第4章平行四边形 期末复习综合练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 以平行四边形为核心，整合中心对称、旋转等知识，通过分层题型系统提炼几何辅助线、性质判定综合应用等解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3、填空8|定义判断法、反证法原理|从轴对称/中心对称概念到平行四边形判定定理的逻辑推导| |性质应用|填空9-13、解答15-16|性质推导法、中位线定理|平行四边形性质与中心对称、坐标变换的关联应用| |综合探究|解答17-20|辅助线构造法（倍长中线、旋转全等）|从单一性质应用到多知识点（旋转、等腰三角形）综合推理的递进|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第4章平行四边形》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．若一个多边形的内角和为，则将该多边形截去一个角后，剩下的多边形的内角和不可能为（    ） A． B． C． D． 3．四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 6．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交，于点F，G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中_______． 9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，则的值为______． 10．如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______． 11．如图，在等边三角形网格中，将格点逆时针旋转，得到格点，则旋转角为______． 12．如图，P是等边三角形内一动点，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，若是等腰三角形，则的度数可以是______． 13．如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至点，使得，连接．若 ，则的长度为______． 14．已知，直线，直线，点，过点作轴交直线于点，若点为直线上一点，点为直线上一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为___________． 三、解答题 15．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 16．如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线m对称； (2)画出，使与关于点O对称； (3)画出将绕点C按逆时针方向旋转后的图形． 17．如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求的长； (2)若，求． 18．在中，， ，点是的中点，点为下方一点，满足，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点恰好落在上．连接，延长交于点． (1)连接，求证：； (2)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 19．在中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，当点在的延长线上且时，记，的交点为，连接．求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 20．如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为． (1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程： 证明：∵沿翻折至， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴_______， ∴____________， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴_____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴； (2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； (3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长． 参考答案 1．A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形； B选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形； D选项，不是轴对称图形，是中心对称图形 ． 2．A 【分析】先根据多边形内角和公式求出原多边形的边数，再分析截去一个角后新多边形的三种边数情况，分别计算内角和即可得到不可能的结果． 【详解】解：设原多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得， 解得， 即原多边形为六边形． 截去一个角后，新多边形的边数有三种情况： 1．截线不经过原多边形的顶点，新多边形边数为，内角和为； 2．截线经过原多边形的一个顶点，新多边形边数仍为，内角和为； 3．截线经过原多边形的两个顶点，新多边形边数为，内角和为． 因此剩下多边形的内角和不可能为． 3．D 【详解】解：A、∵，两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； B、∵，， ∴，则 ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 4．C 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 5．A 【分析】过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 【详解】如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 6．C 【分析】根据平行四边形性质即可知为中点，所以为的中位线，即可求解． 【详解】 的周长的一半, ， ， ， ， ， ， ，可知为中点，且点是的中点， 为的中位线， ， 的周长为． 7．C 【分析】由旋转的性质可知：，然后可得，连接，，则有是等边三角形，是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∴，即，故②正确； 如图所示，连接，则是等边三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴，故③正确； 如图所示，连接，则是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴（大角对大边）， ∴，故④错误； 综上所述：正确的有①②③，共个． 8．至少有两个内角为钝角 【分析】根据反证法的定义，证明命题时需先假设命题结论不成立，只需找出原结论的反面即可. 【详解】解：原命题的结论为“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，“至多有一个”的反面为“至少有两个”，因此用反证法证明时，应假设这个三角形中至少有两个内角为钝角. 9． 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 10．24 【分析】根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：由题意，是的中位线，， ∴. 11．120 【详解】解：利用等边三角形的对称性作和的垂直平分线，它们的交点为，则点为旋转中心， ∵网格为等边三角形网格， ∴， ∴旋转角为． 故答案为：120． 12．或或 【分析】先证明，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵等边三角形 ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上：的度数可以是或或. 13．2 【分析】连接交于点O，结合平行四边形的性质以及，得，再计算出的长度，即可作答． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点， ∵ ∴是的中位线， ∴ ∴． 14．或或 【分析】求解，，当为边时，则，当为对角线时，再进一步利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵点，过点作轴交直线于点， ∴， ∴，， 当为边时，则，如图， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或， 如图，当为对角线时， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 15．(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴． （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可； （2）根据中心对称的性质画图即可； （3）根据旋转的性质画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求． 17．(1) (2) 【分析】（1）先证明，再根据平行四边形的性质求解即可； （2）先由勾股定理逆定理证明，再由直角三角形的性质以及平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ， ， 平分 ； （2）解：，， 是直角三角形，且． ， 18．(1)证明：如图，连接 ∵在中，，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． (2)解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， 由旋转的性质得：，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，先得出，再得出，则，然后根据三角形的外角性质即可得证； （2）延长至点，使得，连接，先证出，则，再证出四边形是平行四边形，则，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：略． （2）解：略． 【点睛】本题难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和平行四边形． 19．(1)证明：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴； (2)解：，理由如下： 延长到点，使， 同（1）理，是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【分析】（1）证明是等边三角形，推出，得到，得到是的中位线，根据三角形中位线的性质即可证明； （2）延长到点，使，同理得到和都是等边三角形，证明，得到，再证明是的中位线，根据三角形中位线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：略； （2）解：，理由略． 20．(1) (2)2 (3)或 【分析】（1）先根据翻折的性质得，再根据平行四边形的性质得，可得，接下来结合，可得，然后根据“等边对等角”得，进而得出最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； （2）先延长与交于点M，根据平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而得，再设，可得，然后根据“角角边”证明，可得，最后结合得出方程，求出解即可； （3）当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点，可得，即可得出，再分两种情况讨论：当点在下方时，交于点O，然后根据直角三角形的性质及勾股定理求出，接下来求出，最后根据点P刚好落在的中点上得出答案；当点在上方时，直线交于点O，结合直角三角形的性质求出，再求出可得答案． 【详解】（1）证明：∵沿着翻折至， ∴． 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴； （2）解：如图所示；延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设， ∴． ∵ ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵． ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 当时，， 当点在下方时，交于点O， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． ∵点P刚好落在的中点上， ∴； 当点在上方时，直线交于点O， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点P刚好落在的中点上， ∴， 所以的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $