第1章 二次根式 期末复习综合练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，整合隐含条件挖掘、构造对偶式等方法，通过代数推理与几何应用实现二次根式知识的系统性复现 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-4、填空8-9|二次根式有意义条件分析、同类二次根式识别|从定义（被开方数非负）到性质（化简、合并）的概念生成链| |运算应用|单选5-7、填空10-14、解答15|分母有理化、完全平方公式变形、秦九韶公式应用|运算规则（加减乘除）到几何（三角形周长面积）的应用拓展| |综合拓展|解答16-20|隐含条件挖掘、构造对偶式、二次根式配方|代数推理（化简求值）与实际问题（地砖花费）的跨情境迁移|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第1章二次根式》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 2．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列二次根式中，能够与合并的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知中，两直角边长分别为、，斜边为，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 6．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 7．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．数轴上到表示的点距离为的点所表示的数是_____． 9．若，则化简的结果是_______． 10．已知，，则代数式______． 11．如果两个最简二次根式与能够合并，那么a值为_______． 12．若，则_____． 13．长方形的两边的长分别为，，则该长方形的面积为_______． 14．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：即若一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积．现已知的三边长，，分别为，2，，则的面积为___________． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3)． 16．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有的信息不太明显需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件解得： ∴， ∴原式 ． 【启发应用】 (1)按上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： 17．在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． (1)求长方形广场的周长； (2)除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 18．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 19．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 20．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查二次根式除法法则的成立条件，二次根式有意义的条件，需根据被开方数的非负性及分母不为0确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵等式成立 ∴根据二次根式除法法则的成立条件，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴x的取值范围是， 结合选项，只有1在此范围内， 故选：C． 2．D 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，错误； D．，正确． 3．C 【分析】本题考查了同类二次根式的识别，化简二次根式，能够合并的二次根式一定是同类二次根式，即被开方数相同的最简二次根式才能合并，据此把和对应选项中的二次根式化为最简二次根式即可得到答案． 【详解】解：，，，， ∴能够与合并的是， 故选：C． 4．C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 5．C 【分析】利用直角三角形勾股定理结合完全平方公式变形求出两直角边的乘积，再根据直角三角形面积公式计算即可． 【详解】解：根据勾股定理，中满足：， ∵， ∴等式两边平方得： ∵， ∴， 将代入上式得：， 解得， 直角三角形面积． 6．C 【分析】本题考查二次根式的加减法应用，根据三角形周长公式，将三边长相加合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：三角形的周长 ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 8．或 【分析】本题考查实数与数轴、二次根式的加减，分在表示的点的左边与右边两种情况讨论，利用数轴上两点间距离公式建立方程求解． 【详解】解：设所求点表示的数为，则根据数轴上两点间距离公式，有，即． 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：或． 9．3 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 10． 3 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，二次根式的乘法及加法计算法则，先计算 和 的值，再利用完全平方公式将 转化为 ，代入计算后求算术平方根． 【详解】由已知，，， 则 ， ， 所以 ， 因此， 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查了同类二次根式；两个最简二次根式能够合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：由题意得，最简二次根式与是同类二次根式，因此被开方数相等，即． 解方程：， ， 所以． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，首先将各平方根化简，然后利用长方形面积公式计算乘积即可求解； 【详解】解：，； 长方形面积为：。 故答案为： 14． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．把题中的三角形三边长代入公式，进行计算得出答案即可． 【详解】解：∵的三边长，，分别为，2，， ∴该三角形的面积 ． 故答案为：． 15．（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 16．（1）解：由二次根式有意义的条件得，即， 则， ∴原式. （2）解：由数轴知，且， 则，， ∴原式． （3）解：由三角形三边关系得，，， ∴原式 . 17．（1）解：根据题意，得． 故长方形广场的周长为． （2）解：根据题意，铺地砖区域的面积为， 故购买地砖的花费为（元）． 18．（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； （3）解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 19．（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， ， 得，，即：， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 20．（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①； ② ； ． 学科网（北京）股份有限公司 $