2.3 函数奇偶性、周期性、对称性及其应用【11大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性、周期性、对称性三大性质，以11个递进式考点构建从定义判断到综合应用的知识体系，强化性质内在逻辑与解题迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶性|16题|定义判断、解析式求法、参数求解、不等式应用|从概念辨析到性质应用，形成完整解题链| |周期性|8题|解析式推导、函数值计算、综合应用|基于周期定义，拓展跨区间问题解决| |对称性|20题|解析式求法、单调性研究、参数与函数值计算|结合图像对称特征，深化性质综合运用|

2.3 函数奇偶性、周期性、对称性及其应用 11大考点汇总 考点01 函数奇偶性的定义与判断 考点02 由奇偶性求函数解析式 考点03 利用奇偶性求参数 考点04 利用函数奇偶性解不等式 考点05 利用周期性求函数的解析式 考点06 函数周期性的应用 考点07 利用函数的周期性求函数值 考点08 利用对称性求函数的解析式 考点09 函数对称性的应用 考点10 利用对称性研究单调性 考点11 由函数对称性求函数值或参数 题型专练 考点01 函数奇偶性的定义与判断 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断. 【详解】对于A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误； 对于B，因为，所以函数是偶函数，故错误； 对于C,在上单调递减，故错误； 对于D，因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确； 2．（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 3．判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)即是奇函数也是偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称． ，故为奇函数； （2）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数； （3）因为，所以，即函数的定义域为， 不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数； （4）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以．又， 所以是奇函数； （5）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称．因为对定义域内的每一个， 都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数； （6）因为，所以，所以的定义域为， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数． 故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函数 4．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨函数的奇偶性并排除两个选项，再由时的函数值正负排除并判断即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数是偶函数，图象关于轴对称，排除CD； 当时，，，排除B，选项A符合题意. 故选：A 考点02 由奇偶性求函数解析式 5．已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 6．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，采用解方程组的方法可求出的解析式，代入数值计算，即得答案. 【详解】由题意知函数为偶函数，为奇函数，且满足， 则，即， 故，则， 故选：D 7．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 当时，， 所以当时，. 故选：B 8．已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据函数奇偶性得，再结合题设求出函数解析式结合指数、对数运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为： 考点03 利用奇偶性求参数 9．若函数为奇函数，则____． 【答案】1 【详解】函数定义域为，关于原点对称，因为函数为奇函数， 所以，，， 所以，即，整理得对定义域内的恒成立，解得. 10．已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 11．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由，， 因为函数是偶函数，则， 即，则， 即恒成立，可得. 12．已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称且对称轴为轴可构造方程组求得，进而求得结果. 【详解】是定义域为的偶函数， ，解得：，，. 故选：A. 考点04 利用函数奇偶性解不等式 13．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 14．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数与在上单调递增， 所以在上单调递增． 因为函数是定义域为R的偶函数，且， 所以由，或， 所以原不等式的解集为． 15．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，且.若，则x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】结合已知根据已知条件将原不等式转化为或，即可得解. 【详解】定义在R上的偶函数在上是增函数，且， 根据偶函数的对称性可知，在上是减函数，， 若，则或， 即或， 即或． 故答案为：或 16．设函数，则不等式的解集为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，即为偶函数， 当时与，与均在上单调递增， 所以与均在上单调递增， 所以在上单调递增，则不等式等价于， 即，解得或， 即不等式的解集为. 故选：B. 考点05 利用周期性求函数的解析式 17．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期性求函数解析式. 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 18．已知定义在上的函数以4为周期，当时，，求当时的最小值． 【答案】 【分析】设，利用周期性得，即可求最小值. 【详解】设，则，又函数的周期为4， 所以， 当时取等号，即所求最小值为. 19．设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝________． 【答案】 【分析】利用函数的周期性和奇偶性，可得，结合的范围以及已知条件，即可求得答案. 【详解】当时，，则， 因为当时，，所以． 因为是周期为2的奇函数， 所以， 故答案为： 20．定义域为的奇函数满足，当时，，且. (1)当时，画出函数的图象，并求其单调区间、零点； (2)求函数在区间上的解析式. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）利用条件得出，计算结合对数函数的图象与性质作图并求单调区间与零点即可； （2）利用（1）的结论及求解析式即可. 【详解】（1）由题意可知：， 所以， 即，则时， 令，则， 综上， 作图如下： 结合对数函数的单调性与奇函数的性质知的单调递增区间为，无单调递减区间， 且其零点有三个，分别为； （2）因为，则， 当时,, 当时,, 当时,， 则. 考点06 函数周期性的应用 21．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以，， 所以， 因为当时，，所以，所以. 22．已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据周期性及偶函数的性质得到，，再比较、、的大小，结合函数在上的单调性即可判断. 【详解】因为，所以是以为周期的周期函数， 又为偶函数，所以，， 又且在上单调递减， 所以， 即. 故选：D 23．若偶函数对任意都有，且当时，，则______． 【答案】 【分析】由题意求得，可得的周期为6，则，即可求解. 【详解】由，且当时，， 得， ， 则是以6为周期的函数， 所以. 故答案为： 24．（多选）已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 【答案】ACD 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】对于A，由定义域为且函数为奇函数，可得，A选项正确； 对于B，由，可得，则函数关于直线对称，B选项错误； 对于C，由以及奇函数性质可知， 可得，即可得，即C选项正确； 对于D，根据C中的结论可知， 即可得，函数的一个周期为，D选项正确； 故选：ACD. 考点07 利用函数的周期性求函数值 25．已知函数满足．当时，，则________． 【答案】8 【详解】因为，所以是以3为周期的周期函数，所以． 26．若函数满足.且当，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据条件，得到的一个周期为，从而有，再代入，即可求解. 【详解】因为，则，所以的一个周期为， 所以，又，所以，则， 故选：C. 27．已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由周期性、奇函数性质转换即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且， 则. 故选：D. 28．已知是定义在上且周期为2的函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】利用函数的周期性求得，，即可得解. 【详解】是定义在上且周期为2的函数，当时，， 则， ， 所以. 故答案为： 考点08 利用对称性求函数的解析式 29．已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 【答案】 【分析】在函数上取点，设为关于点的对称点，利用对称关系列出变换方程组，求得，代入，整理即得的解析式. 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得 因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 30．已知函数与的图象关于点对称，则______． 【答案】 【分析】设是上一点，关于点的对称点为，得到，将其代入函数的解析式，即可求得的解析式. 【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得， 将其代入函数，可得，所以， 即. 故答案为：. 31．下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 32．若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝________． 【答案】ln （4－x） 【分析】利用对称的定义求解即可. 【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）, 即, 故答案为： 考点09 函数对称性的应用 33．写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意知图象关于点对称，再结合正比例函数构造即可； 【详解】由③得函数图象关于点对称， ，则可取，符合①②③. .（答案不唯一） 34．（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 【答案】ABC 【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 35．若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 36．（多选）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的对称性求解判断即可. 【详解】对于A，，满足，图像关于中心对称，故A满足； 对于B，是偶函数，关于轴对称，故B错误； 对于C，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为， ，所以函数图像的对称中心为，故C满足； 对于D，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为1， 所以函数图像的对称中心为，故D满足． 考点10 利用对称性研究单调性 37．已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（   ） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 38．如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 39．设定义域为R，对任意的都有，且当时，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，可得关于对称，所以，根据时的解析式，可得其单调性，根据对称性，可得时的单调性，根据自变量的大小关系，可得函数值的大小关系，即可得答案. 【详解】因为，所以关于对称， 因为当时，，单调递增， 所以当时，单调递减， 因为， 所以. 故选：B 40．已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称． 因为在上单调递增，所以在上单调递减． 因为，所以，解得． 故选：A. 考点11 由函数对称性求函数值或参数 41．已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【答案】2 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 42．（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正切型函数的对称性逐一判断即可. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，则. A：令，符合题意； B：令，不符合题意； C：令，符合题意； D：令，不符合题意， 故选：AC 43．函数的图像关于点中心对称，则_____. 【答案】/ 【分析】根据对称中心求得，从而求得. 【详解】函数的图像关于点中心对称， 所以，解得， 所以. 故答案为： 44．已知，则__________． 【答案】/ 【分析】由题可得且，即可求解. 【详解】由题知，且， 所以. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 函数奇偶性、周期性、对称性及其应用 11大考点汇总 考点01 函数奇偶性的定义与判断 考点02 由奇偶性求函数解析式 考点03 利用奇偶性求参数 考点04 利用函数奇偶性解不等式 考点05 利用周期性求函数的解析式 考点06 函数周期性的应用 考点07 利用函数的周期性求函数值 考点08 利用对称性求函数的解析式 考点09 函数对称性的应用 考点10 利用对称性研究单调性 考点11 由函数对称性求函数值或参数 题型专练 考点01 函数奇偶性的定义与判断 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 3．判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 4．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 考点02 由奇偶性求函数解析式 5．已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 6．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足，则（    ） A． B． C．0 D． 7．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 8．已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为______． 考点03 利用奇偶性求参数 9．若函数为奇函数，则____． 10．已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 12．已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点04 利用函数奇偶性解不等式 13．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 14．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 15．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，且.若，则x的取值范围是______． 16．设函数，则不等式的解集为（   ）. A． B． C． D． 考点05 利用周期性求函数的解析式 17．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 18．已知定义在上的函数以4为周期，当时，，求当时的最小值． 19．设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝________． 20．定义域为的奇函数满足，当时，，且. (1)当时，画出函数的图象，并求其单调区间、零点； (2)求函数在区间上的解析式. 考点06 函数周期性的应用 21．设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 22．已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．若偶函数对任意都有，且当时，，则______． 24．（多选）已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 考点07 利用函数的周期性求函数值 25．已知函数满足．当时，，则________． 26．若函数满足.且当，则（    ） A． B．2 C． D．1 27．已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（    ） A． B． C． D． 28．已知是定义在上且周期为2的函数，当时，，则______． 考点08 利用对称性求函数的解析式 29．已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 30．已知函数与的图象关于点对称，则______． 31．下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 32．若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝________． 考点09 函数对称性的应用 33．写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 34．（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 35．若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 36．（多选）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 考点10 利用对称性研究单调性 37．已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（   ） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 38．如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 39．设定义域为R，对任意的都有，且当时，，则有（ ） A． B． C． D． 40．已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点11 由函数对称性求函数值或参数 41．已知函数的图象关于点对称，则_______________． 42．（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 43．函数的图像关于点中心对称，则_____. 44．已知，则__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $