第十章 概率 基础巩固卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 第十章概率基础巩固卷，120分钟150分，19题涵盖选择、填空、解答，精选近三年好题与真题，适配单元复习，强化数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不可能事件、互斥对立事件|结合课后作业与期中真题，基础概念辨析| |多选|3/18|独立事件、概率性质|期末考题，考查逻辑推理| |填空|3/15|电路样本点、独立事件概率|电路模型与抽取问题，体现应用意识| |解答|5/77|古典概型、方差计算|分层设计，如15题有放回取球（基础）、19题评委打分方差分析（能力），融合数据意识|

第十章 概率（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一·全国·课后作业）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 【答案】C 【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件即可得出结果. 【详解】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品. 故选：C 2．（25-26高二下·四川宜宾·期中）盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从盒子里随机摸出两个小球的所有可能共6种结果，事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的情况有2种，根据古典概率公式可求． 【详解】从盒子里随机摸出两个小球的所有可能结果共6种结果， 事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的情况有共2种结果， 故“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率． 故选：A． 3．（25-26高一上·山东德州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有　　 A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【答案】C 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”， 事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”， 事件A与事件B是对立事件； 事件A与事件C是互斥但不对立事件； 事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件． 故互斥但不对立的共有1对． 故选C． 【点睛】本题考查互斥但不对立的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）下列结论：①如果，那么为必然事件： ②若事件与是互斥事件，则； ③概率是随机的，试验前不能确定； ④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件． 其中是正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据必然事件、互斥事件、对立事件、概率等知识确定正确答案. 【详解】必然事件的概率是，所以①错误. 若事件与是互斥事件，则，所以②错误. 概率是理论值，是固定值，与实验前后无关，所以③错误. 若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件，所以④正确. 所以正确的有个. 故选：A 5．（2026·四川内江·三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（    ） A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件 C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案. 【详解】一个人连续射击次，其可能结果为击中次，击中次，击中次， 其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次， 事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误； 事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中， 事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误； 事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误； 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确； 故选：D 6．（2026·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由独立事件概率公式和充要条件的概念即可求解. 【详解】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C 7．（2026·河南·模拟预测）某艺术馆有一间边长为10m的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为1m的正方形瓷砖．如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺一层浅色瓷砖，再在浅色瓷砖外侧铺一层深色瓷砖……像这样一层一层向外，两种颜色相间铺设，直到铺满整个展厅．若在这个展厅内随机抛一枚硬币（大小忽略不计），则硬币最后落在深色瓷砖上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别求出深色瓷砖总数和瓷砖总数，根据古典概型概率公式，即可得答案. 【详解】由题意得，第1、3、5、7、9圈铺深色瓷砖， 第一圈1块，第3圈块，第5圈块 则第n圈，为块（，n为奇数）， 所以深色瓷砖总数， 瓷砖总数， 所以硬币最后落在深色瓷砖上的概率为. 故选：A 8．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件“第一次取出的数字是1”，事件“取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A．事件相互独立 B． C．为不可能事件 D． 【答案】A 【分析】根据题设列举出所有情况及事件的基本事件，结合独立事件判定，判定各项的正误. 【详解】由题设，所有情况有，，，，，共20种， 其中事件有，共4种，则， 事件有，共4种，则， 显然不存在，即，故，A错，B、C对， 由有，，故， 所有，D对. 故选：A 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·山西运城·期末）已知、是随机事件，则下列结论不正确的是（    ） A．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若、是两个随机事件，且，，则 【答案】BCD 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A选项；取可判断BC选项；举特例可判断D选项. 【详解】对于A选项，互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，A对； 对于B选项，当时，事件与事件中至少有一个发生的概率一定和与中恰有一个发生的概率相等，B错； 对于C选项，当时，事件与事件同时发生的概率一定与与中恰有一个发生的概率相等，C错； 对于D选项，抛掷骰子一次，记事件向上的点数不小于，记事件向上的点数不大于， 则，所以，D错. 故选：BCD. 10．（25-26高一上·辽宁本溪·期末）5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲、然后由乙各抽一张，则下列结论正确的是（    ） A．甲中奖的概率 B．乙中奖的概率 C．只有乙中奖的概率 D．甲、乙都中奖的概率 【答案】AD 【分析】由条件列出样本空间，利用古典概型概率公式求各事件的概率即可判断. 【详解】设中奖奖券为1,2，不中奖的奖券为3,4,5，则随机试验首先由甲、然后由乙各抽一张的样本空间为,,, ,，共20个基本事件， 事件甲中奖包含基本事件,，共8个，所以事件甲中奖的概率，选项A正确； 事件乙中奖包含基本事件,，共8个，所以事件乙中奖的概率，选项B错误； 事件只有乙中奖包含基本事件,，共6个，所以事件只有乙中奖的概率，选项C错误； 事件甲、乙都中奖包含基本事件，共2个，所以事件甲、乙都中奖的概率，选项D正确. 故选：AD. 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）小佳和小明两人进行篮球比赛，小佳投中的概率为0.8，小明投不中的概率为0.2，且两人投篮互不影响，现两人各投篮一次.记“小明投中”为事件，“至少1人投中”为事件，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】按照独立事件、对立事件及互斥事件的概率计算公式，逐项分析求解能求出结果． 【详解】记“小佳投中”为事件C，则有，， 小明投不中的概率为0.2，所以，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项正确； ，，所以，D选项错误. 故选：AC. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为______________.    【答案】 【分析】由A，B两个元件组成并联电路，至少有一个元件正常，列举出所有的样本点即可得解. 【详解】设元件正常为，失效为， 由A，B两个元件组成并联电路， 则至少有一个元件正常， 故事件包含的样本点为共个. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海松江·期中）若事件与事件相互独立，， ，则_____. 【答案】0.6 【分析】考查事件的独立性，直接用其性质和运算法则求解即可. 【详解】因为事件与事件相互独立，所以事件与事件也相互独立，且，所以 所以. 故答案为：0.6. 14．（25-26高三·湖南长沙·阶段检测）现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是__________． 【答案】 【分析】根据古典概型概率的求法，依次求得甲在第一次抽到偶数的概率，甲第一次抽到奇数且乙在第一次抽到奇数的概率时，甲第二次抽到偶数的概率，即可由概率的加法运算求解. 【详解】甲抽取第一张卡片即获胜的概率为； 甲抽取两张卡片获胜，则甲第一张抽取的为奇数，乙抽取的也为奇数，则， 所以甲获胜的概率为， 故答案为:． 【点睛】本题考查了古典概型概率求法，不放回的概率求法，概率加法运算，属于基础题. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·江西赣州·期中）不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题可知每次黄球被取出的概率为，解得． （2）（ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以恰有一次取出黄球的概率为． （ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以这两次取出的球的颜色相同的概率为． 16．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 【答案】(1)0.04 (2)0.26 【详解】（1）设“5人及以上排队等候付款”为事件，由于所有概率的和为1， 则，即5人及以上排队等候付款的概率是0.04． （2）设“至多有1人排队”为事件，“没有人排队”为事件，“恰有1人排队”为事件，则事件与互斥，，，，所以，即至多有1人排队等候付款的概率是0.26． 17．（25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设不放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，， 事件包含的基本事件数4，，，，， ． （2）设有放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，. 事件包含的基本事件数4，即，，，， ． 18．（25-26高三·全国·一轮复习）某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为，， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 根据题意可得， ，，，． 因为，且，互斥， 由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 19．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）在一个文艺比赛中，名观众代表和名专业人士各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两组评委对同一名选手的打分如表所示． 小组A 75 83 80 78 84 小组B 70 75 80 85 90 (1)从小组A的5个分数中随机抽取2个分数，求抽取的2个分数中恰有1个大于80的概率； (2)分别求小组A与小组B评委打分的方差，并据此判断小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的小组. 【答案】(1) (2)小组A的方差为，小组B的方差为，小组A更像是由专业人士组成的小组 【分析】（1）利用古典概型（总数为分母，符合条件数为分子）解答； （2）先算平均数，再套方差公式，最后用方差越小，数据越稳定的意义判断． 【详解】（1）这个试验的样本空间 ，共包含10个样本点． 设事件“抽取的2个分数中恰有1个大于80”，则 ，共包含6个样本点， 所以． （2）小组A的平均数， 小组B的平均数为， 小组A的方差为， 小组B的方差为， 因为，且专业人士打分通常更稳定， 所以小组A更像是由专业人士组成的小组. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一·全国·课后作业）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 2．（25-26高二下·四川宜宾·期中）盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东德州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有　　 A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 4．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）下列结论：①如果，那么为必然事件： ②若事件与是互斥事件，则； ③概率是随机的，试验前不能确定； ④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件． 其中是正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·四川内江·三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（    ） A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件 C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 6．（2026·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·河南·模拟预测）某艺术馆有一间边长为10m的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为1m的正方形瓷砖．如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺一层浅色瓷砖，再在浅色瓷砖外侧铺一层深色瓷砖……像这样一层一层向外，两种颜色相间铺设，直到铺满整个展厅．若在这个展厅内随机抛一枚硬币（大小忽略不计），则硬币最后落在深色瓷砖上的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件“第一次取出的数字是1”，事件“取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A．事件相互独立 B． C．为不可能事件 D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·山西运城·期末）已知、是随机事件，则下列结论不正确的是（    ） A．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若、是两个随机事件，且，，则 10．（25-26高一上·辽宁本溪·期末）5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲、然后由乙各抽一张，则下列结论正确的是（    ） A．甲中奖的概率 B．乙中奖的概率 C．只有乙中奖的概率 D．甲、乙都中奖的概率 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）小佳和小明两人进行篮球比赛，小佳投中的概率为0.8，小明投不中的概率为0.2，且两人投篮互不影响，现两人各投篮一次.记“小明投中”为事件，“至少1人投中”为事件，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为______________.    13．（25-26高二上·上海松江·期中）若事件与事件相互独立，， ，则_____. 14．（25-26高三·湖南长沙·阶段检测）现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是__________． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·江西赣州·期中）不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 16．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 17．（25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 18．（25-26高三·全国·一轮复习）某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 19．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）在一个文艺比赛中，名观众代表和名专业人士各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两组评委对同一名选手的打分如表所示． 小组A 75 83 80 78 84 小组B 70 75 80 85 90 (1)从小组A的5个分数中随机抽取2个分数，求抽取的2个分数中恰有1个大于80的概率； (2)分别求小组A与小组B评委打分的方差，并据此判断小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的小组. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $