第十章 概率 综合模拟测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学概率单元，以射箭训练、手机使用与近视、保险赔付等真实情境及e的数学文化素材为载体，覆盖事件关系、古典概型等核心知识，适配单元复习，助力数学眼光、思维与语言的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|事件关系（第1题）、频率估计概率（第2题）|基础概念与现实情境结合| |多项选择题|3/18|概率与频率概念（第9题）、互斥独立事件（第11题）|概念辨析与逻辑推理| |填空题|3/15|有放回与无放回抽样概率（第13题）|数学语言表达应用| |解答题|5/77|种子发芽率计算（第15题）、知识竞赛概率（第18题）|综合应用与分层设计|

第十章　概率 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若事件A=“向上的点数为3”,B=“向上的点数为6”,C=“向上的点数为3或6”,则有(　　) A.A⊆B B.C⊆B C.A∩B=C D.A∪B=C 2.某射箭运动员进行射箭训练,射箭60次,统计结果如下表: 环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8 则估计他击中的环数不小于8的概率为(　　) A.0.46 B.0.55 C.0.57 D.0.63 3.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明(　　) A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B.该厂生产的100件产品中合格的产品一定有99件 C.该厂生产的10件产品中没有不合格产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99% 4.自然对数的底数是指无理数e=2.718 281 828 459 045….e是一个奇妙有趣的无理数,它取自数学家欧拉Euler的英文字头.某教师为帮助同学们了解“e”,让同学们从小数点后的3位数字7,1,8随机选取两位数字,整数部分2不变,那么得到的数字小于2.71的概率为(　　) A. B. C. D. 5.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完全相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是(　　) A.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶” B.“取出不发酵茶”和“取出龙井” C.“取出乌龙茶”和“取出铁观音” D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶” 6.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约有45%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生,则他近视的概率为(　　) A. B. C. D. 7.元宵活动中有个游戏为掷骰子,规则是“一局游戏有6次投掷机会,只要能投掷出6点便视为游戏成功,否则,游戏失败”.假设骰子质地均匀,则随机玩一局游戏,比较游戏成功与失败的可能性,下列说法正确的是(　　) A.游戏成功的可能性更大 B.游戏失败的可能性更大 C.游戏成功与游戏失败的可能性一样大 D.游戏成功与游戏失败的可能性无法比较 8.下图是某个闭合电路的一部分,每个元件的可靠性是,则从A到B这部分电路畅通的概率为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的有(　　) A.概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值 B.做n次随机试验,事件发生m次,则事件发生的频率就是事件的概率 C.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1 10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察骰子两次出现的点数,下列说法正确的有(　　) A.试验的样本空间中有36个样本点 B.第一次抛掷中,事件“出现偶数点”与事件“出现点数小于3”是互斥事件 C.试验中抛掷两次骰子点数和为7的概率是 D.试验中抛掷两次骰子点数之和最可能出现的是8 11.抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件A=“第一枚出现奇数点”,事件B=“第二枚出现偶数点”,事件C=“两枚骰子出现点数和为8”,事件D=“两枚骰子出现点数和为9”,则(　　) A.A与B互斥 B.C与D互斥 C.A与D独立 D.B与C独立 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.抛掷一枚骰子10次,若10次结果都为6点,则下列说法正确的序号是　　　　.  ①若这枚骰子质地均匀,则这是一个不可能事件; ②若这枚骰子质地均匀,则这种结果可能出现; ③这枚骰子质地一定不均匀. 13.从1,2,3,4四个数字中,随机地选取两个数字,若数字的选取是不放回的,则两个数字的和为偶数的概率为　　　　;若数字的选取是有放回的,则两个数字的和为偶数的概率为　　　　.  14.从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g): 492　496　494　495　498　497　501　502　504 496　497　503　506　508　507　492　496　500 501　499 则该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g~501.5 g之间的概率约为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽情况之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16 (1)求这5天的平均发芽率; (2)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,用(m,n)的形式列出所有的样本点,并求满足“m,n∈[25,30]”的事件A的概率. 16.(15分)有3个相同的球,分别标有数字1,2,3,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.用(x,y)表示试验的样本点,其中x表示第一次取出的球的数字,y表示第二次取出的球的数字. (1)写出这个试验的样本空间Ω; (2)用A表示事件“第一次取出的球的数字是1”;用B表示事件“两次取出的球的数字之和是4”,求证:P(AB)=P(A)·P(B). 17.(15分)某市举行职业院校学生技能比赛活动,甲校派出2男1女共3名学生,乙校派出2男2女共4名学生. (1)若从甲校和乙校学生中各任选1名进行比赛,求选出的2名学生性别不相同的概率;　 (2)若从甲校和乙校派出的这7名学生中任选2名进行比赛,求选出的这2名学生来自同一所学校的概率. 18.(17分)甲、乙两同学组成“星队”参加某知识竞赛.现有A,B两类问题,竞赛规则如下:①竞赛开始时,甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答,答错的同学本轮竞赛结束;答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答,无论答对与否,本轮竞赛结束.②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3,则“星队”可进入下一轮. 已知甲同学能答对A类问题的概率为,能答对B类问题的概率为. 乙同学能答对A类问题的概率为,答对B类问题的概率为. (1)设“甲同学答对0个,1个,2个问题”分别记为事件A0,A1,A2,求事件A0,A1,A2的概率; (2)求“星队”能进入下一轮的概率. 19.(17分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数/辆 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的概率占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的概率占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率. 参考答案 1.D　对于A,A与B没有包含关系,故A错误; 对于B,∵B=“向上的点数为6”,C=“向上的点数为3或6”,∴B⊆C,故B错误; 对于C,A∩B=⌀,故C错误; 对于D,A∪B=C,故D正确. 2.B　根据题意,该运动员击中的环数不小于8的频率为=0.55,因此估计相应概率为0.55. 3.D　根据题意,某工厂生产的产品合格率是99.99%,即该厂生产的产品是合格品的概率为99.99%,由此分析选项:对于A,该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件,可能是多件或没有,故A错误; 对于B,该厂生产的100件产品中合格的产品不一定有99件,故B错误; 对于C,该厂生产的10件产品中可能有不合格产品,故C错误; 对于D,该厂生产的产品合格的可能性是99.99%,故D正确. 4.C　由题意得,样本点总数N=3×2=6, ∵让同学们从小数点后的3位数字7,1,8随机选取两位数字,整数部分2不变,那么得到的数字小于2.71的样本点有(1,7),(1,8), 即2.17<2.71,2.18<2.71,共有M=2个, ∴得到的数字小于2.71的概率P=. 5.D　对于A,事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故A错误; 对于B,事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件,因为“取出龙井”时,事件“取出不发酵茶”也发生了,故B错误; 对于C,事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故C错误; 对于D,事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件,故D正确. 6.D　设该校有x个同学,则约有0.45x的学生近视, ∵0.2x的学生每天玩手机超过1小时且玩手机超过1小时的学生中有0.1x的学生近视,∴有0.8x的学生每天玩手机不超过1小时且其中有0.35x的学生近视,∴从每天玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生,则他近视的概率为P=. 7.A　掷一枚骰子出现6点的可能性为,不出现6点的可能性为, ∴随机玩一局游戏失败的概率为<0.5,因此游戏成功的可能性更大. 8.C　因为每个元件的可靠性是,所以从A到B这部分电路不畅通的概率为×=,故从A到B这部分电路畅通的概率为1-. 9.AC　根据题意,依次分析选项:对于A,由概率与频率的关系知,A正确; 对于B,概率是频率的稳定值,故B错误; 对于C,由概率与频率的关系知,C正确; 对于D,任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1,故D错误. 10.AC　抛掷一枚质地均匀的骰子两次,试验的样本空间中共有6×6=36个样本点,故A正确; 第一次抛掷中,“出现偶数点”有2,4,6三种情况,“出现点数小于3”有1,2两种情况,故不是互斥事件,故B错误; 试验中两次出现点数和为7的情况有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种情况,故概率为P=,故C正确; 试验中抛掷两次骰子点数之和为8的情况有(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5种情况,由对C选项的分析可知D错误. 11.BC　对于选项A,记(x,y)表示事件“第一枚点数为x,第二枚点数为y”,则事件A包含事件(1,2),事件B也包含事件(1,2),所以A∩B≠⌀,故A与B不互斥,故A错误;对于选项B,事件C包含的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个,事件D包含的基本事件有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),共4个,故C∩D=⌀,即C与D互斥,故B正确;对于选项C,总的基本事件有6×6=36(个),事件A的基本事件有3×6=18(个),故P(A)=,由选项B知P(D)=,而事件AD包含的基本事件有(3,6),(5,4)共2个,故P(AD)=,所以P(AD)=P(A)P(D),故事件A与D独立,故C正确;对于选项D,事件B的基本事件有6×3=18(个),故P(B)=,由选项B知P(C)=,而事件BC包含的基本事件有(2,6),(4,4),(6,2)共3个,故P(BC)=,所以P(B)P(C)==P(BC),故B与C不独立,故D错误.故选BC. 12.②　根据题意,抛掷一枚骰子10次,10次结果都为6点,若这枚骰子质地均匀,这种结果可能出现,故①③错误,②正确. 13.　设事件A为“在数字的选取是不放回的条件下两个数的和为偶数”. 事件B为“在数字的选取是有放回的条件下两个数的和为偶数”, 则不放回地选取2个数的所有可能情况为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12个样本点, 其中和为偶数的有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共4个样本点, 所以P(A)=; 有放回地选取2个数的所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个样本点, 其中和为偶数的有8个样本点, 所以P(B)=. 14.0.25　袋装食盐质量在497.5 g~501.5 g之间的共有5袋,所以其概率约为=0.25. 15.解(1)这5天的平均发芽率为×(23+25+30+26+16)××100%=24%. (2)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,用(m,n)的形式列出所有的样本点有10个,分别为(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16). 满足“m,n∈[25,30]”的事件A包含的样本点有(25,30),(25,26),(30,26),共3个. ∴满足“m,n∈[25,30]”的事件A的概率P(A)=. 16.(1)解从3个球中有放回地随机取两次,该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}. (2)证明事件A包含的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),P(A)=; 事件B包含的样本点为(1,3),(2,2),(3,1),P(B)=. 而事件AB表示“第一次取出的球的数字是1且两次取出的球的数字之和是4”, 它包含的样本点为(1,3),P(AB)=. 故P(AB)=P(A)·P(B). 17.解记甲校派出的2名男学生为A1,A2,1名女学生为a, 乙校派出的2名男学生为B1,B2,2名女学生为b1,b2, (1)从甲校和乙校派出的学生中各任选1名,不同的结果有(A1,B1),(A1,B2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,b1),(A2,b2),(a,B1),(a,B2),(a,b1),(a,b2),共12种, 其中选出的2名学生性别不相同的选法有(A1,b1),(A1,b2),(A2,b1),(A2,b2),(a,B1),(a,B2),共6种, 故选出的2名学生性别不相同的概率P1=. (2)若从甲校和乙校派出的这7名学生中任选2名,不同的结果有(A1,A2),(A1,a),(A1,B1),(A1,B2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a),(A2,B1),(A2,B2),(A2,b1),(A2,b2),(a,B1),(a,B2),(a,b1),(a,b2),(B1,B2),(B1,b1),(B1,b2),(B2,b1),(B2,b2),(b1,b2),共21种, 其中选出的2名学生来自同一所学校的选法有(A1,A2),(A1,a),(A2,a),(B1,B2),(B1,b1),(B1,b2),(B2,b1),(B2,b2),(b1,b2),共9种,故选出的2名学生来自同一所学校的概率为P2=. 18.解(1)∵甲同学能答对A类问题的概率为,能答对B类问题的概率为, ∴P(A0)=1-,P(A1)=, P(A2)=. (2)设“乙同学答对1个,2个问题”分别记为事件B1,B2, ∵乙同学能答对A类问题的概率为,答对B类问题的概率为, ∴P(B1)=,P(B2)=. 设事件C表示“星队能进入下一轮”,P(C)=P(A1B2)+P(A2B1)+P(A2B2)=P(A1)·P(B2)+P(A2)·P(B1)+P(A2)·P(B2)=, 故“星队”能进入下一轮的概率为. 19.解 (1)设事件A表示“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12. 由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元, 所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24. 第10页 学科网（北京）股份有限公司 $