精品解析：2026年山西省朔州市怀仁市模拟预测数学试题

2026年山西省初中学业水平考试押题卷（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查求一个数的绝对值，根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可．本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握这一知识点是解题的关键． 【详解】解：A：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； B：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； C：可以找到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形； D：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； 故选：C． 3. 中国共产主义青年团是中国共产党领导的先进青年的群团组织，是广大青年在实践中学习中国特色社会主义和共产主义的学校，是中国共产党的助手和后备军，年龄在十四周岁以上，二十八周岁以下的中国青年，承认团的章程，愿意参加团的组织并在其中积极工作，执行团的决议和按期交纳团费的，可以申请加入中国共产主义青年团，团中央公布的统计数字显示，现有学生团员约人，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的形式，确定的值是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，确定值的方法，当原数的绝对值时，把原数变为，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为，小数点向右移动位数的相反数即为的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由积的乘方、单项式乘多项式、单项式乘单项式及合并同类项相关对应法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、与不是同类项，不能合并，选项计算错误． 5. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴∠DFC＝∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC＝3， 同理可证：AE＝AB＝3， ∵AD＝4， ∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1， ∴EF＝4−1−1＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题． 6. 某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用增长率得到月份产值的表达式，再结合已知条件即可列出方程． 【详解】解：∵设平均每月增长率为，月份产值为万元， ∴月份产值为万元， ∴月份产值为万元， 又∵已知月份产值为万元， ∴可列方程为 ． 7. 如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的一半的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，连接，，，，则四边形一定是（　　） A. 正方形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断. 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形是菱形， 故选D． 【点睛】本题考查基本作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型. 8. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 9. 如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在有理数范围内因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次， ∴字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 13. 已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【解析】 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 14. 如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． 15. 如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出EG的长，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，从而求出NG和MG，可得MN的长. 【详解】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H， 由题意可知：EH∥BC， ∴△BEG∽△BAF， ∴， ∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点， ∴BE=2，AF=3， ∴， ∴EG=， ∵EH∥BC， ∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM， ∴，, ∴，， 即，， ∴，， ∵E为AB中点，EH∥BC， ∴G为BF中点， ∴BG=GF=BF=， ∴NG==，MG=BG=， ∴MN=NG+MG=， 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH，得到相似三角形. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以此不等式组的解集是：． 17. 为了推进人工智能教育，某校举办编程大赛，甲、乙两名同学参加赛前集训，甲每小时比乙多完成5道编程题，且甲完成54道编程题与乙完成24道编程题所用时间一样，问甲、乙两名同学每小时各完成多少道编程题？ 【答案】甲每小时做9道编程题，乙每小时做4道编程题 【解析】 【分析】设乙同学每小时做x道编程题，则甲同学每小时做道，依题意可得：，进而求解即可． 【详解】解：设乙同学每小时做x道编程题，则甲同学每小时做道， 依题意可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲每小时做9道编程题，乙每小时做4道编程题． 18. 如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数和正比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）12 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式，再把点代入可得m的值，求得正比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：把点代入（）得 ∴反比例函数的解析式为 把点代入（）得， ∴正比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B， ， ∵点C与点A关于y轴对称， ， ， ； 【小问3详解】 解：根据图象得不等式的解集为或． 19. 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用文具参数对品牌进行分类”的实践活动．同学们随机收集甲、乙两种品牌的笔记本各10本，通过测量得到这些笔记本的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲品牌笔记本长宽比 1.4 1.3 1.4 1.3 1.5 1.4 1.3 1.5 1.3 1.5 乙品牌笔记本长宽比 1.1 1.2 1.2 1.3 1.1 1.2 1.2 1.2 1.2 1.0 分析数据如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲品牌笔记本长宽比 1.39 m 1.3 0.012 乙品牌笔记本长宽比 1.17 1.2 n 0.0069 （1）上述表格中：__________，__________； （2）现有一本长，宽的笔记本，请判断这本笔记本更可能来自甲品牌还是乙品牌？并给出你的理由； （3）在甲品牌中，有四本笔记本长宽比是1.3，现从这四本笔记本中随机抽取一本，放回后再随机抽取一本，求两次抽到同一本的概率．（设甲品牌笔记本长宽比是1.3的四本笔记本分别为A，B，C，D） 【答案】（1）1.4；1.2 （2）更可能来自甲品牌 理由如下： ，甲品牌平均数是1.39，乙品牌平均数是1.17，1.4更接近于甲的平均数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可． （2）根据平均数作决策即可． （3）列出表格求解即可． 【小问1详解】 解：甲品牌笔记本长宽比从小到大排列为：1.3，1.3，1.3，1.3，1.4，1.4，1.4，1.5，1.5，1.5， 则， 乙品牌笔记本长宽比中1.2出现的次数最多，故． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：列表如下： 第一次 第二次 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一本结果有4种 所以． 20. 项目式学习 某考古队在一考古现场发现一件易碎文物，需探测其到土层表面的距离（避免挖掘损坏文物），可利用一种新型方法探测．某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出文物到土层表面的距离，方案如下： 课题 探测文物到土层表面的距离 方法 侧方射线探测法 示意图 说明 如图，文物在A处，在土层表面选点B，探测射线避开文物周边脆弱区域，射线与土层表面的夹角为；再在距离B处的C处探测，射线与土层表面的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据回答以下问题： （1）__________，__________； （2）计算文物所在地A处到土层表面的距离．（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】（1）22；35 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等可进行求解； （2）过点A作于点F，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：根据对顶角相等可知：，； 【小问2详解】 解：过点A作于点F，则， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ， ∴； 答：文物所在地A处到土层表面的距离约为． 21. 阅读与思考 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交的延长线于点E，交的延长线于点F，则． 下面是部分证明过程： 平分，，， ．（依据） 同理可得，． ………… 任务： （1）上述证明过程中的“依据”是________________________________________； （2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （3）如图3，在中，，点I是的一个旁心且在边的下方． ①利用尺规作出旁心I：（保留作图痕迹，不写作法） ②若，，则__________． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角两边的距离相等 （2），， ， ， 同理可得，， ， ． （3）①利用尺规作出旁心I： ② 【解析】 【分析】（1）根据题意及角平分线的性质定理进行求解即可； （2）根据“”证三角形全等，然后根据全等三角形的性质及线段的和差关系可进行求解； （3）①分别作和外角的角平分线，然后问题可求解； ②过点作，由题意易得，由作图可知：，然后根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 解：上述证明过程中的“依据”是角平分线上的点到这个角两边的距离相等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②过点作，如图所示： ∵，，， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. （项目学习）学科实践 问题情境： 如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端处恰好弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高，已知，人梯到起跳点的水平距离为． 小试牛刀： 任务一：（1）请以点为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式． 任务二：（2）求人梯的高． 攻坚克难： 任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降．求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围． 【答案】（1）以线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， 点的坐标为． 跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高， 抛物线顶点为． 设抛物线对应的二次函数表达式为． 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线对应的二次函数表达式为； （2）； （3）与之间 【解析】 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、已知自变量求函数值、解一元二次方程等知识，读懂题意，建立平面直角坐标系得到函数表达式是解决问题的关键． （1）以线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立平面直角坐标系即可，根据题意，在建好的坐标系中，数形结合，设出抛物线顶点式，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，得到点的横坐标为4，代入（1）中所求表达式即可得到答案； （3）根据题意，令，解一元二次方程，分析结果即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）人梯到起跳点的水平距离为， 点的横坐标为4． 把代入中，得． 人梯的高为； （3）由于演员刚起跳时风力突然增大，使得演员高度瞬间下降，则此时高度变为． 当时，， 解得． ， 观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围是距离起跳点所在铅垂线与之间． 23. 综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则________． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）解：四边形是矩形． 理由∶由旋转可得，，， 在菱形中，，，， ，， 为等边三角形， ，， 点是中点， ， 又，，， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形为矩形． （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理． （1）利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数； （2）通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形； （3）分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求． 【详解】解∶（1）在菱形中，，且， 是等边三角形 ， 已知点在线段的中垂线上， ， ， 由旋转的性质可知：， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）的长为或． 理由：①当时，如图， ， ， 点为的中点， 为的中位线， 点为中点， ， ， ， ∴． ①当时，如图， 取中点为，连接， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，， ∵为中点， ∴ 即， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省初中学业水平考试押题卷（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国共产主义青年团是中国共产党领导的先进青年的群团组织，是广大青年在实践中学习中国特色社会主义和共产主义的学校，是中国共产党的助手和后备军，年龄在十四周岁以上，二十八周岁以下的中国青年，承认团的章程，愿意参加团的组织并在其中积极工作，执行团的决议和按期交纳团费的，可以申请加入中国共产主义青年团，团中央公布的统计数字显示，现有学生团员约人，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 6. 某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的一半的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，连接，，，，则四边形一定是（　　） A. 正方形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 8. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在有理数范围内因式分解：__________． 12. 2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是________． 13. 已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 14. 如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 15. 如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 为了推进人工智能教育，某校举办编程大赛，甲、乙两名同学参加赛前集训，甲每小时比乙多完成5道编程题，且甲完成54道编程题与乙完成24道编程题所用时间一样，问甲、乙两名同学每小时各完成多少道编程题？ 18. 如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数和正比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 19. 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用文具参数对品牌进行分类”的实践活动．同学们随机收集甲、乙两种品牌的笔记本各10本，通过测量得到这些笔记本的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲品牌笔记本长宽比 1.4 1.3 1.4 1.3 1.5 1.4 1.3 1.5 1.3 1.5 乙品牌笔记本长宽比 1.1 1.2 1.2 1.3 1.1 1.2 1.2 1.2 1.2 1.0 分析数据如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲品牌笔记本长宽比 1.39 m 1.3 0.012 乙品牌笔记本长宽比 1.17 1.2 n 0.0069 （1）上述表格中：__________，__________； （2）现有一本长，宽的笔记本，请判断这本笔记本更可能来自甲品牌还是乙品牌？并给出你的理由； （3）在甲品牌中，有四本笔记本长宽比是1.3，现从这四本笔记本中随机抽取一本，放回后再随机抽取一本，求两次抽到同一本的概率．（设甲品牌笔记本长宽比是1.3的四本笔记本分别为A，B，C，D） 20. 项目式学习 某考古队在一考古现场发现一件易碎文物，需探测其到土层表面的距离（避免挖掘损坏文物），可利用一种新型方法探测．某探测小组制定方案，通过探测仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出文物到土层表面的距离，方案如下： 课题 探测文物到土层表面的距离 方法 侧方射线探测法 示意图 说明 如图，文物在A处，在土层表面选点B，探测射线避开文物周边脆弱区域，射线与土层表面的夹角为；再在距离B处的C处探测，射线与土层表面的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据回答以下问题： （1）__________，__________； （2）计算文物所在地A处到土层表面的距离．（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 21. 阅读与思考 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交的延长线于点E，交的延长线于点F，则． 下面是部分证明过程： 平分，，， ．（依据） 同理可得，． ………… 任务： （1）上述证明过程中的“依据”是________________________________________； （2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （3）如图3，在中，，点I是的一个旁心且在边的下方． ①利用尺规作出旁心I：（保留作图痕迹，不写作法） ②若，，则__________． 22. （项目学习）学科实践 问题情境： 如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端处恰好弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高，已知，人梯到起跳点的水平距离为． 小试牛刀： 任务一：（1）请以点为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式． 任务二：（2）求人梯的高． 攻坚克难： 任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降．求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围． 23. 综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则________． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $