第14讲 导数的概念与运算·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦导数概念与运算，通过多地区模拟题构建概念理解-几何应用-综合应用的逻辑链条，覆盖高频考点，强化数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题（如第1、2题）|定义辨析与充要条件判断|导数定义→极限运算| |几何应用|8题（如第4、14题）|切线方程及倾斜角相关计算|导数几何意义→切线斜率关系| |综合应用|8题（如第15、16题）|函数零点与不等式证明|导数应用→函数性质分析|

第14讲 导数的概念与运算 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 A B D B C 6 7 8 9 10 A D B AC ACD 11 12 13 14 15 ACD （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2）证明见解析 （3） （1） （2） （1） （2） （1） （2）（i） （ii） 1.若函数在处可导，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由导数定义可得，所以. 【点拨】本题考查导数的定义，掌握导数的极限形式是解题关键.注意增量的一致性. 2.（2026·邯郸一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，得.由曲线在处的切线的倾斜角为，可得，解得或.故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件. 【点拨】本题考查曲线的切线方程与常用逻辑用语，考查数学运算与逻辑推理的核心素养. 3.（2025·五个一4月联考）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，切线方程为，即.联立，消去整理得，由直线与曲线相切可得，解得. 【点拨】本题考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题，求出切线方程后利用判别式等于0求解是解题关键. 4.（2025·上进3月联考）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以.因为的图象在处的切线过原点，则，即，整理得.设，则在上单调递增，且，，所以. 【点拨】本题考查导数的几何意义，利用切线过原点建立方程，再转化为函数的零点所在区间问题是解题关键. 5.（2026·南通一模）函数的图象有公共点，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数，与图象有公共点，即关于的方程有实根.令，则，令得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.为使关于的方程有实根，只需，所以. 【点拨】将两函数图象的交点问题转化为方程有解问题，进而构造新函数求最值是解决此类问题的常用方法. 6.（2025·郑州外国语5月调研）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，当时，，；当时，，.则，，因为直线与互相垂直，所以，即.由图象可知，，则，，所以直线方程为，当时，，故点，同理，直线方程为，当时，，故点，所以. 【点拨】本题考查导数的几何意义及切线方程的求解，利用两直线垂直斜率乘积为-1建立联系是解题关键. 7.（2025·广东六校5月联考）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设切点为，则，，切线斜率，切线方程为，代入，可得，整理可得，由题意可得该方程有两个解，则，即，解得或.故的取值范围为. 【点拨】本题考查过某点的切线条数问题，通常设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将切线过定点转化为关于切点横坐标的方程，再由方程解的个数求参数范围. 8.（2024·银川二中一模）已知实数满足，，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，又，表示点与曲线上的点之间的距离；点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；令，则，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即为点到直线的距离，的最小值为. 【点拨】利用两点间距离公式的几何意义，将代数式的最值问题转化为曲线上一点到直线的距离的最小值问题，结合导数求出平行于已知直线的切线切点是解题关键. 9.（2026·石家庄一模）已知函数，，，则 A. B. 函数的零点为 C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】由，得，A正确.由，得，解得，B错误.，当且仅当即时等号成立，所以曲线上任意一点处切线的斜率，倾斜角不小于，C正确.在和上单调递增，但，，，D错误. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的性质及切线问题.注意基本不等式求最值及分段单调性不能跨定义域区间比较. 10.（2024·广东名校5月押题）若函数的图象上至少存在两个不同的点，，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】对于A，，存在，，使成立，A正确.对于B，，不存在，，使成立，B错误.对于C，，存在，使得成立，C正确.对于D，，存在，，使成立，D正确. 【点拨】理解“垂切函数”的新定义，将其转化为导函数的值域中存在两个实数乘积为-1是解题的关键. 11.（2026·东莞二模）若直线与曲线相交于不同两点，，曲线在，点处的切线交于点，设的斜率为，的斜率为，则 A. 时， B. C. D. 【答案】ACD 【解析】对于A，时，，又过原点作曲线的切线，设切点为，，则切线方程为，又过，，解得，即过原点与曲线相切的直线方程为，又直线与曲线相交于不同两点，，故A正确； 对于B，不妨取，，则曲线在处的切线方程分别为，，解得，此时，故B错误； 对于C，不妨取，则，曲线在处的切线方程为，设，则，令，解得，时，，单调递减，时，，单调递增，，即（当且仅当时取等），由题易知，，又，所以单调递增，且，，则，故C正确； 对于D，由题可知，，，，不妨取，则，，令，则，令，，令，，时，，在单调递增，，则，在单调递增，则，，即，故D正确. 【点拨】本题考查导数的综合应用，涉及切线方程、函数单调性与最值，构造函数证明不等式是解题难点. 12.（2024·大连育明高中一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意可知，令，则，解得，由，得，即，令，得，即，解得. 【点拨】本题考查复合函数的求导法则，通过赋值法求出函数值，再对恒等式两边求导是解题关键. 13.（2026·济宁二模）曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，得，则曲线在处的切线斜率，所以切线方程为，即. 【点拨】本题考查导数的几何意义，求出导函数后代入切点横坐标得到切线斜率，再用点斜式写出方程即可. 14.（2026·周口一高一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设曲线上的切点为，又因为，所以直线，即.设曲线上的切点为，又因为，所以直线，即.因为是公切线，所以，解得，所以，所以在轴上的截距为. 【点拨】公切线问题通常分别设出两曲线上的切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程组求解. 15.（13分）（2026·南通一模）已知且，函数. （1） 若，求函数在处的切线方程； （2） 若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 当时，，则， 故， 2 分 时，，故切点为， 4 分 所以在处的切线方程为， 即. 6 分 （2） 函数有两个零点， 方程在上有两个根， 方程在上有两个根， 函数与的图象在上有两个交点， 8 分 设，则， 时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由，，当时，，当时，， 10 分 由图得，即， 设，则， 时，；时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为时，且， 所以当时，；当时，， 又因为， 12 分 所以的解集为， 综上所述. 13 分 【点拨】本题考查利用导数研究切线方程及函数的零点问题.处理零点问题时，分离参数并构造函数，利用导数研究其单调性与极值是通法. 16.（15分）（2026·A10联盟4月联考）已知函数，. （1） 当时，过点作直线与曲线相切，求切点坐标； （2） 若，且，求证：（其中为的导数）. （3） 若关于的不等式恒成立，求实数的取值构成的集合. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 （1） 当时，，， 设切点坐标为， 则直线的方程为， 2 分 将代入，得， 即. 3 分 令，易知在上单调递增， 又，所以方程有唯一解， 故切点坐标为. 5 分 （2） 证明：，，， 即. 6 分 要证：，即证：，即证：， 又因为，即证. 7 分 令，则，欲证上式成立，等价于证明. 8 分 设函数，则， 是上的增函数，所以，即成立， . 11 分 （3） ，则， 令，由得或（舍去）， 在上，，在上，， 在上单调递增，在上单调递减， . 13 分 恒成立，. 又，，解得. 综上，的取值集合为. 15 分 【点拨】本题考查导数的综合应用，涉及切线方程、极值点偏移问题及不等式恒成立求参数，利用对数平均不等式或构造函数法处理极值点偏移是难点. 17.（15分）（2024·吉安六校5月联考）已知函数. （1） 当时，求曲线在处的切线方程； （2） 若函数有2个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 当时，，所以， 2 分 所以，因为， 4 分 所以曲线在处的切线方程为， 即. 6 分 （2） ，若，，在上单调递增，不满足题意， 8 分 若，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 10 分 且当和时，， 故，解得， 13 分 即的取值范围是. 15 分 【点拨】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数，通过分类讨论参数确定单调性与极值是解题关键. 18.（17分）（2026·马鞍山二模）曲线在点处的切线为. （1） 求直线的方程； （2） 若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 因为，所以， 2 分 所以，又， 4 分 所以直线的方程为，即. 6 分 （2） 直线与曲线在轴右侧只有一个公共点， 即方程在上只有一个解， 即在上只有一个解， 9 分 设，则. 12 分 令得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 15 分 又当时，；当时，. 所以要使在上只有一个解，只需. 所以. 17 分 【点拨】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究方程的根，通过分离参数构造函数求最值是解题的常用方法. 19.（17分）（2024·广东名校5月押题）已知函数，. （1） 曲线与在处的切线分别是，，且，求的方程； （2） 已知. （i） 求的取值范围； （ii） 设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小. 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 （1） ，. 因为两切线平行，所以，即，即. 因为，所以，解得. 3 分 所以直线与曲线相切于点，斜率为0. 所以的方程为，即. 4 分 （2）（i） 设. 设，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因，所以. 6 分 若，则当时，，又，，不合题意. 7 分 若，则，不合题意. 8 分 若，则关于的方程有两个不相等实根，设为，所以，且. 当变化时，，变化情况如下表： 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 设，则，同上可证. 所以，， 所以. 9 分 综上所述，的取值范围为. 10 分 （ii） ， . 设，则，在单调递减. 因为，所以. 12 分 若，则，，，所以存在，使得，. 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减. 是的极大值点，且. 14 分 设，则，所以在区间单调递减，即当时，，①. 所以，所以，即. 15 分 由得，. 设，则，单调递增， 所以. 所以. 17 分 【点拨】本题考查导数的综合应用，涉及切线平行、不等式恒成立求参数范围及极值最值的比较.通过构造函数并利用隐零点代换是解决第二问的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 导数的概念与运算·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若函数在处可导，且，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·河北邯郸·一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（2025·河北五个一·4月联考）已知函数，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2025·江西上进·3月联考）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·江苏南通·一模）函数的图象有公共点，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 6.（2025·郑州外国语·5月调研）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（ 　　） A. B. C. D. 7.（2025·广东六校·5月联考）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 8.已知实数满足，，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·河北石家庄·一模）已知函数，，，则（ 　　） A. B. 函数的零点为 C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D. 若，且，则 10.（2024·广东名校·5月押题）若函数的图象上至少存在两个不同的点，，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（ 　　） A. B. C. D. 11.（2026·广东东莞·二模）若直线与曲线相交于不同两点，，曲线在，点处的切线交于点，设的斜率为，的斜率为，则（ 　　） A. 时， B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·山东济宁·二模）曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·河南周口·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2026·江苏南通·一模）已知且，函数. （1） 若，求函数在处的切线方程； （2） 若函数有两个零点，求实数的取值范围. 16.（15分）（2026·安徽A10·4月联考）已知函数，. （1） 当时，过点作直线与曲线相切，求切点坐标； （2） 若，且，求证：（其中为的导数）. （3） 若关于的不等式恒成立，求实数的取值构成的集合. 17.（15分）（2024·江西吉安·5月联考）已知函数. （1） 当时，求曲线在处的切线方程； （2） 若函数有2个零点，求的取值范围. 18.（17分）（2026·安徽马鞍山·二模）曲线在点处的切线为. （1） 求直线的方程； （2） 若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值. 19.（17分）（2024·广东名校·5月押题）已知函数，. （1） 曲线与在处的切线分别是，，且，求的方程； （2） 已知. （i） 求的取值范围； （ii） 设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $