童闹海（记为）、唐探1900（记为），小明和小红各随机从中购买一张电影票，用画树状图（或列表）的方法，求他们看同一部影片的概率． 17. 学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？ 18. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，并且．求证：四边形是平行四边形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出中边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中的边上找到一点，连接，使． 20. 2026年5月3日，2026年跳水世界杯总决赛落幕，中国队包揽全部9枚金牌，中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．为了解八、九年级男生做“引体向上”的情况，体育老师在八、九年级中各随机抽取了40名男生，测试了这些男生一分钟所做“引体向上”的次数，测试结果统计如图表： 九年级所抽取男生一分钟所做“引体向上”次数统计表 次数/次 6 7 8 9 10 人数/人 3 8 12 10 7 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，九年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的中位数为____________次、众数为___________次； （2）求八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数； （3）若该校八、九年级各有400名男生，请估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数． 21. 国家体育总局等部门联合发布的《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026-2028年）》，旨在通过加强青少年科学健身普及和运动干预提升儿童和青少年的健康素质．周末，小明从家出发匀速去体育馆锻炼身体后匀速返回家，如图是他离家的距离（单位：）与离开家的时间（单位：）之间的关系，已知他在体育馆的时间为1小时． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填空：图中_____； ②求小明返回家的过程中，与之间的函数关系式； （2）当小明离开体育馆后，离家的距离为时，他离开体育馆多长时间？ 22. 【问题原型】如图①，在中，，，．点是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】 如图②，小明发现点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆的一部分，因为，所以点的变化会导致点的变化，于是将问题进一步转化为探究点的轨迹问题：小明过点作，使点和点在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点和点均为定点，可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点作，使点和点在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 … 又，， ， ． （1）请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】 （2）在图③中，点是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 23. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动，连接，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）________．（用含的代数式表示） （2）当时，求的值； （3）当点落在上时，求的值； （4）当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的值为________． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点和点都在抛物线上，点的横坐标为，点关于点的对称点在轴上，过点作轴于点，连接． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当时，求点的坐标； （3）当抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的取值范围； （4）连接，．若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $