第十章 概率 章末综合检测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学第十章概率单元卷，通过单选、多选、填空、解答题覆盖古典概型、互斥对立、独立事件等核心知识，情境真实（如游戏、药物试验），梯度分明，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|古典概型（第4题取鞋）、互斥事件（第2题）|基础巩固，聚焦概念辨析| |多选题|3/18|独立事件概率（第9题景点选择）|多角度考查，区分度高| |填空题|3/15|至少两人获奖（第13题）|简洁考查计算能力| |解答题|5/77|分层抽样与概率（第16题）、函数与概率结合（第18题）|综合应用，体现数学建模（如药物试验第19题）|

第十章概率章末综合检测试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果已连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】根据频率的稳定性及概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变， 故第2027次出现正面朝上的概率是，故C正确. 故选：C. 2．从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 故选：B. 3．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为，， 又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次， 则只有一个人投中的概率是 . 故选：A. 4．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按古典概型的概率公式进行计算. 【详解】设鞋柜中的两双鞋子分别记为,. 则取出两只鞋子的所有可能结果为： , , 记，则., 取出的鞋成双的概率: . 故选：B 5．不透明箱子中有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则，； 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则，； 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则，； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则，； 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，,，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，,， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 故选：D. 6．若，则函数有零点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和，列举符合条件的取值，即可根据古典概型的概率公式求解. 【详解】用表示可能的结果，则试验的样本空间,, 当，时：必有零点，事件； 当时，函数为二次函数，若有零点则需：，即， 此时事件; 记事件“函数有零点”，则,, 所以所求概率为： ， 故选：C. 7．甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章，则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局，用表示甲第局获胜。记事件“恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章”， 则,因为互斥，且各局结果又相互独立， . 故选：A. 8．现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算从这4个函数中随机抽取2个函数的选法总数，再计算恰有1个函数是奇函数的选法数，最后计算概率即可. 【详解】对于定义域为，令，则， ，是奇函数； 对于定义域为，令，则， ，是偶函数； 对于定义域为，令，则，是非奇非偶函数； 对于定义域为，令，则， ，是奇函数， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有种选法, 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有种， 所以，所求概率. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．甲、乙两人分别从“孔府、孔庙、孔林、尼山圣境”这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲去“孔府”的概率为 B．甲、乙两人都去“孔府”的概率为 C．甲、乙两人中恰有一人去“孔府”的概率为 D．甲、乙两人中至少有一人去“孔府”的概率为 【答案】AC 【分析】将甲、乙两人去孔府、孔庙、孔林、尼山圣境旅游分别记为，写出样本空间，然后计算概率判断各选项． 【详解】将甲、乙两人去孔府、孔庙、孔林、尼山圣境旅游分别记为，依题意可知样本空间为： ,, 记“甲去孔府”，则,, , 故A正确； 记“甲、乙两人都去孔府”，则,, , 故B错误； 记“甲、乙两人中恰有一人去孔府”，则,, , 故C正确； 记“甲、乙两人中至少一人去孔府”，则,, , 故D错误； 故选：AC． 10．已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（   ） A．事件与互斥 B．事件与独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可． 【详解】已知，则， 由. 对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误； 对B：因为， ， 所以，所以事件与独立，选项B正确； 对C：由选项B知事件A与B相互独立，所以与也相互独立， ,选项C正确； 对D：因为事件与互斥，事件与独立， 所以，选项D正确． 故选：BCD. 11．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 【答案】ACD 【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D． 【详解】设2个白球为，，2个黑球为，,则样本空间为： ， , 事件，； 事件，； 事件， 事件，， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则，故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知，，当事件，相互独立时，________，________． 【答案】 0.15 0.65 【分析】由于事件，相互独立，则，. 【详解】由于事件，相互独立，所以, . 故答案为： 0.15 、0.65 . 13．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 【答案】 【详解】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 则． 故答案为： . 14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 【答案】 【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式可得. 【详解】记“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件． 由题意知，，. 根据事件的独立性和互斥性，得 ． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 【详解】（1）由题可知每次黄球被取出的概率为，解得． （2）（ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以恰有一次取出黄球的概率为． （ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以这两次取出的球的颜色相同的概率为． 16．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，，解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 17．小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即， 得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 记“小王两关都闯关成功”，则， 记“小李两关都闯关成功”，则 ， 所以“小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功”， 则 . 18．从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上单调递增”，试判断事件A和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件A中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件B中参数的范围，进而可确定事件B对应的集合，再结合古典概型判断事件的独立性. 【详解】（1）由已知样本空间，, 若函数有两个不等的零点，则，解得或， 事件A为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”,所以，, 则； （2）是相互独立事件， 若函数在上单调递增，则，即， 所以事件B对应的集合为，,则 , 则事件A事件B同时发生对应的集合， 则；. 所以事件A和事件B是相互独立事件。 19．为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解. 【详解】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，A药物恰好治愈2只小白鼠，B药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，A药物恰好治愈0只小白鼠，B药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，A药物恰好治愈1只小白鼠，B药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以A，B两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设A药物治愈1只小白鼠且B药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以A药物治愈1只小白鼠且B药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章概率章末综合检测试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果已连续抛掷2026次，那么第2027次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 3．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 4．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（    ） A． B． C． D． 5．不透明箱子中有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 6．若，则函数有零点的概率为（   ） A． B． C． D． 7．甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 8．现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．甲、乙两人分别从“孔府、孔庙、孔林、尼山圣境”这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲去“孔府”的概率为 B．甲、乙两人都去“孔府”的概率为 C．甲、乙两人中恰有一人去“孔府”的概率为 D．甲、乙两人中至少有一人去“孔府”的概率为 10．已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（   ） A．事件与互斥 B．事件与独立 C． D． 11．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知，，当事件，相互独立时，________，________． 13．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 16．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 17．小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 18．从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上单调递增”，试判断事件A和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 19．为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $