精品解析：广西南宁市凤岭北路中学2026年6月2026届初中毕业班质量调研数学 试题

2026届初中毕业班质量调研 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 年是农历丙午马年，的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． 2. 我国古代数学家刘徽在如图所示的立体图形中构造了牟合方盖，探索了球体体积的计算公式．该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看到的主视图即可求解． 【详解】解：由几何体可得，从正面看到的主视图为： 3. 电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行．电影于2025年9月18日上映，上映三天其总票房已超7亿人民币，累计观影人次1908万．1908万这个数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，表示即可． 【详解】解：1908万； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 5. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 6. 去年某市有5.6万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（　　） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 5.6万名考生的数学成绩是总体 C. 2000名考生是样本容量 D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、本题仅抽取部分考生成绩进行分析，属于抽样调查，因此A选项说法正确． B、总体是考查对象的全体，本题考查对象为5.6万名考生的数学成绩，因此5.6万名考生的数学成绩是总体，B选项说法正确． C、样本容量是样本中个体的数目，是数值，因此本题样本容量是2000，不是2000名考生，C选项说法错误，符合题意． D、样本是从总体中抽取的部分考查对象，因此2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，D选项说法正确． 7. 自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，垂直定义等．根据题意先作，再利用平行线性质得，继而再利用平行线性质即可得到答案． 【详解】解：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方法则，合并同类项法则，完全平方公式，分式的乘方法则，逐一判断各选项运算是否正确即可． 【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意． 9. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 【答案】D 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26cm 【答案】C 【解析】 【分析】过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，先利用勾股定理求出BC的长，进而根据垂径定理得出AB. 【详解】解：过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D， ∴CD=8，OD=13， ∴OC=OD-CD=5， 又∵OB=13， ∴Rt△BCO中，BC==12， ∴AB=2BC=24． 故选C. 11. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 12. 如图，二次函数图象的对称轴是直线，若该图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②方程中一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，且对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴方程中一定有一个根在和之间， 故②错误； ③∵函数图象经过， ∴， 抛物线的顶点纵坐标为， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，； 当时，， 解得， ∴， 即， ∵， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根， 故③正确； ④∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，二次根式的被开方数为非负数， 因此可得， 解得． 14. 南朝梁元帝在《春日》中写到：“春意春已繁，春人春不见”．现从诗句中随机抽取一个汉字，则抽到的汉字是“春”的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有汉字的总个数，数出“春”字的个数，再根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：诗句“春意春已繁，春人春不见”中，共有汉字个，其中汉字“春”的个数为个， 抽到的汉字是“春”的概率是． 15. 如图，下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为________． 【答案】184 【解析】 【分析】利用已知数据的规律进而得出最后表格中数据，进而利用数据之间关系得出m的值． 【详解】解：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9， 可得最后一个正方形三个数分别为：11，13，15， ∵， ； ； ∴． 16. 如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据轴对称的性质可得，，得出当点、、、在同一条直线上时，的值最小，此时取最小值，利用勾股定理求出，进而求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵是的中点，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴当点、、、在同一条直线上时，的值最小，此时取最小值， ∵， ∴， ∴, ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解分式方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照先算乘方，再算乘法，最后算加减的顺序计算即可； （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：去分母，两边同乘得 展开得 移项及合并同类项得 系数化为得 检验：当时， 所以原分式方程的解为． 18. 阅读与思考 下面是一篇数学小短文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 利用对称作图 在平面几何中，我们经常需要根据条件用尺规作出满足特定几何关系的图形．下面介绍一个有趣的作图问题： 问题呈现：已知：如图1，点，是外的两点（，，三点不共线，且）．求作：的直径，使得． 思路梳理：为解决这个问题，我们先画出目标图形的草图探索作法： 如图2，假设直径已经作出，且满足．借助草图可发现，作图的关键是确定直径端点（或）在圆上的位置．由圆的对称性想到，直径的端点，关于圆心对称，因此可以作点关于圆心的对称点，只要确定点，使，就可以得到． 作图步骤：… 根据以上材料，解答下列问题： （1）推理解释：由“思路梳理”中的分析过程可得，点与关于点对称，且为的直径．请根据上述条件，借助图2说明当时，； （2）实践操作：在图1中完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种符合要求的直径即可）； 【答案】（1）证明见详解． （2）如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用点与关于圆心对称，是直径的性质，通过证明，得到；再结合已知，通过等量代换证得． （2）先作点关于圆心的对称点，再以，为基础，在圆上找到满足的点，连接并延长交圆于，则直径即为所求． 【小问1详解】 点与关于点对称， ， 为直径， ， ， ， ， 当时，成立． 【小问2详解】 略 19. 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障，绿植养护营养土购买方案选择 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． （1）请分别写出，与之间的函数关系式． （2）通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】（1）（，且为正整数），（，且为正整数）； （2）当（为正整数）时，选择“绿园”店购买更划算；当时，两家店花费相同，任意选择即可；当（为正整数）时，选择“植享”店购买更划算． 【解析】 【分析】（1）根据两家店铺的收费规则，结合题干的条件，分别列出总费用和购买袋数的函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，结合一元一次方程和一元一次不等式求解，分情况得到不同购买量下更划算的方案． 【小问1详解】 解：“绿园”店无论购买多少均不打折，每袋售价18元， 购买袋总费用为，其中，为正整数． “植享”店时，前3袋每袋20元，超过3袋的部分打八折，超过部分每袋价格为元， 因此总费用为 ，其中，为正整数． 【小问2详解】 分三种情况比较费用大小： 当时， 解得： ∴当（为正整数）时，选择“绿园”店购买更划算； 当时， 当时，两家店花费相同，任意选择即可； 当时， 当（为正整数）时，选择“植享”店购买更划算． 20. 为纪念中国航天日，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀，从该校七、八年级各随机抽取8名学生，对这16名学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】七年级8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，73，75； 八年级8名学生竞赛成绩：83，90，79，90，83，83，73，75． 【整理数据】小亮对七、八两个年级抽取学生的竞赛成绩整理并绘制了如图统计图； 【分析数据】七、八年级抽取学生竞赛成绩的相关数据如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：________，________； （2）结合以上数据进行分析，你认为哪个年级成绩比较好，并说明理由； （3）该校七年级共有学生152人，八年级共有学生160人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个年级获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）； （2）八年级，理由如下： 虽然在平均数上，两个年级的分数一样，但八年级的中位数和众数都高于七年级，且八年级的方差更小，说明八年级的成绩更稳定，因此八年级的成绩比较好 （3）约为人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）从中位数、众数和方差的角度评价两个年级的成绩即可； （3）分别计算出两个年级的优秀率，再乘以对应的学生数，最后求和即可． 【小问1详解】 解：将八年级8名学生的成绩从小到大排列得： ，，，，，，，， 其中第4个数和第5个数都是， ∴八年级的中位数为，即， 七年级学生的成绩中，分出现3次，出现的次数最多， ∴七年级的众数为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：这两个年级获奖的总人数约为人． 21. 【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材1 如图1，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 素材2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离 ，， ． 素材3 如图3，当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 （1）任务1：在抬起状态下，四边形的形状为________； （2）任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； （3）任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）平行四边形 （2） （3）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先证明四边形是矩形，然后对运用勾股定理求解即可； （3）在上取，，作于点，交于点，交于点，可得，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 过点作于点，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 由题意得， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：汽车能安全通过，理由如下： 如图，在上取，，作于点，交于点，交于点， 当汽车与保持安全距离时， ， ， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ，，， 由题意得，， ∴， ∴ ∴， ， 汽车能安全通过． 22. 综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究如图1，在中，，，分别取，的中点，，作． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：________． （2）猜想探究：如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． （4）延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点，．作，将绕点逆时针旋转，连接，．当边正好经过的中点时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：，理由如下， 由题可得，和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先根据中位线性质得到对应边比例、与的相似比，再结合是中点得到长度，用平行线等分线段定理计算比值； （2）旋转后，先求出与的比值，证明和相似，即可得到与的数量关系； （3）先根据过点得到，用勾股定理求出的长度，再利用（2）得到的与的数量关系计算； （4）先证明与的相似，得到对应角相等，旋转后旋转角相等，再结合过中点的条件，利用斜边上的中线是斜边的一半得到两个等腰三角形，再利用等边对等角进行导角，进而推出，通过作垂线利用三角函数和勾股定理求出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点为，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图1可得，，的中点为，， ∴，， ∴， ∴， ∴如图3，当所在直线过点时，， ∴在中，， 由（2）可得，， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：令、交于点，过点作于点， 根据题意得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵为中点，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得，， ∴， ∴，， ∴，， 且， ∴，， ∴， ∴在中，． 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）①；②或 （3）该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米 （4） 【解析】 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． 【小问1详解】 解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； 【小问2详解】 ①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； 【小问3详解】 该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． 【小问4详解】 方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业班质量调研 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 年是农历丙午马年，的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学家刘徽在如图所示的立体图形中构造了牟合方盖，探索了球体体积的计算公式．该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行．电影于2025年9月18日上映，上映三天其总票房已超7亿人民币，累计观影人次1908万．1908万这个数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 去年某市有5.6万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（　　） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 5.6万名考生的数学成绩是总体 C. 2000名考生是样本容量 D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 7. 自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 10. 如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26cm 11. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 如图，二次函数图象的对称轴是直线，若该图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②方程中一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使有意义，则x的取值范围是______． 14. 南朝梁元帝在《春日》中写到：“春意春已繁，春人春不见”．现从诗句中随机抽取一个汉字，则抽到的汉字是“春”的概率是_________． 15. 如图，下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为________． 16. 如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解分式方程： （1）． （2）． 18. 阅读与思考 下面是一篇数学小短文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 利用对称作图 在平面几何中，我们经常需要根据条件用尺规作出满足特定几何关系的图形．下面介绍一个有趣的作图问题： 问题呈现：已知：如图1，点，是外的两点（，，三点不共线，且）．求作：的直径，使得． 思路梳理：为解决这个问题，我们先画出目标图形的草图探索作法： 如图2，假设直径已经作出，且满足．借助草图可发现，作图的关键是确定直径端点（或）在圆上的位置．由圆的对称性想到，直径的端点，关于圆心对称，因此可以作点关于圆心的对称点，只要确定点，使，就可以得到． 作图步骤：… 根据以上材料，解答下列问题： （1）推理解释：由“思路梳理”中的分析过程可得，点与关于点对称，且为的直径．请根据上述条件，借助图2说明当时，； （2）实践操作：在图1中完成作图（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种符合要求的直径即可）； 19. 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障，绿植养护营养土购买方案选择 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． （1）请分别写出，与之间的函数关系式． （2）通过计算说明选择哪家店购买更划算． 20. 为纪念中国航天日，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀，从该校七、八年级各随机抽取8名学生，对这16名学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】七年级8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，73，75； 八年级8名学生竞赛成绩：83，90，79，90，83，83，73，75． 【整理数据】小亮对七、八两个年级抽取学生的竞赛成绩整理并绘制了如图统计图； 【分析数据】七、八年级抽取学生竞赛成绩的相关数据如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：________，________； （2）结合以上数据进行分析，你认为哪个年级成绩比较好，并说明理由； （3）该校七年级共有学生152人，八年级共有学生160人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个年级获奖的总人数是多少？ 21. 【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材1 如图1，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 素材2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离 ，， ． 素材3 如图3，当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 （1）任务1：在抬起状态下，四边形的形状为________； （2）任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； （3）任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 22. 综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究如图1，在中，，，分别取，的中点，，作． （1）初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：________． （2）猜想探究：如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （3）结论应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． （4）延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点，．作，将绕点逆时针旋转，连接，．当边正好经过的中点时，直接写出的长． 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $