精品解析：上海音乐学院附属黄浦比乐中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

2025学年度第二学期期末考试高二年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1－6题每题3分，第7－12题每题4分） 1. 直线的倾斜角是______________（用反三角函数表示）. 2. 椭圆的焦距为______． 3. 双曲线的两条渐近线为______． 4. 给定三点，那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程是_______． 5. 方程的解集为______． 6. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____. 7. 两平行直线和的距离为_____． 8. 的二项展开式中的常数项为______． 9. 5名同学分成三组，每组至少1人有_____________种分法． 10. 函数在上的最大值为__________． 11. 已知曲线 ，曲线 ，若的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则周长的最小值为____________． 12. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13－14题每题3分，第15－16题每题4分） 13. 两圆x2+y2﹣8x+6y﹣11=0和x2+y2=100的位置关系． A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 14. 若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（ ） A. 在时间段内的平均速度为5m/s B. 时的瞬时速度为5m/s C. 经过了2s物体的位移最大 D. 物体初速度为10m/s 15. 直线：，直线：，若，则实数a的值为（ ） A. 或 B. C. D. 16. 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题：①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件.则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分44分） 17. 若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： （1）动点P的轨迹方程： （2）过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 18. 现有9名学生，其中有5名男生4名女生，若要从中选4人参加一项活动，求 （1）一共有几种选法： （2）抽取4人中恰好有两名女生的选法有几种： （3）抽取4人中至少有1名女生的概率． 19. 已知函数 （1）求函数在处的切线； （2）求函数的单调区间和极值（结果保留e）． 20. 已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． （1）求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； （2）若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 21. 已知函数； （1）求函数在处的切线方程； （2）函数（其中）是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第二学期期末考试高二年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1－6题每题3分，第7－12题每题4分） 1. 直线的倾斜角是______________（用反三角函数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】由方程写出斜率，根据斜率得倾斜角． 【详解】直线的斜率为， ∴它的倾斜角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线的倾斜角，根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角是常用方法．只是要注意反正切函数的值域与倾斜角的范围不相同，注意转换． 2. 椭圆的焦距为______． 【答案】 【解析】 【详解】由椭圆，即， 则，即，则， 所以椭圆的焦距为. 3. 双曲线的两条渐近线为______． 【答案】 【解析】 【详解】易知双曲线的焦点在轴上，且由双曲线方程可知， 所以，所以该双曲线的渐近线为. 4. 给定三点，那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线BC的斜率，进而得到与直线BC垂直的直线的斜率，进而得到通过点A并且与直线BC垂直的直线方程 【详解】直线BC的斜率， 则与直线BC垂直的直线的斜率 则通过点A并且与直线BC垂直的直线方程是，即 故答案为： 5. 方程的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】由组合数的性质可得或， 故或，检验符合，故方程的解集为. 6. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】因为表示椭圆， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 7. 两平行直线和的距离为_____． 【答案】##0.9 【解析】 【分析】直线与直线为平行线，根据两平行线间的距离公式即可求得答案． 【详解】将直线，化简为， 与是平行线， 根据两平行线间的距离公式得， 两平行线间的距离为． 故答案为：． 8. 的二项展开式中的常数项为______． 【答案】 【解析】 【详解】展开式中的通项公式为， 令，故，故常数项为第5项，即. 9. 5名同学分成三组，每组至少1人有_____________种分法． 【答案】25 【解析】 【详解】由题意， 按1，1，3分组，有种分法， 按1，2，2分组，有种分法， 因此，5名同学分成三组，每组至少1人有种分法． 10. 函数在上的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导确定函数在区间内的单调性与极值点，计算极值点和区间端点的函数值，比较后得到最大值. 【详解】由题可知，， 令， 解得，（舍去负数）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以最大值在两个端点处， 代值计算可得，， 因为， 所以， 故最大值为. 11. 已知曲线 ，曲线 ，若的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则周长的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】画出图形利用抛物线的定义，圆的定义、三角形三边关系以及注意取等条件即可求解. 【详解】如图所示： 由题意抛物线的焦点、圆的圆心均为， 作直线为抛物线 的准线，作出 ，它为圆的一部分， 其中三点共线且垂直抛物线的准线，同理也三点共线且垂直抛物线的准线，其中， 所以， 在中令，则，即， 从而，等号同时成立当且仅当分别与（或与关于轴的对称点）重合， 所以当分别与重合时，周长有最小值，且最小值为. 故答案为：. 12. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论：，和，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解. 【详解】函数的导函数为. 当时，令，解得：，所以函数有两个零点，不符合题意. 当时，要使函数只有一个零点，只需的极大值小于0或的极小值大于0. 令，解得：或. 列表： 0 + 0 - 0 + 单增 极大值 单减 极小值 单增 所以极大值不符合题意. 所以极小值，解得：； 当时，要使函数只有一个零点，只需极大值小于0或的极小值大于0. . 令，解得：或. 列表： 0 - 0 + 0 - 单减 极小值 单增 极大值 单减 所以极大值不符合题意. 所以极小值，解得：. 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13－14题每题3分，第15－16题每题4分） 13. 两圆x2+y2﹣8x+6y﹣11=0和x2+y2=100的位置关系． A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：求出两圆的圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系． 解：x2+y2﹣8x+6y﹣11=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=36，又x2+y2=100， 所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=6和r=10， 则两圆心之间的距离d=5， 因为10﹣6＜5＜10+6，即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交． 故选D． 考点：圆与圆的位置关系及其判定． 14. 若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（ ） A. 在时间段内的平均速度为5m/s B. 时的瞬时速度为5m/s C. 经过了2s物体的位移最大 D. 物体初速度为10m/s 【答案】C 【解析】 【分析】结合平均速度、瞬时速度的定义及二次函数的性质，逐一判断各选项的正误即可. 【详解】对于选项A，平均速度计算公式为，当时，；当时，，因此，A说法正确，不符合题意. 对于选项B，瞬时速度为位移函数对时间的导数，可得，代入得，B说法正确，不符合题意. 对于选项C，位移函数的图象是开口向下的抛物线，其顶点横坐标为，即时位移最大，时，，位移为0，故C说法错误，符合题意. 对于选项D，初速度为时的瞬时速度，代入导数公式得，D说法正确，不符合题意. 15. 直线：，直线：，若，则实数a的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 16. 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题：①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件.则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】结合复合函数的求导以及为奇函数可判断“为奇函数”和“为偶函数”之间的逻辑关系，即可判断①的真假；举例说明②中“为严格增函数”和“为严格增函数”之间的逻辑关系，即可判断其真假；即得答案. 【详解】对于①，为奇函数，则， 故，即，即为偶函数； 当为偶函数时，不妨取， 其导函数为偶函数，但不是奇函数， 故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，①为真命题； 对于②，不妨取为上严格增函数， 其导函数在上不是单调函数， 即“为严格增函数”推不出“为严格增函数”， 取，其导函数为上严格增函数，但不是单调函数， 故“为严格增函数”推不出“为严格增函数”， 因此“为严格增函数”是“为严格增函数”的既不充分也不必要条件， 故②为假命题； 综上可得：命题①为真命题，命题②为假命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分44分） 17. 若动点P满足到的距离等于到直线的距离，动点P的轨迹为曲线C，则求： （1）动点P的轨迹方程： （2）过点且与曲线C只有一个公共点的直线． 【答案】（1） （2） 和 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义：平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，可直接求出轨迹方程； （2）过定点与抛物线只有一个公共点的直线，包括抛物线的切线和与抛物线对称轴平行的直线两类，需分情况讨论斜率是否存在. 【小问1详解】 根据抛物线的定义： 动点到定点的距离等于到定直线的距离， 因此曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为， 由焦点坐标，得，即， 所以动点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 设过点的直线为，分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点，符合条件. 当直线斜率存在，设为，直线方程为，即， 联立抛物线方程，得：， 当直线与抛物线相切时，方程有且仅有一个解，判别式， 即， 解得，此时直线方程为. 综上，过点且与曲线只有一个公共点的直线为： 和 . 18. 现有9名学生，其中有5名男生4名女生，若要从中选4人参加一项活动，求 （1）一共有几种选法： （2）抽取4人中恰好有两名女生的选法有几种： （3）抽取4人中至少有1名女生的概率． 【答案】（1） 126 （2） 60 （3） 【解析】 【小问1详解】 从名学生中选4人参加一项活动，共有种选法. 【小问2详解】 从名学生中选4人参加一项活动，恰好有两名女生的选法种数为. 【小问3详解】 设为：“抽取4人中至少有1名女生” ，则. 19. 已知函数 （1）求函数在处的切线； （2）求函数的单调区间和极值（结果保留e）． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解． （2）由确定增区间，由确定减区间，然后根据极值的定义得极值． 【小问1详解】 由求导得，则，又， 所以函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 因， 由得或，由得， 所以函数的递增区间是和，递减区间是， 故该函数的极大值为，极小值为． 即的单调递增区间为和，单调递减区间为； 极大值为，极小值为． 20. 已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． （1）求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； （2）若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【答案】（1） ，， （2） 【解析】 【分析】（1） 利用椭圆标准方程直接求焦点、离心率； （2）结合直线与圆相切的条件求直线方程，最后用弦长公式计算弦长. 【小问1详解】 椭圆为标准形式，得，， 因此，. 故焦点坐标为，，离心率. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时， 设过的直线方程为，即. 因直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径1： ， 平方化简得，即. 将代入椭圆方程，代入整理得： 设，由韦达定理得，. 由弦长公式： 代入数值计算： 斜率不存在时直线到原点距离为，不满足相切，故舍去，最终. 21. 已知函数； （1）求函数在处的切线方程； （2）函数（其中）是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2）若，函数无极值点；若，函数的极小值点为，无极大值点. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，从而求得切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而分析其极值点的情况. 【小问1详解】 由，知. 所以，. 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数，其定义域为. 所以. 若，恒成立，所以恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点； 若，， 因为，所以， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在处取得极小值，其极小值点为，无极大值点. 综上，若，函数无极值点；若，函数的极小值点为，无极大值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $