第10讲 对数与对数函数·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义围绕对数与对数函数核心考点，整合对数运算、指对互化、图像性质及综合应用等内容，按基础到综合的逻辑层次构建知识体系。通过考情分析明确命题方向，知识清单梳理要点，典题精练指导方法，高考真题强化训练，助力学生系统突破难点。 资料以高考高频交汇点为突破，创新运用“同构法”“设法”等策略，如通过指对互化构造函数比较大小，培养数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习与即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第10讲 对数与对数函数 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 对数式的运算 2 2. 对数函数的定义及图像 3 三、典题精练 3 考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 3 考点二：对数函数的图像与性质 6 考点三：对数函数的综合应用 7 四、高考真题 12 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2025 8题 单选题 5分 直接 考察对数方程与大小比较，通过引入中间变量将指对数互化，结合函数图象比较大小 2024 6题 单选题 5分 间接 考察分段函数的单调性，其中一段为含自然对数的复合函数，需利用对数函数单调性列不等式 2024 13题 填空题 5分 间接 考察两曲线的公切线问题，解题过程中需对含自然对数的函数求导并代入切点计算 2024 18题 解答题 17分 间接 考察导数的综合应用，函数解析式中含有对数结构，涉及对数型函数的求导、单调性分析及最值求解 2026 4题 单选题 5分 间接 考察曲线在某点处的切线方程，需要对含自然对数的函数进行求导运算 近三年全国一卷中，对数与对数函数是高频基础考点.直接考察主要体现在对数方程与大小比较；间接考察极为频繁，常作为基本初等函数之一，与导数、切线方程、函数单调性等知识交汇考察，贯穿于选择、填空及解答题中. 2. 命题角度与特色 核心考点：对数的运算性质、指对互化、对数函数的图象与单调性. 命题趋势：单纯考查对数运算的题目减少，更多地将对数函数作为载体，结合导数工具考查切线、最值、单调性等综合问题.同时，指对同构、引入参数比较大小也是近年热门命题方向. 试题特点：注重基础知识的灵活运用，常在分段函数、复合函数中设置对数函数，对定义域（真数大于0）的考查暗含其中，计算量适中但思维要求较高. 3. 备考策略 · 熟练掌握对数的运算法则及换底公式，能够灵活进行指对互化. · 深刻理解对数函数的图象特征与性质（单调性、过定点等），解题时务必优先注意定义域的限制（真数大于0）. · 强化对数函数求导公式的记忆，提升在导数背景下处理对数型函数切线、极值、最值问题的综合能力. · 掌握构造函数、引入中间变量（如设法）比较指对数大小的常用技巧，善于利用数形结合思想直观解题. 二、知识清单 1. 对数式的运算 （1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）常见对数： · ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； · ②常用对数：以10为底，记为； · ③自然对数：以为底，记为； （3）对数的性质和运算法则： · ①；；其中且； · ②(其中且，)； · ③对数换底公式：； · ④； · ⑤； · ⑥； · ⑦和； · ⑧； 2. 对数函数的定义及图像 （1）对数函数的定义：函数且叫做对数函数. （2）对数函数的图象与性质： 【易错提醒】在进行对数运算和解对数方程、不等式时，必须优先保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 【防坑警示】在使用对数的乘除法则时，要注意从左到右变形时，必须保证且；若原式中仅保证，拆分时应加绝对值，即. 三、典题精练 考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值 例1.（文档327-275）计算的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】8 【思路】观察待求式子中的对数底数与真数，发现它们均可化为2或3的幂次.利用对数的换底公式及运算性质，将不同底的对数转化为同底或直接约分，再结合对数的加减法法则进行合并计算. 【解析】原式. 【规律】处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项. 考法2：解对数方程及求参数 例2.（文档327-274）设，满足，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】面对连等式且底数和真数均不同的对数方程，常引入辅助变量，将对数式转化为指数式.由此可得到关于和的指数方程组，将其代入真数的关系式中，构造出关于的齐次方程，进而求解. 【解析】令，则，∴，整理得，解得（负值舍去），∴. 【规律】解决“”型问题，核心步骤是“设法”：令连等式等于，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解. 考法3：利用单调性解对数不等式 例3.（文档327-280）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】题目已知时的解析式及奇函数性质，要求解不等式，需先求出时的解析式.利用奇函数的性质，将转化为代入已知解析式.最后结合定义域分段解不等式即可. 【解析】当时，，∴， ∵函数是定义在上的奇函数，∴， ∴当时，， ∴， 要解不等式，只需或或， 解得或或， 综上，不等式的解集为. 【规律】利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集. 考法4：对数模型在实际情境中的应用 例4.（文档306-6）（2026·福建厦门·适应）某工厂的产量(单位:件)与资本投入(单位:万元)、劳动投入(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数(其中为常数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升,资本投入需增加,则该工厂资本产出的弹性系数约为(参考数据: ) A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据题意，写出产量提升和资本投入增加后的新函数关系式.将新旧关系式作商，消去常数项，得到关于参数的指数方程.两边同时取常用对数，利用对数运算法则将指数转化为系数，代入已知近似值求解. 【解析】由题意知，，当劳动投入不变时，产量提升，资本投入增加，则，即，∴，即，两边取常用对数，得，即，∴，代入数据得，解得. 【规律】处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，两边取常用对数是降维求解的通法. 【考点一 方法总结】 · 处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项. · 解决“”型问题，核心步骤是“设法”：令连等式等于，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解. · 利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集. · 处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，两边取常用对数是降维求解的通法. · 解对数方程或对数不等式时，必须优先将其化为同底数，利用对数函数的单调性脱去对数符号，转化为不含对数的问题，同时务必注意真数大于0的限制条件. 考点二：对数函数的图像与性质 考法5：对数函数图像的识别与变换 例5.（文档327-282）已知函数( 为常数，其中且 ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察函数图象的走势，判断函数的单调性，从而确定底数的取值范围.再从图象中寻找特殊点（如与坐标轴的交点），将其坐标代入函数解析式，即可解出平移参数. 【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，∴，排除A，C；又∵函数过点，∴，解得. 【规律】识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（增，减），二看特殊点定平移量，三看渐近线定定义域边界. 考法6：求对数型函数过定点 例6.（文档327-283）函数的图象恒过定点 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】对数函数恒过定点，即当真数为1时，对数值为0，与底数无关.据此，令函数解析式中的真数部分等于1，求出的值，再代入求出对应的值，即可得到定点坐标. 【解析】当时，即函数图象恒过. 【规律】求对数型函数的定点时，只需令真数，解出，此时，则定点坐标为. 考法7：对数型函数的单调性及比较大小 例7.（文档186-13）（2025·衡水中学·阶段评价）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据互为反函数的图象关于直线对称，可求出的解析式.将其代入复合函数中，利用换元法设内层函数为，结合对数函数的定义域，根据“同增异减”法则判断复合函数的单调区间. 【解析】函数的图象与的图象关于直线对称，则函数，∴，令，解得，由于，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，∴函数的递增区间是. 【规律】求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论. 考法8：对数型函数的最值与值域 例8.（文档128-13）（2025·江西三新·三月联考）已知函数在上的最小值是 1，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】将对数函数看作外层函数，二次函数看作内层函数.由于底数为2，外层函数单调递增，所以复合函数的最小值对应内层函数在给定区间上的最小值.通过配方找出内层函数的对称轴，结合区间位置进行分类讨论. 【解析】令，由于在上单调递增，∴在上的最小值为 2.其对称轴为，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得（舍去）.综上，. 【规律】处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0的限制. 【考点二 方法总结】 · 识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（增，减），二看特殊点定平移量，三看渐近线定定义域边界.在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离x轴. · 求对数型函数的定点时，只需令真数，解出，此时，则定点坐标为. · 求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论. · 处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0的限制. 考点三：对数函数的综合应用 考法9：利用图像解对数不等式 例9.（文档327-287）（多选）当时，，则的值可以为 A. B. C. D. 【答案】ABC 【思路】不等式在某区间恒成立，可转化为两个函数图象的高低关系.分别作出指数函数和对数函数的图象，根据底数的范围分类讨论.通过数形结合，找到满足条件的临界点，列出不等式求解. 【解析】分别记函数， 由图1知，当时，不满足题意；当时， 如图2，要使时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得.故选ABC. 【规律】对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口. 考法10：对数不等式恒成立求参数范围 例10.（文档327-302）已知. （1） 当时，求函数的值域； （2） 对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，当时，当时 【思路】第一问利用换元法，将对数函数转化为二次函数，结合定义域求出新变量的范围，再利用二次函数的性质求值域.第二问将不等式展开并换元，转化为二次不等式恒成立问题，通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值. 【解析】（1） ∵， 令， ∵，∴， 所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值， ∴函数的值域为. （2） 由得， 令，∵，∴， ∴对一切的恒成立， ①当时，若时，； 当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值，此时， 于是； ②当时，此时时，恒成立，即， ∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，； ③当时，此时时，恒成立，即， 函数在单调递增，于是时取最小值， 此时，于是. 综上可得：当时，当时，当时，. 【规律】处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解. 考法11：指对函数交点与反函数对称性 例11.（文档327-303）（多选）已知，，，则以下结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】观察等式结构，发现它们可以看作是反比例型函数与指数、对数函数的交点.利用指数函数和对数函数互为反函数、图象关于直线对称的性质，结合反比例型函数的对称性，推导出交点坐标之间的关系，再利用导数和基本不等式判断各选项. 【解析】对于A，由题意知，是函数分别与函数图象交点的横坐标， 由的图象关于对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，∴的图象也关于对称，又两个函数的图象关于直线对称，故两交点关于直线对称，∴，故A正确；对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；对于C，结合选项A得，令，则，∴在上单调递减，则，故C错误；对于D，结合选项B得，即不等式取不到等号)，故D正确. 【规律】遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.利用它们图象关于直线对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化. 考法12：利用指对同构解方程或比较大小 例12.（文档327-304）已知正实数满足：. （1） 证明：； （2） 求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【思路】第一问通过代数变形，将等式两边化为结构相同的形式，构造出同构函数.利用该函数的单调性，脱去函数符号，得到变量间的关系.第二问将目标式转化为单变量函数，利用导数求出最小值. 【解析】（1） 证明：由可得：， ∴， 即， 设，， ∴在上单调递增， ∴， 则. （2） 由（1）知，∴， ∴， 令，， 令，解得：；令，解得：； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴. 故的最小值为. 【规律】指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用或进行指对互化，将等式两边凑成的形式，再借助函数的单调性得出. 考法13：对数型复合函数的综合应用 例13.（文档327-293）已知函数同时具有下列性质： ① ； ② 当时，单调递减； ③ 为偶函数. （1） 请写出一个符合条件的函数的解析式； （2） 证明你所写的函数满足上述三个性质. 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见解析 【思路】根据性质①可知函数具有对数运算特征；结合性质②确定对数的底数应在之间；再由性质③偶函数的特点，对自变量加上绝对值.构造出具体函数后，逐一验证三个性质即可. 【解析】（1） 符合条件的函数解析式可以为（答案不唯一）. （2） 证明： 对于性质①：，故满足性质①. 对于性质②：当时，，∵底数，∴在上单调递减，故满足性质②. 对于性质③：函数的定义域为，关于原点对称.且，∴为偶函数，故满足性质③. 【规律】应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体. 【考点三 方法总结】 · 对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口. · 处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解. · 遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.利用它们图象关于直线对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化. · 指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用或进行指对互化，将等式两边凑成的形式，再借助函数的单调性得出. · 应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体. · 分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷）若实数满足，则的大小关系不可能是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一：设， 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选B. 法二：设，∴. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选B. 2.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴. 当时，切线的斜率. 又切点为， ∴切线方程为，即. 3.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即的范围是. 故选B. 4.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合，∴，解得. 5.（2024·全国一卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）时，，其中， 则， ∵，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， ∴的最小值为. （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， ∵在图象上，故， 而， ∴也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）∵当且仅当，故为的一个解， ∴即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 对数与对数函数 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 对数式的运算 2 2. 对数函数的定义及图像 2 三、典题精讲 3 考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 3 考点二：对数函数的图像与性质 5 考点三：对数函数的综合应用 7 四、高考真题 12 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2025 8题 单选题 5分 直接 考察对数方程与大小比较，通过引入中间变量将指对数互化，结合函数图象比较大小 2024 6题 单选题 5分 间接 考察分段函数的单调性，其中一段为含自然对数的复合函数，需利用对数函数单调性列不等式 2024 13题 填空题 5分 间接 考察两曲线的公切线问题，解题过程中需对含自然对数的函数求导并代入切点计算 2024 18题 解答题 17分 间接 考察导数的综合应用，函数解析式中含有对数结构，涉及对数型函数的求导、单调性分析及最值求解 2026 4题 单选题 5分 间接 考察曲线在某点处的切线方程，需要对含自然对数的函数进行求导运算 近三年全国一卷中，对数与对数函数是高频基础考点.直接考察主要体现在对数方程与大小比较；间接考察极为频繁，常作为基本初等函数之一，与导数、切线方程、函数单调性等知识交汇考察，贯穿于选择、填空及解答题中. 2. 命题角度与特色 核心考点：对数的运算性质、指对互化、对数函数的图象与单调性. 命题趋势：单纯考查对数运算的题目减少，更多地将对数函数作为载体，结合导数工具考查切线、最值、单调性等综合问题.同时，指对同构、引入参数比较大小也是近年热门命题方向. 试题特点：注重基础知识的灵活运用，常在分段函数、复合函数中设置对数函数，对定义域（真数大于0）的考查暗含其中，计算量适中但思维要求较高. 3. 备考策略 · 熟练掌握对数的运算法则及换底公式，能够灵活进行指对互化. · 深刻理解对数函数的图象特征与性质（单调性、过定点等），解题时务必优先注意定义域的限制（真数大于0）. · 强化对数函数求导公式的记忆，提升在导数背景下处理对数型函数切线、极值、最值问题的综合能力. · 掌握构造函数、引入中间变量（如设法）比较指对数大小的常用技巧，善于利用数形结合思想直观解题. 二、知识清单 1. 对数式的运算 （1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）常见对数： · ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； · ②常用对数：以10为底，记为； · ③自然对数：以为底，记为； （3）对数的性质和运算法则： · ①；；其中且； · ②(其中且，)； · ③对数换底公式：； · ④； · ⑤； · ⑥； · ⑦和； · ⑧； 2. 对数函数的定义及图像 （1）对数函数的定义：函数且叫做对数函数. （2）对数函数的图象与性质： 【易错提醒】在进行对数运算和解对数方程、不等式时，必须优先保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 【防坑警示】在使用对数的乘除法则时，要注意从左到右变形时，必须保证且；若原式中仅保证，拆分时应加绝对值，即. 三、典题精讲 考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值 例1.（文档327-275）计算的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】8 【思路】观察待求式子中的对数底数与真数，发现它们均可化为2或3的幂次.利用对数的换底公式及运算性质，将不同底的对数转化为同底或直接约分，再结合对数的加减法法则进行合并计算. 【解析】原式. 【规律】处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项. 考法2：解对数方程及求参数 例2.（文档327-274）设，满足，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】面对连等式且底数和真数均不同的对数方程，常引入辅助变量，将对数式转化为指数式.由此可得到关于和的指数方程组，将其代入真数的关系式中，构造出关于的齐次方程，进而求解. 【解析】令，则，∴，整理得，解得（负值舍去），∴. 【规律】解决“”型问题，核心步骤是“设法”：令连等式等于，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解. 考法3：利用单调性解对数不等式 例3.（文档327-280）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】题目已知时的解析式及奇函数性质，要求解不等式，需先求出时的解析式.利用奇函数的性质，将转化为代入已知解析式.最后结合定义域分段解不等式即可. 【解析】当时，，∴， ∵函数是定义在上的奇函数，∴， ∴当时，， ∴， 要解不等式，只需或或， 解得或或， 综上，不等式的解集为. 【规律】利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集. 考法4：对数模型在实际情境中的应用 例4.（文档306-6）（2026·福建厦门·适应）某工厂的产量(单位:件)与资本投入(单位:万元)、劳动投入(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数(其中为常数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升,资本投入需增加,则该工厂资本产出的弹性系数约为(参考数据: ) A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据题意，写出产量提升和资本投入增加后的新函数关系式.将新旧关系式作商，消去常数项，得到关于参数的指数方程.两边同时取常用对数，利用对数运算法则将指数转化为系数，代入已知近似值求解. 【解析】由题意知，，当劳动投入不变时，产量提升，资本投入增加，则，即，∴，即，两边取常用对数，得，即，∴，代入数据得，解得. 【规律】处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，两边取常用对数是降维求解的通法. 【考点一 方法总结】 · 处理多个对数相乘减的混合运算时，通常先将底数和真数化为质数的幂，利用换底公式的推论进行化简，再利用同底对数的加减法则合并项. · 解决“”型问题，核心步骤是“设法”：令连等式等于，将对数转化为指数形式，得到齐次指数方程，两边同除以某一项化为一元二次方程求解. · 利用奇偶性解不等式的关键在于补全整个定义域上的解析式.对于分段函数不等式，必须严格按照各段的定义域进行分类讨论，最后将各段解集取并集. · 处理含参的实际应用模型时，常通过作商或作差消去无关变量.当未知数位于指数位置时，两边取常用对数是降维求解的通法. · 解对数方程或对数不等式时，必须优先将其化为同底数，利用对数函数的单调性脱去对数符号，转化为不含对数的问题，同时务必注意真数大于0的限制条件. 考点二：对数函数的图像与性质 考法5：对数函数图像的识别与变换 例5.（文档327-282）已知函数( 为常数，其中且 ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察函数图象的走势，判断函数的单调性，从而确定底数的取值范围.再从图象中寻找特殊点（如与坐标轴的交点），将其坐标代入函数解析式，即可解出平移参数. 【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，∴，排除A，C；又∵函数过点，∴，解得. 【规律】识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（增，减），二看特殊点定平移量，三看渐近线定定义域边界. 考法6：求对数型函数过定点 例6.（文档327-283）函数的图象恒过定点 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】对数函数恒过定点，即当真数为1时，对数值为0，与底数无关.据此，令函数解析式中的真数部分等于1，求出的值，再代入求出对应的值，即可得到定点坐标. 【解析】当时，即函数图象恒过. 【规律】求对数型函数的定点时，只需令真数，解出，此时，则定点坐标为. 考法7：对数型函数的单调性及比较大小 例7.（文档186-13）（2025·衡水中学·阶段评价）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据互为反函数的图象关于直线对称，可求出的解析式.将其代入复合函数中，利用换元法设内层函数为，结合对数函数的定义域，根据“同增异减”法则判断复合函数的单调区间. 【解析】函数的图象与的图象关于直线对称，则函数，∴，令，解得，由于，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，∴函数的递增区间是. 【规律】求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论. 考法8：对数型函数的最值与值域 例8.（文档128-13）（2025·江西三新·三月联考）已知函数在上的最小值是 1，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】将对数函数看作外层函数，二次函数看作内层函数.由于底数为2，外层函数单调递增，所以复合函数的最小值对应内层函数在给定区间上的最小值.通过配方找出内层函数的对称轴，结合区间位置进行分类讨论. 【解析】令，由于在上单调递增，∴在上的最小值为 2.其对称轴为，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得（舍去）.综上，. 【规律】处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0的限制. 【考点二 方法总结】 · 识别对数函数图象时，一看单调性定底数范围（增，减），二看特殊点定平移量，三看渐近线定定义域边界.在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离x轴. · 求对数型函数的定点时，只需令真数，解出，此时，则定点坐标为. · 求对数型复合函数单调区间的步骤：一求定义域（真数大于0）；二拆分函数（内层和外层）；三分别判断内外层函数的单调性；四依据“同增异减”法则得出最终结论. · 处理含参二次函数在闭区间上的最值问题，核心是“轴定区间动”或“轴动区间定”的分类讨论.务必检查求得的参数是否满足分类的前提条件以及真数大于0的限制. 考点三：对数函数的综合应用 考法9：利用图像解对数不等式 例9.（文档327-287）（多选）当时，，则的值可以为 A. B. C. D. 【答案】ABC 【思路】不等式在某区间恒成立，可转化为两个函数图象的高低关系.分别作出指数函数和对数函数的图象，根据底数的范围分类讨论.通过数形结合，找到满足条件的临界点，列出不等式求解. 【解析】分别记函数， 由图1知，当时，不满足题意；当时， 如图2，要使时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得.故选ABC. 【规律】对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口. 考法10：对数不等式恒成立求参数范围 例10.（文档327-302）已知. （1） 当时，求函数的值域； （2） 对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，当时，当时 【思路】第一问利用换元法，将对数函数转化为二次函数，结合定义域求出新变量的范围，再利用二次函数的性质求值域.第二问将不等式展开并换元，转化为二次不等式恒成立问题，通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值. 【解析】（1） ∵， 令， ∵，∴， 所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值， ∴函数的值域为. （2） 由得， 令，∵，∴， ∴对一切的恒成立， ①当时，若时，； 当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值，此时， 于是； ②当时，此时时，恒成立，即， ∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，； ③当时，此时时，恒成立，即， 函数在单调递增，于是时取最小值， 此时，于是. 综上可得：当时，当时，当时，. 【规律】处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解. 考法11：指对函数交点与反函数对称性 例11.（文档327-303）（多选）已知，，，则以下结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】观察等式结构，发现它们可以看作是反比例型函数与指数、对数函数的交点.利用指数函数和对数函数互为反函数、图象关于直线对称的性质，结合反比例型函数的对称性，推导出交点坐标之间的关系，再利用导数和基本不等式判断各选项. 【解析】对于A，由题意知，是函数分别与函数图象交点的横坐标， 由的图象关于对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，∴的图象也关于对称，又两个函数的图象关于直线对称，故两交点关于直线对称，∴，故A正确；对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；对于C，结合选项A得，令，则，∴在上单调递减，则，故C错误；对于D，结合选项B得，即不等式取不到等号)，故D正确. 【规律】遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.利用它们图象关于直线对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化. 考法12：利用指对同构解方程或比较大小 例12.（文档327-304）已知正实数满足：. （1） 证明：； （2） 求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【思路】第一问通过代数变形，将等式两边化为结构相同的形式，构造出同构函数.利用该函数的单调性，脱去函数符号，得到变量间的关系.第二问将目标式转化为单变量函数，利用导数求出最小值. 【解析】（1） 证明：由可得：， ∴， 即， 设，， ∴在上单调递增， ∴， 则. （2） 由（1）知，∴， ∴， 令，， 令，解得：；令，解得：； ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴. 故的最小值为. 【规律】指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用或进行指对互化，将等式两边凑成的形式，再借助函数的单调性得出. 考法13：对数型复合函数的综合应用 例13.（文档327-293）已知函数同时具有下列性质： ① ； ② 当时，单调递减； ③ 为偶函数. （1） 请写出一个符合条件的函数的解析式； （2） 证明你所写的函数满足上述三个性质. 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见解析 【思路】根据性质①可知函数具有对数运算特征；结合性质②确定对数的底数应在之间；再由性质③偶函数的特点，对自变量加上绝对值.构造出具体函数后，逐一验证三个性质即可. 【解析】（1） 符合条件的函数解析式可以为（答案不唯一）. （2） 证明： 对于性质①：，故满足性质①. 对于性质②：当时，，∵底数，∴在上单调递减，故满足性质②. 对于性质③：函数的定义域为，关于原点对称.且，∴为偶函数，故满足性质③. 【规律】应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体. 【考点三 方法总结】 · 对于超越不等式恒成立问题，数形结合是最直观的方法.将不等式两边分别看作两个函数，画出草图分析图象的上下位置关系，抓住区间端点或交点作为突破口. · 处理含有对数的复杂不等式恒成立问题，通常采用“换元+分离参数”的策略.换元时务必注意新变量的取值范围，分离参数后转化为求新函数的最值，常借助基本不等式或单调性求解. · 遇到指数方程与对数方程并存且结构相似的问题，优先考虑构造互为反函数的两个函数.利用它们图象关于直线对称的性质，将两个独立的方程联系起来，实现变量的相互转化. · 指对混合方程的化简利器是“同构法”.核心技巧是利用或进行指对互化，将等式两边凑成的形式，再借助函数的单调性得出. · 应对抽象函数问题，常采用“特殊化”策略.熟记基本初等函数的抽象性质（如对应对数函数），能快速构造出具体的函数模型，从而化抽象为具体. · 分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷）若实数满足，则的大小关系不可能是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一：设， 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选B. 法二：设，∴. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选B. 2.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴. 当时，切线的斜率. 又切点为， ∴切线方程为，即. 3.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即的范围是. 故选B. 4.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合，∴，解得. 5.（2024·全国一卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）时，，其中， 则， ∵，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， ∴的最小值为. （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， ∵在图象上，故， 而， ∴也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）∵当且仅当，故为的一个解， ∴即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $