精品解析：2026年青海省西宁市虎台中学初三数学 二模试卷

西宁市虎台中学初三数学校二模试卷 出题人：初三数学备课组 审题人：初三数学备课组 试卷满分：120分 考试时间：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列运算结果为正有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600万辆大关，连续第11年稳居全球首位．下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是单项式 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 顺次连接一个四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形 D. 三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 5. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 近年来，某市积极推进无人机等低空装备警务化应用，广泛运用于案件侦查、治安巡逻、活动安保等领域，成效显著．从幸福门出发经环海路到火炬八街，警车治安巡逻需行驶约25公里，无人机空中巡逻航线约20公里，且无人机完成单向巡逻的时间比警车缩短了30分钟．若该无人机的平均速度是警车平均速度的2倍，则无人机的平均速度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是________． 10. 因式分解：________． 11. 已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______． 12. 若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 13. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点在菱形的边上，且的顶点都在小正方形的顶点上，以为圆心，的长为半径画，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：________． 15. 如图，矩形的两边分别在轴，轴上，反比例函数的图象分别与边交于点，若，四边形的面积为，则的值为______． 16. 如图，在中，，，，是边上动点，于，于，连接，则最小值为________． 17. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 18. 如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______． 三、解答题（共8小题，共76分） 19. 计算及解方程 （1）计算： （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 21. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是________分，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为________； （2）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （3）现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两类人群中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 22. 如图，过的顶点C作，E是的中点，连接并延长，交线段于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 23. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，若，求点的坐标； （3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 26. 【问题情境】在数学活动课上，老师让同学们以两个全等的含角的三角尺为操作对象，进行相关问题的探究，如图①≌，其中，，．下面是奋进小组在操作过程中探究的问题，请你解决这些问题． 【操作发现】 （1）奋进小组将两个三角尺按图②的方式放置（点E，A，D，B在一条直线上），连接，，经过观察发现，四边形的形状是______． 【操作探究】 （2）奋进小组在图②的基础上，将沿方向平移至如图③的位置，其中点E与的中点重合，连接，．经过探究后发现四边形是菱形．请你证明这个结论： （3）奋进小组在图③的基础上又进行了探究，将绕点E逆时针旋转至与平行的位置，如图④所示，连接，，请判断此时四边形的形状，并求出此时四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市虎台中学初三数学校二模试卷 出题人：初三数学备课组 审题人：初三数学备课组 试卷满分：120分 考试时间：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列运算结果为正有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“大于0的有理数是正有理数”判断即可． 【详解】解：A、是负有理数，不符合要求； B、，是大于的有理数，符合要求； C、是开方开不尽的数，属于无理数，不符合要求； D、，是负有理数，不符合要求． 2. 根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600万辆大关，连续第11年稳居全球首位．下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据算术平方根，单项式乘单项式法则，积的乘方运算法则，以及分式的加减法进行运算，再判断即可． 【详解】解∶A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查算术平方根，单项式乘单项式法则，积的乘方运算法则，以及分式的加减法法则等内容，依法则进行运算是解题关键． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是单项式 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 顺次连接一个四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形 D. 三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式定义，弧与圆心角的关系，中点四边形性质，三角形内心性质，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、，属于多项式，故该命题是假命题； B、只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故该命题是假命题； C、顺次连接四边形四边中点，根据三角形中位线性质，可得新四边形的两组对边分别平行且相等，符合平行四边形的判定， ∴得到的四边形是平行四边形，故该命题是真命题； D、三角形的内心是角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，而三角形外心才到三个顶点的距离相等，故该命题是假命题． 5. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，平分，， 在中，，， ，  平分， ，  ，  ． 6. 近年来，某市积极推进无人机等低空装备警务化应用，广泛运用于案件侦查、治安巡逻、活动安保等领域，成效显著．从幸福门出发经环海路到火炬八街，警车治安巡逻需行驶约25公里，无人机空中巡逻航线约20公里，且无人机完成单向巡逻的时间比警车缩短了30分钟．若该无人机的平均速度是警车平均速度的2倍，则无人机的平均速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先统一时间单位，再设未知数，根据两种巡逻方式的时间差列方程求解即可. 【详解】先统一单位，分钟小时. 设警车平均速度为，则无人机平均速度为. 时间路程速度，且无人机完成巡逻的时间比警车少小时， 列方程得： 化简得， 解得. 经检验，是原方程的解，符合实际意义. 无人机平均速度为． 7. 已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案． 【详解】解：∵函数的图象经过二、四象限， ∴， 由图知当时，， ∴， ∴抛物线开口向下， 对称轴为，， ∴对称轴在与0之间， 故选：D． 8. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分当时，点在上和当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，当时，点在上， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，点在上，过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，求解后取公共解集即可． 【详解】解：根据题意，二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，可得 解不等式得， 解不等式得， 所以，不等式组的解集为：. 故自变量的取值范围是：． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 11. 已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个正多边形内角的度数为______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】先根据题意列方程求出正多边形的边数，再计算正多边形一个内角的度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∴该正多边形的内角和为， 由题意得， 解得， 该正多边形的内角和为， 则这个正多边形一个内角的度数为． 12. 若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再通过对完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实数根， ∴，， ∴． 13. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点在菱形的边上，且的顶点都在小正方形的顶点上，以为圆心，的长为半径画，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出、、的长度，利用勾股定理逆定理可判断出为等腰直角三角形，即得，，再根据解答即可求解． 【详解】解：勾股定理得，，，， ，  是直角三角形，且，  ∴， ，  是等腰直角三角形，  ，  ∵四边形是菱形， ，  ，  ． 14. 三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据特殊角的三角函数值知， 15. 如图，矩形的两边分别在轴，轴上，反比例函数的图象分别与边交于点，若，四边形的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数的几何意义，结合四边形的面积为及矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设点，则由可得点， 点， ， 四边形的面积为，矩形的面积为， ， 解得． 16. 如图，在中，，，，是边上动点，于，于，连接，则最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点O，连接，过点O作于点G，根据三角函数，垂线段最短求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接， 于，于， ， ， ， ， ， 四点共圆，且为直径， 为该圆的圆心， ， ， 过点O作于点G， ， ， ， ， 故当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短，得当时，最小， ，， ， 最小值为． 17. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识，分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，设直线l交于E，交于F． 由题意：， ∵， ∴， 设， 在中，则有：， ∴， ∴， 当点P在的延长线上时，设， 在中，则有：， 解得， ∴， 故答案为：或15． 18. 如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】添加辅助线，连接，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离． 【详解】如图所示，连接，过点作交ON与点P． ∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段 ∴， ∴ 即 ∵点在线段的垂直平分线上 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 三、解答题（共8小题，共76分） 19. 计算及解方程 （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查二次根式和三角函数的混合运算，其中用到了平方差公式化简分母，根据运算法则计算即可； （2）本题考查一元二次方程计算，该题适合使用公式法，计算前先判断的情况，然后再计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 20. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于是方程的根，那么，可得整体代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 21. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是________分，在扇形统计图中C组对应圆心角的度数为________； （2）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （3）现从C组中选出一男一女，D组中选出两男一女，然后从选出的两类人群中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）；； （2）估计全校成绩不低于80分的人数为人 （3）所选两位同学恰为一男一女的概率为 【解析】 【分析】（1）因为D组人数为10且对应扇形占比，所以用D组人数除以对应占比得到总抽取人数；再用总人数减去A组C组D组的人数得到B组人数；因为总人数为50，所以中位数是排序后第25​和26个成绩的平均数，结合各组人数确定中位数所在组，再根据C组的成绩列表求解；用C组人数除以总人数再乘即可得对应圆心角度数． （2）因为样本中不低于80分的是C组和D组，所以先计算样本中C、D组人数和占总抽取人数的比，再乘全校总人数1200． （3）用列表列出所有等可能的结果，再统计出一男一女的结果数，根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：∵D组共10人，对应占比， ∴总人数为（人）； ∵50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数．A组5人，B组人数为 （人），C组20人，前两组共20人， ∴第25、26个数据都在C组，分别为83和84， ∴中位数为； ∵C组占比为， ∴圆心角为． 【小问2详解】 解：∵成绩不低于80分对应C组和D组，总人数为（人）， ∴全校1200人中，估计人数为：（人）． 答：估计全校成绩不低于80分的人数为人． 【小问3详解】 解：记C组：男生​，女生​；D组：两名男生，女生，列表得所有等可能结果： (男,男) (男,男) (男,女) (女,男) (女,男) (女,女) 共有6种等可能结果，其中“一男一女”的结果有3种， ∴ 答：所选两位同学恰为一男一女的概率为． 22. 如图，过的顶点C作，E是的中点，连接并延长，交线段于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4﹣4 【解析】 【分析】（1）证明△AEF≌△CED，可得AF＝CD，且AF//CD，所以四边形AFCD是平行四边形； （2）过C作CM⊥AB于M ，由CD//AB得，∠B＝180°-∠DCB＝45°，则△BCM为等腰直角三角形，BM=CM，在Rt△ACM中，∠A=60°，则AC＝2AM，BM＝CM＝AM，根据AM＋BM＝AB列方程即可． 【小问1详解】 证明：∵E是AC的中点 ∴AE＝CE ∵CD//AB ∴∠AFE＝∠CDE 在△AEF和△CED中 ， ∴△AEF≌△CED ∴AF＝CD 又∵CD//AB，即AF//CD ∴四边形AFCD是平行四边形． 【小问2详解】 过C作CM⊥AB于M 则∠CMB＝∠CMA＝90° ∵CD//AB ∴∠B＋∠DCB＝180° ∴∠B＝180°﹣135°＝45° ∴∠BCM＝90°－45°＝45° ∴∠B＝∠BCM ∴BM＝CM ∵∠BAC＝60° ∴∠ACM＝30° ∴AC＝2AM ∴BM＝CM＝AM ∵AM＋BM＝AB ∴AM＋AM＝4 解得：AM＝2﹣2 ∴AC＝2AM＝4﹣4． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定、含特殊角的直角三角形三边关系，熟练掌握平行四边形与三角形全等判定定理是解题的基础，正确作出辅助线是第二问求解的关键． 23. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】（1）300，2 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； 【小问2详解】 ∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，若，求点的坐标； （3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先求出点的坐标及直线的解析式，再根据图及题意得出的面积，过点作轴，交于点，设，则，根据的面积，列出关于的方程，解方程即可求解； （）由题意得出为等腰直角三角形，得到是等腰直角三角形，然后分，，三种情况讨论，结合图形，得出边之间的关系，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：对，令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设点，则点， ∴ ， 解得，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由得，抛物线的对称轴为直线 ， ∴点的坐标为， 设点（），（）， ∵和点， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∵与相似， ∴是等腰直角三角形， 如图，当时，， ∴ ， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为； 如图，当时，， ∴ ， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为； 如图，当时，， ∴ ， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是用待定系数法求得抛物线的解析式． 26. 【问题情境】在数学活动课上，老师让同学们以两个全等的含角的三角尺为操作对象，进行相关问题的探究，如图①≌，其中，，．下面是奋进小组在操作过程中探究的问题，请你解决这些问题． 【操作发现】 （1）奋进小组将两个三角尺按图②的方式放置（点E，A，D，B在一条直线上），连接，，经过观察发现，四边形的形状是______． 【操作探究】 （2）奋进小组在图②的基础上，将沿方向平移至如图③的位置，其中点E与的中点重合，连接，．经过探究后发现四边形是菱形．请你证明这个结论： （3）奋进小组在图③的基础上又进行了探究，将绕点E逆时针旋转至与平行的位置，如图④所示，连接，，请判断此时四边形的形状，并求出此时四边形的周长． 【答案】（1）平行四边形 （2）见解析 （3）四边形是矩形， 【解析】 【分析】（1）先根据三角形全等的性质得出，，再根据平行线的判定定理可得，最后根据平行四边形的判定定理即可得； （2）同（1）可知，四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即得证； （3）先利用直角三角形的性质、三角形全等的性质可得，再利用平行线的性质、角的和差可得，从而可得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质、平行线的判定可得，从而可得四边形是平行四边形，再结合即可得四边形是矩形，最后根据三角函数值求出的长即可得出其周长． 【小问1详解】 解：平行四边形，证明过程如下： ∵ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵，且由平移可知， ∴四边形是平行四边形 ∵，点与的中点重合 ∴ ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：在中，， ∴ 同理可得： ∵，点是中点 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∵ ∴ ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∵， ∴ ∴矩形的周长是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $