25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念，通过人体雕像比例、矩形铁皮制作方盒等实际问题导入，引导学生从具体情境中抽象出定义、一般形式及根的概念，构建从现实问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过定义辨析、系数确定等例题训练数学思维，用规范表达强化数学语言。如例1方程辨析、例2一般形式转化，帮助学生夯实基础提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月16日 25.1 一元二次方程的概念 第25章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。核心三要素：整式方程、单未知数、最高次数为2。 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0$$（$$a eq0$$），其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。 3. 方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，即为方程的解（根）。 二、同步练习题 （一）选择题 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. $$5x+1=0$$ B. $$x^2+2x=3$$ C. $$\frac{1}{x^2}+x=2$$ D. $$ax^2+bx+c=0$$ 2. 方程$$2x^2-3x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、-3、1 B. 2、3、1 C. 2、-3、-1 D. -2、3、1 （二）填空题 3. 若方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是________。 4. 已知$$x=1$$是方程$$x^2+kx-2=0$$的一个根，则$$k$$=________。 （三）解答题 5. 将方程$$3x(x-2)=2(x+1)$$化为一元二次方程的一般形式，并写出各项系数。 三、参考答案及解析 1. B 解析：A是一元一次方程，C是分式方程，D未说明$$a eq0$$，不满足一元二次方程定义。 2. A 解析：对照一般形式，准确区分各项及符号，一次项系数为-3。 3. $$m eq2$$ 解析：二次项系数不为0，即$$m-2 eq0$$。 4. 1 解析：将$$x=1$$代入方程，得$$1+k-2=0$$，解得$$k=1$$。 5. 一般形式：$$3x^2-8x-2=0$$，二次项系数3，一次项系数-8，常数项-2。解析：去括号、移项、合并同类项即可化简。 6. $$x(x+3)=28$$，整理为$$x^2+3x-28=0$$。解析：根据长和宽的关系，结合矩形面积公式列方程。 本次习题聚焦基础概念辨析、系数识别、参数取值及简单实际建模，全面覆盖课时核心考点，夯实一元二次方程入门基础。 学习目标 理解一元二次方程的概念.(重点) 2.掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方 程转化为一般形式 3. 确定出二次项系数、一次项系数和常数项. (难点) 学习目标 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC=BC∶5， 即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m， 根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x)， 整理得 x2+5x-25=0. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. A C B 5-x x 3 问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm. 在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3 600cm²，可列得方程 (100-2x)(50-2x)=3 600. 整理并化简，得 x2-75x+350=0. 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 图1 图2 x (100-2x)cm (50-2x)cm 思考： 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1， 最高次数是2. 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：为什么需进行x(x-1)场？ 邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共(x-1)场. 6 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1，最高次数是2. 7 思考：以下方程有什么共同点？ x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0. (1)方程中含有未知数的式子都是整式； (2)方程中只含有一个未知数； (3)方程中未知数的最高次数是2. 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 识别关键： 原方程若有分母，则分母中不含未知数； 若有根号，则根号中不含未知数. 例1 下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥  (m是常数)； ⑦ ； ⑧ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念； 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念； 含有两个未知数； 含有未知数的式子不都是整式； 未知数的最高次数是 3； 当 m=0 时，未知数的最高次数是 1； 整理，得x=0； 含有未知数的式子不都是整式； B 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0 (a≠0)， 其中 ax²是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项. 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0. 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0. 思考：为什么规定a≠0？ 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 例2 原方程 一般形式 确定各项及各项系数(不要漏掉符号) 去分母、去括号、 移项、合并同类项 通常将二次项系数化为正数 确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤 特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）(x−2)2=4; （2）(x+3)(x−1)=2x−1; （3）. 解：(1) 去括号，得 x2−4x+4=4. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 x2−4x=0. 其中二次项系数为 1，一次项系数为 -4，常数项为 0. (2) 去括号，得 x2+2x−3=2x−1. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 x2−2=0. 其中二次项系数为 1，一次项系数为 0，常数项为 -2. 跟踪训练 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）(x−2)2=4; （2）(x+3)(x−1)=2x−1; （3）. 解：(3) 去分母，得 2x2−3(x+1)=6. 去括号，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 2x2−3x−9=0. 其中二次项系数为 2，一次项系数为 -3，常数项为 -9. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. 判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法） 数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0. 二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1. (2)一般形式为4x2-81=0. 二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(3)一般形式为4x2+8x-25=0. 二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25. (4)一般形式为3x2-4x=0. 二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0. 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(1)设正方形的边长为x, 根据题意，得4x2=25, 一般形式为4x2-25=0. 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2， 根据题意，得x(x-2)=100, 一般形式为x2-2x-100=0. 解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m, 根据题意，得x=(1-x)2, 一般形式为x2-3x+1=0. 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 3.若关于x的方程 (m-2)x-2－4mx+3(m+2)=0 是一元二次方程，则m=_______. 解：∵一元二次方程未知数的最高次数为2， ∴ m2-2=2，解得m=±2. ∵二次项系数不为0， ∴m-2≠0，即m≠2. ∴m=﹣2. ﹣2 知识点1 一元二次方程的定义 1. 下列方程：; ; ;; ; 中，属于一元二次方程的是( ) C A. ①和② B. ②和⑤ C. ③和④ D. ③和⑥ 中考考法 27 2.关于的方程 是一元二次方程， 则 的值为_____. 【点拨】注意一元二次方程中二次项系数不为0. 解题支架 中考考法 28 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程化成一般形式，则 的 值是( ) B A. B. 7 C. D. 1 4. 关于的一元二次方程 化为一 般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 4 D. 中考考法 29 知识点3 一元二次方程的解 5. [2026汕头期中] 若关于 的一元二次方程 的一个根是，则 的值为( ) C A. 2 B. C. 2或 D. 中考考法 30 6. 若是关于的方程 的解，则 代数式 的值是____. 【点拨】 先求出的值,再代入 比较困难，本题根据解的 定义将代入方程,得 ,变形 为,最后将待求式子变形为 后， 将 整体代入求解. 中考考法 31 7. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的 一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程： _______________________________. （答案不唯一） 【点拨】由题意可设方程为，将 代入 ，得， 该方程 可为 . 中考考法 32 定义 一元二次方程 只含有__个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是__(二次) 的方程 一般形式 1 2 ax2 + bx + c = 0(a___0) ≠ 一元二次方程的根(解) 使方程左右两边____的未知数的值 相等 课堂小结 $