精品解析：广东江门市鹤山市第一中学2025-2026学年度第二学期第一阶段考试高二数学试卷

鹤山一中2025－2026学年度第二学期第一阶段考试 高二数学试卷 2026.4 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 记等差数列的前n项和为，已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】因为为等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为为等差数列，则，解得. 3. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 4. 等差数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 均为的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案. 【详解】由题意， 所以．故C正确． 无法判断的正负，故A、B、D错误. 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有（ ）种 A. 144 B. 192 C. 216 D. 288 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑法处理甲乙，根据“特殊元素优先考虑”原则先安排丙，利用排列组合与计数原理即可得解. 【详解】把甲乙捆绑在一起处理共有种方法，此时相当于有个元素， 丙不坐在两端则丙有种选法， 然后对剩下的三名同学和甲乙一起进行全排列即可，共有种方法. 不同的排列方式共有种. 故选：A 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出. 【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列， 所以，由题可得，解得， 所以，塔的顶层的灯数是3. 故选：C. 7. 设点为函数图象上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∴. 又点为函数图象上的任意一点，点处的切线的倾斜角为， ∴， ∵， ∴. 8. 函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，分析可得在定义域上恒成立，同构结合单调性可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，， 且， 若在定义域内是增函数，则在定义域上恒成立， 可得， 构建，则， 因为在定义域上单调递增， 可知在定义域上单调递增，可得，即， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，所以实数a的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 1.分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2.函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知的展开式中的系数为，则（ ） A. B. 展开式中常数项为 C. 所有项的系数之和为512 D. 二项式系数最大项为第5项或第6项 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出展开式的通项，令的指数等于，即可求出，进而可判断A；令的指数等于，即可判断B；令即可判断C；根据二项式系数的性质即可判断D. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以的展开式中的系数为，所以，故A正确； 对于B，展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中常数项为，故B正确； 对于C，令，则所有项的系数之和为，故C错误； 对于D，由二项式系数的性质可得二项式系数最大项为第5项或第6项，故D正确. 10. 设数列的前项和为，已知，则（ ） A. 为等比数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对两边取倒数，并整理得，进而根据等比数列通项公式计算判断B，再应用等比中项判断A，应用分组求和及等比数列前n项和公式计算即可判断C，D. 【详解】记，由题意，数列满足， 可得 所以， 又，所以，则为常数， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即数列为等比数列，首项为，公比为的等比数列， ，所以，所以，B选项正确； 因为，则，所以不是等比数列，A选项错误； 因为，所以，D选项正确； 因为， 所以，C选项正确； 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列满足，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. 【详解】， ，，，，， ， . 13. 已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为___________ 【答案】20 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，再结合二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的二项式系数和为64，则，解得， 所以二项式系数最大值为. 故答案为：20. 14. 若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】函数，求导得， 令，解得， ，解得或， 在和上单调递减，在上单调递增， 在上存在最大值的条件为，解得． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 若函数，当时，函数有极值． （1）求的值. （2）方程有三个不等实根，则实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由题意可得，，解方程求出即可； （2）利用导数画出的大致图象，令与的图象有三个交点，求出的范围即可. 【小问1详解】 由题意可得， 因为函数有极值，所以，解得， 此时，经检验符合题意， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，令，解得或， 当变化时，，的变化情况如表， 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，有极大值；当时，有极小值． 则函数的图象如图所示： 由图象知要使关于的方程有三个不等实根，则应满足， 即实数的取值范围是. 16. 已知公比大于1的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. 【小问2详解】 由，得， 所以， 两式相减得， 则. 17. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. （1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； （2）求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况， 故， 事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况， 故， 故所求. 【小问2详解】 易知随机变量可能的取值为， 当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球， ， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当时，， 故随机变量的分布列为： 3 4 5 期望为. 18. 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 （1）求的通项公式. （2）证明：数列是等比数列. （3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的相应公式列方程计算得，再求得通项公式； （2）根据递推关系，结合等比数列的定义证明即可； （3）根据裂项求和法得，再结合的单调性，分为奇数与偶数讨论对应的最值即可求得答案. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为, 由得，即，解得 所以. 【小问2详解】 解：由（1）可知，则 由，可得， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 解：由（1）可得 设的前项和为，则 所以，当为奇数时，，随着的增大而减小，可得. 当为偶数时，，随着的增大而增大，可得. 所以的最大值为，最小值为. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【小问1详解】 当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2025－2026学年度第二学期第一阶段考试 高二数学试卷 2026.4 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 记等差数列的前n项和为，已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 4. 等差数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 均为的最大值 5. 甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有（ ）种 A. 144 B. 192 C. 216 D. 288 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设点为函数图象上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知的展开式中的系数为，则（ ） A. B. 展开式中常数项为 C. 所有项的系数之和为512 D. 二项式系数最大项为第5项或第6项 10. 设数列的前项和为，已知，则（ ） A. 为等比数列 B. C. D. 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列满足，则＝______. 13. 已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为___________ 14. 若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 若函数，当时，函数有极值． （1）求的值. （2）方程有三个不等实根，则实数的取值范围. 16. 已知公比大于1的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. （1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； （2）求的分布列和期望. 18. 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 （1）求的通项公式. （2）证明：数列是等比数列. （3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $