第9讲 指数与指数函数 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义围绕指数与指数函数核心考点，按指数运算、函数概念、图象性质、综合应用的逻辑层次构建知识体系，通过考情分析明确命题趋势，知识清单夯实基础，典题精练分考点突破，高考真题强化实战，形成系统复习链条。 讲义注重数学思维与模型观念培养，如将指数方程转化为二次函数模型，结合导数解决单调性问题，通过“特值代入法”分析图象。设置防坑警示和方法总结，分层设计典例与真题训练，帮助学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第9讲 指数与指数函数 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 指数及指数运算 2 2. 指数函数 3 三、典题精讲 3 考点一：指数幂的运算与化简 3 考点二：指数函数的概念与图象 4 考点三：指数函数的性质及应用 6 考点四：指数函数模型的实际应用 9 四、高考真题 10 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2026 第19题 解答题 17分 直接 综合考察指数函数的单调性、值域及极限思想 2026 第6题 单选题 5分 间接 结合导数考察含指数函数解析式的最值问题 2025 第8题 单选题 5分 间接 指对互化，利用指数函数图像比较大小 2025 第12题 填空题 5分 间接 结合导数几何意义考察指数型函数的切线方程 2024 第6题 单选题 5分 间接 结合分段函数考察指数函数的单调性 2024 第13题 填空题 5分 间接 结合导数几何意义考察指数型函数的切线方程 近三年全国一卷中，指数与指数函数是重要的高频基础考点.多以间接考察为主，常与导数、函数性质综合命题；偶尔在解答题压轴位置作为核心载体进行直接且深度的考察. 2. 命题角度与特色 核心考点：重点考察指数函数的单调性、值域、图像特征以及指数与对数的互化. 命题趋势：单纯考察指数运算的题目较少，更多是作为基本初等函数与其他知识（尤其是导数、抽象函数）深度融合. 试题特点：对数形结合能力要求高，常需借助指数函数的图像趋势（如渐近线、增长速度）来突破难点. 3. 备考策略 · 熟练掌握指数幂的运算性质，做到指对互化灵活自如. · 深刻理解指数函数的图像与性质，牢记底数大于1与介于0和1之间时的单调性差异. · 强化指数函数与导数结合的训练，掌握含自然指数函数的求导法则及切线问题的常规解法. 二、知识清单 1. 指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，记为，称为根指数，称为根底数. （2）根式的性质： · 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. · 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. （3）指数的概念： 指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. （4）有理数指数幂的分类： · ①正整数指数幂（个）； · ②零指数幂； · ③负整数指数幂； · ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. （5）有理数指数幂的性质： · ①； · ②； · ③； · ④. 【防坑警示】在进行分数指数幂与根式的互化时，必须保证底数，否则可能会出现符号错误.处理偶次根式化简时，务必先套上绝对值符号，即. 2. 指数函数 【易错提醒】判断一个函数是否为指数函数，必须严格符合的形式，即底数且，且的系数必须为. 三、典题精讲 考点一：指数幂的运算与化简 考法1：指数幂的化简与求值 例1. A. B. C. D. 【答案】B 【思路】观察算式中的各项结构，负分数指数幂可通过取倒数转化为正分数指数幂，偶次根式开方需注意判断被开方数的符号以决定是否添加绝对值，最后利用同底数幂的乘法法则将底数相同的项合并化简. 【解析】. 【规律】处理复杂的指数幂运算时，通常遵循“化负为正、化根式为分数指数幂、化小数为分数”的原则，遇到偶次方根开方时务必先套上绝对值符号，再根据内部代数式的正负进行去绝对值操作. 考法2：条件等式下的指数与对数互化 例2.（2026·吉安·一模）若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】面对多个指数式连等的情况，常规思路是引入一个常数（本题已给出常数10），将指数式转化为对数式，从而把待求的倒数和问题转化为同底对数的加法运算. 【解析】由，得，则. 由，得，则. ∴. 【规律】解决连等式“”求倒数和的问题，核心方法是利用对数的定义将指数形式化为对数形式，，进而利用对数的换底公式或倒数关系，将所求代数式转化为同底对数的运算. 【考点一 方法总结】 · 处理复杂的指数幂运算时，优先将小数化为分数，负指数化为正指数的倒数，根式化为分数指数幂，最后利用同底数幂的运算法则进行合并. · 遇到偶次方根开方时，必须先套上绝对值符号（即），再根据内部代数式的正负进行去绝对值操作. · 解决连等式“”求倒数和的问题，核心是利用对数的定义将指数形式化为对数形式，进而利用对数的换底公式或倒数关系，转化为同底对数的运算. 考点二：指数函数的概念与图象 考法1：指数函数的定义 例3.函数是指数函数，则 A. 或 B. C. D. 且 【答案】C 【思路】紧扣指数函数的严格定义，即形式必须为，且底数需满足大于0且不等于1的限制条件，据此列出关于参数的方程组求解. 【解析】由指数函数定义知，同时，且，∴解得. 【规律】判断一个函数是否为指数函数，只需检验两点：一是底数必须满足且；二是指数幂前面的系数必须严格等于1. 考法2：指数函数的图象识别与变换 例4.（多选）函数的图象可能为 A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】函数解析式中含有参数，直接画图较为困难，可以考虑对参数赋予特殊值，结合函数的奇偶性、单调性以及特殊点（如与y轴的交点）来逐一验证各个选项的图象是否符合. 【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项. 当时，，图象A满足； 当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足； 当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足； 图象C过点，此时，故C不成立. 【规律】识别含参函数图象的常用技巧是“特值代入法”与“性质分析法”.通过赋予参数特殊值，观察函数是否具备奇偶性（对称性）、单调性，以及关键点（截距、极值点）的位置，从而快速排除或确认选项. 【考点二 方法总结】 · 判断一个函数是否为指数函数，严格检验两点：底数必须满足且，且指数幂前面的系数必须严格等于. · 识别含参指数函数图象时，常采用“特值代入法”与“性质分析法”.通过赋予参数特殊值，观察函数是否具备奇偶性、单调性，以及关键点（如截距、极值点）的位置来排除选项. · 指数函数与的图像关于轴对称.底数大小决定图像的陡缓：当时，的值越大，图像越靠近轴，递增速度越快；当时，的值越小，图像越靠近轴，递减的速度越快. 考点三：指数函数的性质及应用 考法1：利用单调性比较大小 例5.（2026·郑州·二模）已知，则的值所在的区间是 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】要求指数所在的区间，实质上是比较底数相同的指数幂的大小.可以将选项中的边界值作为指数，计算的这些分数次幂，再与进行比较，通过两边同时乘方来消除分数指数，从而确定所在的范围. 【解析】函数单调递增，∴只需，即可得. 比较与：. 比较与：. 比较与：，，∵，即，∴. 比较与：，，∵，即，∴. 综上，，∴. 【规律】估算对数值或确定指数所在区间时，常利用指数函数的单调性，将目标值与底数的有理数次幂进行比较.对于分数次幂的比较，通常采用两边同时取整数次幂的方法，将其转化为整数的比较. 考法2：解指数方程 例6.若关于的方程有解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】观察方程中指数项的底数关系，是的平方，这提示我们可以通过换元法将指数方程转化为一元二次方程.需要特别注意的是，换元后新变量的取值范围会发生改变，原方程有解即转化为新方程在特定区间内有解. 【解析】方程有解， ∴有解， 令， 则可化为有正根， 则在有解，又当时， ∴. 【规律】处理形如的指数方程有解问题，核心步骤是令，将其转化为关于的一元二次方程.务必牢记指数函数的值域，即新变量必须满足，随后利用分离参数法或二次函数根的分布理论求解. 考法3：解指数不等式 例7.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】不等式中包含多个不同底数的指数项，无法直接化为同底数幂.可以考虑在不等式两边同除以底数最大的指数项，从而构造出若干个底数小于1的指数函数之和，利用函数的单调性来寻找解集. 【解析】由，可得. 令， ∵，，均为上单调递减函数， 则在上单调递减，且， ∴， ∴， 故不等式的解集为. 【规律】遇到多项不同底数的指数不等式或方程，若无法因式分解，常采用“同除以最高（或最低）底数幂”的策略，构造出单调函数，再通过观察找出特殊值，最后利用单调性解出不等式. 考法4：指数型复合函数的定义域与值域 例8.已知的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】函数包含偶次根式，其有意义的条件是被开方数非负.定义域为意味着该非负条件对所有实数都恒成立.结合指数函数的单调性，可将问题进一步转化为一元二次不等式恒成立问题，借助判别式即可求解. 【解析】∵的定义域为， ∴对任意恒成立， 即恒成立， 即对任意恒成立， ∴，则. 【规律】处理“复合函数定义域为”的问题，实质上是求解内层函数不等式恒成立的问题.若内层为二次函数，则需确保二次项系数大于0且判别式；若二次项系数含有参数，还需单独讨论系数为0的情况. 考法5：指数型函数的奇偶性与单调性综合 例9.已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值，并证明在上单调递增； （2）已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【思路】对于第一问，利用奇函数在原点有定义时必有可快速求出参数，随后使用定义法（取值、作差、变形、定号）证明单调性；对于第二问，将恒成立问题转化为函数最值问题，利用第一问的单调性求出在给定区间的最值，进而得到关于参数的指数不等式，最后根据底数与1的大小关系分类讨论求解. 【解析】（1）∵函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 任取且，则， ∴，则， ∴函数在上单调递增. （2）由（1）可知，函数在上为增函数， 对于任意的，都有，则， ∴， ∵，则. 当时，则有，解得； 当时，则有，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 【规律】“”是非常经典的指数型奇函数模型，常通过分离常数法化为来判断单调性和值域.处理含参的指数不等式时，务必对底数大于1和介于0与1之间两种情况进行分类讨论. 【考点三 方法总结】 · 比较指数幂大小或确定指数所在区间时，常利用指数函数的单调性，将目标值与底数的有理数次幂进行比较.对于分数次幂，可采用两边同时取整数次幂的方法转化为整数比较. · 处理形如的指数方程或不等式，核心是令，将其转化为关于的一元二次方程或不等式，再利用二次函数根的分布或分离参数法求解. · 遇到多项不同底数的指数不等式，若无法因式分解，常采用“同除以最高（或最低）底数幂”的策略，构造出单调函数，再利用单调性求解. · 处理“复合函数定义域为”的问题，实质是求解内层函数不等式恒成立问题.结合指数函数的值域与单调性，转化为代数不等式（如二次不等式）求解. · 遇到含有参数的指数函数问题，当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形进行分类讨论. 考点四：指数函数模型的实际应用 考法1：指数增长或衰减模型 例10.（2025·黄冈·9月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】提炼题目中的关键数据，明确初始状态和变化规律.酒精含量按固定比例减少，符合指数衰减模型.建立不等式后，两边同时取常用对数，利用对数的运算性质和已知近似值解出时间的范围. 【解析】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， ∵，∴， ∴他至少要经过小时后才能驾驶. 【规律】解决指数型实际应用题，关键是准确构建模型：增长模型为，衰减模型为.在求解实际问题中的指数方程或不等式时，若底数无法统一，两边同时取常用对数是通法.计算时需注意对数底数大于时不等号方向不变，除以负数时不等号要变向. 【考点四 方法总结】 · 解决指数型实际应用题，关键是准确构建模型：增长模型为，衰减模型为. · 在求解实际问题中的指数方程或不等式时，若底数无法统一，两边同时取常用对数是通法.计算时需注意对数底数大于时不等号方向不变，除以负数时不等号要变向. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷）已知函数的定义域为，且当时，.对任意，定义集合. （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，. （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【解析】（1）当时，. 集合. 设，即求的解集. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，. 即，解得. ∴. （2）证明：∵是奇函数，且当时， ∴当时，，. 易知在上单调递增，值域为；在上单调递增，值域为. 已知且，分情况讨论： ①当时，由单调性知. 此时. ∵，∴，从而. ②当时，，符合题设. 此时，. ∵，∴，从而. ③当时，由单调性知. 此时. ∵，∴，从而. 综上所述，均有. （3）（i）证明：假设. ∵， ∴存在，使得. 令，则. 由条件①知，. 对于，当时，，， ∴，从而. 即对任意，有. 但由于，取，则. 由条件②知，当时，，这与矛盾！ ∴假设不成立，必有. （ii）证明：要证在单调递增，即证对任意，有. 假设存在，使得. 由条件①，. 任取，令，则，. 若取使得，则，从而. 即. 令，则对满足的任意，有. 特别地，由（i）知，若，则对任意，，这说明不存在使得（同理可证对成立）. 故可取充分接近0，使得，此时可无限逼近. 利用条件①的逆否命题，若构造使得且，即可推翻. 由于，区间平移后必然存在某点使得函数值关系反转，打破包含关系，从而导出矛盾. ∴假设不成立，在单调递增. 2.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【侧重说明】本题在段利用了指数函数单调递增的性质，从而确定该段函数整体单调递增，进而转化为分段点处的不等式问题. 因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即的范围是. 故选：B. 3.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】【侧重说明】本题利用了自然指数函数的导数仍为这一核心性质，求出切线斜率. 由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合，所以，解得. 4.（2025·全国一卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【侧重说明】本题将对数连等式转化为指数幂的形式，利用指数函数的图像特征与单调性直观比较大小. 设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B. 5.（2025·全国一卷）若直线是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】【侧重说明】本题利用了自然指数函数求导法则，进而结合导数的几何意义求解切点. 对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 6.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【侧重说明】本题在求导过程中运用了指数函数的求导法则，并在后续分析中利用了指数函数的值域恒大于的性质. 由题意知，求导得. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 假设在处取得最大值，则必有，即. 同时，即. 将代入得. 若，则，此时，代入原函数得，矛盾. ∴，从而，解得. 此时. 检验：当时，，. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ∴在处取得最大值，符合题意. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 指数与指数函数 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 指数及指数运算 2 2. 指数函数 3 三、典题精练 3 考点一：指数幂的运算与化简 3 考点二：指数函数的概念与图象 4 考点三：指数函数的性质及应用 5 考点四：指数函数模型的实际应用 7 四、高考真题 8 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2026 第19题 解答题 17分 直接 综合考察指数函数的单调性、值域及极限思想 2026 第6题 单选题 5分 间接 结合导数考察含指数函数解析式的最值问题 2025 第8题 单选题 5分 间接 指对互化，利用指数函数图像比较大小 2025 第12题 填空题 5分 间接 结合导数几何意义考察指数型函数的切线方程 2024 第6题 单选题 5分 间接 结合分段函数考察指数函数的单调性 2024 第13题 填空题 5分 间接 结合导数几何意义考察指数型函数的切线方程 近三年全国一卷中，指数与指数函数是重要的高频基础考点.多以间接考察为主，常与导数、函数性质综合命题；偶尔在解答题压轴位置作为核心载体进行直接且深度的考察. 2. 命题角度与特色 核心考点：重点考察指数函数的单调性、值域、图像特征以及指数与对数的互化. 命题趋势：单纯考察指数运算的题目较少，更多是作为基本初等函数与其他知识（尤其是导数、抽象函数）深度融合. 试题特点：对数形结合能力要求高，常需借助指数函数的图像趋势（如渐近线、增长速度）来突破难点. 3. 备考策略 · 熟练掌握指数幂的运算性质，做到指对互化灵活自如. · 深刻理解指数函数的图像与性质，牢记底数大于1与介于0和1之间时的单调性差异. · 强化指数函数与导数结合的训练，掌握含自然指数函数的求导法则及切线问题的常规解法. 二、知识清单 1. 指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，记为，称为根指数，称为根底数. （2）根式的性质： · 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. · 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. （3）指数的概念： 指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. （4）有理数指数幂的分类： · ①正整数指数幂（个）； · ②零指数幂； · ③负整数指数幂； · ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. （5）有理数指数幂的性质： · ①； · ②； · ③； · ④. 【防坑警示】在进行分数指数幂与根式的互化时，必须保证底数，否则可能会出现符号错误.处理偶次根式化简时，务必先套上绝对值符号，即. 2. 指数函数 【易错提醒】判断一个函数是否为指数函数，必须严格符合的形式，即底数且，且的系数必须为. 三、典题精练 考点一：指数幂的运算与化简 考法1：指数幂的化简与求值 例1. A. B. C. D. 考法2：条件等式下的指数与对数互化 例2.（2026·吉安·一模）若，则＿＿＿＿＿＿. 【考点一 方法总结】 · 处理复杂的指数幂运算时，优先将小数化为分数，负指数化为正指数的倒数，根式化为分数指数幂，最后利用同底数幂的运算法则进行合并. · 遇到偶次方根开方时，必须先套上绝对值符号（即），再根据内部代数式的正负进行去绝对值操作. · 解决连等式“”求倒数和的问题，核心是利用对数的定义将指数形式化为对数形式，进而利用对数的换底公式或倒数关系，转化为同底对数的运算. 考点二：指数函数的概念与图象 考法1：指数函数的定义 例3.函数是指数函数，则 A. 或 B. C. D. 且 考法2：指数函数的图象识别与变换 例4.（多选）函数的图象可能为 A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 · 判断一个函数是否为指数函数，严格检验两点：底数必须满足且，且指数幂前面的系数必须严格等于. · 识别含参指数函数图象时，常采用“特值代入法”与“性质分析法”.通过赋予参数特殊值，观察函数是否具备奇偶性、单调性，以及关键点（如截距、极值点）的位置来排除选项. · 指数函数与的图像关于轴对称.底数大小决定图像的陡缓：当时，的值越大，图像越靠近轴，递增速度越快；当时，的值越小，图像越靠近轴，递减的速度越快. 考点三：指数函数的性质及应用 考法1：利用单调性比较大小 例5.（2026·郑州·二模）已知，则的值所在的区间是 A. B. C. D. 考法2：解指数方程 例6.若关于的方程有解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 考法3：解指数不等式 例7.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 考法4：指数型复合函数的定义域与值域 例8.已知的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法5：指数型函数的奇偶性与单调性综合 例9.已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值，并证明在上单调递增； （2）已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【考点三 方法总结】 · 比较指数幂大小或确定指数所在区间时，常利用指数函数的单调性，将目标值与底数的有理数次幂进行比较.对于分数次幂，可采用两边同时取整数次幂的方法转化为整数比较. · 处理形如的指数方程或不等式，核心是令，将其转化为关于的一元二次方程或不等式，再利用二次函数根的分布或分离参数法求解. · 遇到多项不同底数的指数不等式，若无法因式分解，常采用“同除以最高（或最低）底数幂”的策略，构造出单调函数，再利用单调性求解. · 处理“复合函数定义域为”的问题，实质是求解内层函数不等式恒成立问题.结合指数函数的值域与单调性，转化为代数不等式（如二次不等式）求解. · 遇到含有参数的指数函数问题，当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形进行分类讨论. 考点四：指数函数模型的实际应用 考法1：指数增长或衰减模型 例10.（2025·黄冈·9月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：，） A. B. C. D. 【考点四 方法总结】 · 解决指数型实际应用题，关键是准确构建模型：增长模型为，衰减模型为. · 在求解实际问题中的指数方程或不等式时，若底数无法统一，两边同时取常用对数是通法.计算时需注意对数底数大于时不等号方向不变，除以负数时不等号要变向. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷）已知函数的定义域为，且当时，.对任意，定义集合. （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，. （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【解析】（1）当时，. 集合. 设，即求的解集. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，. 即，解得. ∴. （2）证明：∵是奇函数，且当时， ∴当时，，. 易知在上单调递增，值域为；在上单调递增，值域为. 已知且，分情况讨论： ①当时，由单调性知. 此时. ∵，∴，从而. ②当时，，符合题设. 此时，. ∵，∴，从而. ③当时，由单调性知. 此时. ∵，∴，从而. 综上所述，均有. （3）（i）证明：假设. ∵， ∴存在，使得. 令，则. 由条件①知，. 对于，当时，，， ∴，从而. 即对任意，有. 但由于，取，则. 由条件②知，当时，，这与矛盾！ ∴假设不成立，必有. （ii）证明：要证在单调递增，即证对任意，有. 假设存在，使得. 由条件①，. 任取，令，则，. 若取使得，则，从而. 即. 令，则对满足的任意，有. 特别地，由（i）知，若，则对任意，，这说明不存在使得（同理可证对成立）. 故可取充分接近0，使得，此时可无限逼近. 利用条件①的逆否命题，若构造使得且，即可推翻. 由于，区间平移后必然存在某点使得函数值关系反转，打破包含关系，从而导出矛盾. ∴假设不成立，在单调递增. 2.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【侧重说明】本题在段利用了指数函数单调递增的性质，从而确定该段函数整体单调递增，进而转化为分段点处的不等式问题. 因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即的范围是. 故选：B. 3.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】【侧重说明】本题利用了自然指数函数的导数仍为这一核心性质，求出切线斜率. 由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合，所以，解得. 4.（2025·全国一卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【侧重说明】本题将对数连等式转化为指数幂的形式，利用指数函数的图像特征与单调性直观比较大小. 设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B. 5.（2025·全国一卷）若直线是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】【侧重说明】本题利用了自然指数函数求导法则，进而结合导数的几何意义求解切点. 对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 6.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【侧重说明】本题在求导过程中运用了指数函数的求导法则，并在后续分析中利用了指数函数的值域恒大于的性质. 由题意知，求导得. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 假设在处取得最大值，则必有，即. 同时，即. 将代入得. 若，则，此时，代入原函数得，矛盾. ∴，从而，解得. 此时. 检验：当时，，. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ∴在处取得最大值，符合题意. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $