第15讲 单调性问题·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦函数单调性核心，整合基础判断、含参讨论及导数综合应用，构建从概念到高阶推理的逻辑链条 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|选择1-2、填空12|单调性判定与单调区间求解|从定义出发，结合函数性质理解单调性本质| |含参单调性|选择5-8、填空13、解答15|参数对函数单调区间的影响分析|通过分类讨论，建立参数与单调性的逻辑联系| |导数综合应用|选择3-4、9-11、解答16-19|单调性与极值、零点、证明的综合|以导数为工具，实现从单一性质到多知识点交叉的推理应用，体现数学思维的严谨性与逻辑性|

第15讲 单调性问题·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数，则（ 　　） A. 严格增函数 B. 在上是严格增函数，在上是严格减函数 C. 严格减函数 D. 在上是严格减函数，在上是严格增函数 2.函数的单调递增区间是（ 　　） A. B. C. D. 3.（2025·江西·5月联考）已知函数的定义域为，对于任意的，都有.若，且在时恒成立，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ 　　） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 5.已知函数. 若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2025·广东·5月测评）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 7.若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 8.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·宜春·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ 　　） A. 当时， B. 曲线在处的切线斜率为 C. 方程在区间内恰有两个实根 D. 当时， 10.（2025·沧州运东五校·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ 　　） A. 若在上单调递减，则的最大值为 B. 当时， C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有个交点 11.（2026·肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数(、为正数)的严格减区间是＿＿＿＿＿＿. 13.已知函数的单调递减区间是，则＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为＿＿＿＿＿＿.（结果用区间表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数. 讨论函数的单调性. 16.（15分）（2026·滨州·二模）已知函数. （1） 若，求曲线在点处的切线方程； （2） 若存在，使，求的取值范围. 17.（15分）（2026·深圳·一模）已知函数. （1） 当时，求的单调区间； （2） 若有两个零点. （i） 求的取值范围； （ii） 证明：. 18.（17分）（2026·合肥·一模）已知函数. （1） 当时，讨论的单调性； （2） 当时，，求的取值范围； （3） 设，证明：. 19.（17分）（2025·高邮·一模）已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 单调性问题 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D A A D A 6 7 8 9 10 C D B BD BCD 11 12 13 14 15 AB 与 见解析 16 17 18 19 （1） （2） （1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（i） （ii）证明见解析 （1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）证明见解析 （1）见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 1.已知函数，则（ 　　） A. 严格增函数 B. 在上是严格增函数，在上是严格减函数 C. 严格减函数 D. 在上是严格减函数，在上是严格增函数 【答案】D 【解析】已知，则， 令，即，解得， 当时，，所以在上是严格减函数， 当时，，所以在上是严格增函数，对应选项D. 【点拨】判断对数型函数的单调性，求导后通过分析导函数的正负区间即可得出结论. 2.函数的单调递增区间是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，可得或， ∴函数的定义域为. 求导可得， 当时，，由函数定义域可知，， ∴函数的单调递增区间是. 【点拨】求复合对数函数的单调区间，必须先求出函数的定义域，再在定义域内研究单调性. 3.（2025·江西·5月联考）已知函数的定义域为，对于任意的，都有.若，且在时恒成立，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，∴由，可得， 即. 令，则可知在上单调递增. . 由可得，即， 则在时恒成立，解得. 【点拨】将不等式两边同除以，构造新函数，利用其单调性将函数不等式转化为自变量的不等式是解题关键. 4.（2026·泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ 　　） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 【答案】D 【解析】∵，即，故函数为奇函数， 设， 则， 由题意，当时，， ∴在上单调递增， 又∵为偶函数，故为奇函数， ∴在上单调递增， 图象连续不断且， ∴在上单调递增， ∴当时，，∴； 同理当时，∴， 对于A，，∵，∴，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，∴有且只有一个零点，故D正确. 【点拨】根据已知不等式构造函数，利用导数判断其单调性，结合奇偶性得出的符号分布. 5.已知函数. 若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意，不妨取，则可转化为， 即. 令，则对任意，且，都有， ∴在上单调递增，即在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 令，得，令，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即实数的取值范围是. 【点拨】将两点连线斜率的不等式转化为构造新函数的单调性问题，再通过分离参数法求最值. 6.（2025·广东·5月测评）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，对称轴为， ∵函数在上是增函数， ∴要想函数在区间上单调递增， 只需函数在上为增函数，且在区间上恒成立. 当时，满足，解得； 当时，在区间上单调递增恒成立； 当时，满足，解得. 综上得实数的取值范围是. 【点拨】复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，同时必须保证内层函数在给定区间上恒大于0.注意对参数的符号进行讨论. 7.若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵函数的定义域为， ∴，即， ， 令，得或（舍去）， ∵在定义域的一个子区间内不是单调函数， ∴，得， 综上，. 【点拨】函数在某区间内不单调，等价于导函数的变号零点在该区间内部.注意定义域的限制条件. 8.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵函数在区间上存在单调增区间， ∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立. ， 设，则或， 即或，得. 【点拨】存在单调递增区间，即导数大于0在给定区间上有解.转化为二次函数在闭区间上的最值问题或端点值问题. 9.（2026·宜春·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ 　　） A. 当时， B. 曲线在处的切线斜率为 C. 方程在区间内恰有两个实根 D. 当时， 【答案】BD 【解析】对于A选项，当时，，，因为是奇函数，所以，故A错误； 对于B选项，当时，，，故B正确； 对于C选项，当时，，当时，，所以在上单调递增，方程在区间内没有实根，故C错误； 对于D选项，当时，设，，所以在上单调递增，，即，故D正确. 【点拨】利用奇函数的性质求出时的解析式，再分别求导判断单调性和切线斜率，构造新函数证明不等式. 10.（2025·沧州运东五校·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ 　　） A. 若在上单调递减，则的最大值为 B. 当时， C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有个交点 【答案】BCD 【解析】，由，解得，∴的最大值为，故A不正确； 当时，，即.设，则，∴在处取得最小值，故B正确； 当时，，即.由B选项的过程知，在时，，∴在上单调递减，，故C正确； 画出的图象，可知存在直线，使得与的图象有个交点，故D正确. 【点拨】求导得到单调区间，构造函数研究其最小值，结合函数图象特征判断交点个数. 11.（2026·肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】AB 【解析】∵函数在上单调递增，∴原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”. 又∵， ∴，故A错误、B正确； 此时在上单调递增，在和上单调递减， ∴在上单调递增，在和上单调递减，故C正确、D错误. 【点拨】复合函数的单调性由内层函数决定，三次函数的单调性由导数决定，结合二次函数的开口方向即可判断参数符号. 12.函数(、为正数)的严格减区间是＿＿＿＿＿＿. 【答案】与 【解析】由题得.由，令解得或. ∴函数的严格减区间是与. 【点拨】求导后解不等式，注意定义域，单调区间不能用并集符号连接. 13.已知函数的单调递减区间是，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】函数，则导数， 令，即， ∵，的单调递减区间是， ∴是方程的两根， ∴， ∴. 【点拨】单调递减区间即为导数小于0的解集，转化为一元二次方程的根，利用韦达定理求解. 14.（2026·肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为＿＿＿＿＿＿.（结果用区间表示） 【答案】 【解析】∵，构造函数， ∵，∴函数是增函数， ∵，∴， ∵，∴， ∴原不等式即，解得， ∴不等式的解集为. 【点拨】遇到，常构造函数，利用其单调性解不等式. 15.（13分）已知函数. 讨论函数的单调性. 【答案】见解析 【解析】∵，其定义域为， ∴. 2 分 ∵，若，即时，恒成立， 在上单调递增； 6 分 若，即时，令，得； 令，得， ∴在上单调递增，在上单调递减. 11 分 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 13 分 【点拨】求导后，根据参数的取值范围分类讨论导函数的符号，从而确定函数的单调区间. 16.（15分）（2026·滨州·二模）已知函数. （1） 若，求曲线在点处的切线方程； （2） 若存在，使，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当时，，则， 2 分 ∴，又， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 5 分 （2）易知的定义域为，且， ∵，令，得到或(舍去)， 当时，，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， 8 分 ∴. 又由题意知，存在，使，∴. 10 分 令，则， 令，则， ∴当时，，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， 13 分 ∴， ∴，∴在上单调递增， 又，∴当时，， 故的取值范围为. 15 分 【点拨】存在性问题通常转化为最值问题，即求出函数的最小值，令最小值小于给定表达式，再构造新函数利用导数求出参数范围. 17.（15分）（2026·深圳·一模）已知函数. （1） 当时，求的单调区间； （2） 若有两个零点. （i） 求的取值范围； （ii） 证明：. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（i） （ii）证明见解析 【解析】（1）当时，，定义域为， . 令，即，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 4 分 （2）（i）. 若，，单调递增，至多一个零点，不合题意. 若，令，即，解得. 7 分 在单调递增，在单调递减. . ∵，即，， ∴. 令，解得， 10 分 此时. （ii）证明：由（2）（i）知，，其中. 下证： ()，即证. 12 分 设 ()，. 令，得. 于是在上单调递增，在上单调递减， 则，即证. ∴. 15 分 【点拨】利用导数求出函数的极值点，将极值表达式中的参数替换，转化为关于极值点的新函数，再通过构造函数证明不等式. 18.（17分）（2026·合肥·一模）已知函数. （1） 当时，讨论的单调性； （2） 当时，，求的取值范围； （3） 设，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）证明见解析 【解析】（1）当时，，， ∴当时，；当时，. ∴函数在区间单调递减，在区间单调递增. 4 分 （2）∵，∴当时，，由（1）知. 7 分 当时，. 又当时，，， ∴，即. ∴在区间单调递减，∴，不符合题意. 综上，的取值范围是. 10 分 （3）证明：原不等式应为. 由（1）知，当时，函数在区间单调递增， ∴当时，，即， ∴当时，. 13 分 当时，，则有. 易证，∴. ∴. ∴. 记，∴. ∴. 17 分 【点拨】利用前面得出的函数不等式进行放缩，结合裂项相消法求和是证明数列不等式的常用技巧. 19.（17分）（2025·高邮·一模）已知函数，. （1） 讨论的单调性； （2） 若过点恰有条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3） 若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】（1），. 若，则在上恒成立，在为增函数； 若，由；由. ∴函数在上递减，在上递增. 4 分 （2）设切点，切线斜率：， 所以切线方程为：. ∵切线过点，∴. 整理得： (). 7 分 设 ()，则 (). 由，由. ∴在上递减，在上递增. 又过点恰有2条与的图象相切的直线，∴直线与的图象有两个不同交点. ∵，，，∴. 即所求的取值范围为. 11 分 （3）当时，，，. 设，则. 假设存在， ()，使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率， 即， ∵，∴. 14 分 设 ()，则 (当且仅当时取“=”). 但，∴在恒成立. ∴在上单调递增，又. ∴在上恒成立. 即方程在上无解. 即满足条件的点不存在. 17 分 【点拨】处理切线问题时，通常先设出切点坐标，利用导数求出切线方程，再将已知点代入转化为方程根的个数问题. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $