精品解析：广东江门市鹤山市纪元中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

纪元中学2025-2026学年度第二学期高二月考 数学试卷 （考试时长：120分钟） 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________ 一、单选题（共8小题40分） 1. 2和8的等比中项为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 或4 2. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 2028 B. 2029 C. D. 5. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 110 B. 150 C. 180 D. 210 7. 等比数列的前n项和，则（ ）. A. B. C. D. 8. 如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形．每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变．用上述方法无限操作下去．操作第1次得到图②，操作第2次得到图③……，在下图3个大三角形中，白色三角形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题18分） 9. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. （多选）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 11. 若数列为等差数列，为其前项和，，，，则下列说法正确的有 （ ） A. 公差 B. C. D. 使的最小正整数为 三、填空题（（共3小题18分） 12. 在等差数列中，，则的值为______. 13. 等比数列的前项和为，若，，则______. 14. 若数列满足．则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若直线与曲线相切．求实数的值． 16. 已知等差数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 17. 已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和． 19. 设数列的前项和为，已知． （1）求的通项公式． （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 纪元中学2025-2026学年度第二学期高二月考 数学试卷 （考试时长：120分钟） 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________ 一、单选题（共8小题40分） 1. 2和8的等比中项为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等比中项的性质直接求解即可得答案. 【详解】解：根据题意结合等比中项的定义得：2和8的等比中项为. 故选：D. 【点睛】本题考查等比中项的定义，是基础题. 2. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式分别计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3. 一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行求导，将代入导函数中即可求出答案. 【详解】因为，所以， 当时，， 则质点在时的瞬时速度为. 故选：B. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 2028 B. 2029 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得答案. 【详解】因为，所以数列是等差数列，且公差为， 所以. 故选：C 5. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据导数的定义结合分析判断即可，对于B，先求出导函数，再由解方程求解判断，对于C，利用导数的运算法则求解判断，对于D，先求出，然后令，可求出进行判断. 【详解】对于A，因为函数在上可导，且， 所以，所以A错误， 对于B，由，得，则由，得，解得，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，由，得， 所以，解得，所以D正确. 故选：D 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 110 B. 150 C. 180 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可解出答案. 【详解】若是等比数列，为其前项和，且，都不为0，则， 也成等比数列， 因为， 所以， 设，则， 所以，， ， ， 因此，. 故选：D 7. 等比数列的前n项和，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的前n项和求出首项，再求出时的通项公式，代入即可得到结论. 【详解】在等比数列中，由前n项和，则， 当时，由， 所以，即. 故选：D 8. 如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形．每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变．用上述方法无限操作下去．操作第1次得到图②，操作第2次得到图③……，在下图3个大三角形中，白色三角形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，和等比数列的定义，求出等比数列的通项公式，再根据分组求和法，求出数列前n项和. 【详解】由题图可知，， 分析可得递推关系式：， 则有，又， 所以，则有，所以为等比数列， 首项为，公比为3，所以，得， 则． 故选：B． 二、多选题（共3小题18分） 9. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的通项公式直接计算. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，，则，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，，所以，D选项正确； 故选：ABD. 10. （多选）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，设出公比，得到，A正确；B选项，不是常数，B错误；C选项，不恒为0，C错误；D选项，，D正确. 【详解】A选项，因为是等比数列，设， 则，故A正确； B选项，，不是常数，故B错误； C选项，，不恒为0，故C错误； D选项，，故D正确． 故选：AD 11. 若数列为等差数列，为其前项和，，，，则下列说法正确的有 （ ） A. 公差 B. C. D. 使的最小正整数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】推导出，，，可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；利用等差数列的基本性质和作差法可判断C选项；由可得出，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，， 则，，， 所以，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，则，C错； 对于D选项，因为，， 由，可得，则， 因为，所以数列单调递减，由可得， 所以，使的最小正整数为，D对. 故选：ABD. 三、填空题（（共3小题18分） 12. 在等差数列中，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项性质运算即可. 【详解】因为在等差数列中，若，则， 且等差中项，所以， 得到，故. 故答案为： 13. 等比数列的前项和为，若，，则______. 【答案】63 【解析】 【分析】由和的关系求出的值，从而求出的值，然后求 【详解】， ∴， ∴， ∴. 故答案为： 14. 若数列满足．则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的第2025项，再减去即可. 【详解】由题可设，则， ，故， 结合，可得是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 则， 故., 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若直线与曲线相切．求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，在一点处的导数值等于在这点处切线的斜率，利用点斜式写出切线方程即可； （2）利用直线与曲线有公共点切点，利用设出切点，代入曲线和直线中求出切点坐标，即可求出实数的值． 【小问1详解】 由可得； 则，切点为； 故切线方程为，即； 【小问2详解】 设切点坐标，则，； 则切线方程为， 即，整理得； 因为切线方程为，故，解得； 故． 16. 已知等差数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以 . 17. 已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法即可得到答案. 【小问1详解】 设数列的公差为，则． 由得，化简得， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则， ， 两式相减得， 所以． 18. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：因为. 又， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明. （2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式. （3）利用“裂项相消法”求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， 所以，，，…，. 以上各式相加得：. 所以. 【小问3详解】 ， 所以， 所以. 19. 设数列的前项和为，已知． （1）求的通项公式． （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 由题意可知，和插入个数后，共个数成等差数列，是第1项，是第项， 因此，代入，得，故， 假设存在三项满足条件：成公差不为的等差数列，且成等比数列， 则， 将代入等比条件：， 约去，由得，因此， 整理得：, 将代入上式得：， 即，与公差不为零矛盾，故不存在这样的三项. 【解析】 【分析】（1）利用及与的递推关系，正确得出； （2）由插入个数后形成等差数列，正确求出公差，假设存在满足条件的三项，结合成等差数列（公差非零）及等比条件，推导得到即，与公差不为零矛盾. 【小问1详解】 已知，当时，，解得； 当时，， 两式相减得：，整理得， 因此是首项为、公比为的等比数列，通项公式为：. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $