期末提升卷-2025-2026学年华东师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 以科技前沿（T1200碳纤维）、文化传承（晋侯鸟尊）、生活实践（摩天轮、密度计）为情境，通过新定义“姐妹点”、“勾股一次函数”等创新设计，考查抽象能力、推理能力及模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|科学记数法、函数图像、平行四边形翻折|结合科技数据考查数感，以摩天轮运动图像发展几何直观| |填空题|6/18|坐标平移、函数应用、正方形动点最值|“勾股一次函数”融合勾股定理与模型意识，动点最值问题培养空间观念| |解答题|8/72|统计分析、分式方程应用、矩形证明|晋侯鸟尊购买问题考查数据意识，平行四边形折叠与矩形证明发展推理能力|

2025-2026学年八年级下学期数学期末提升卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．月日，我国自主研发的T1200级超高强度碳纤维正式全球首发，这是目前全球强度最高的工业化量产碳纤维，其拉伸强度超兆帕，是普通钢材的倍，但T1200碳纤维丝的直径还不到．数据用科学记数法表示是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，需要满足，为正整数，等于原数中第一个非零数字前所有的个数． 【详解】解：原数中，第一个非零数字为，其前面共有个，取符合． ． 2．若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 第一个分式有意义要求分母不为零，即，解得且，第二个分式的分母为，当 时，分母不为零，因此第二个分式总有意义． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， ∴ 且 ． 对于分式，分母时有意义， ∵， ∴， ∴分式 有意义． 故选：A ． 3．某小组5名学生一次测试的平均成绩为80分，已知其中4名学生的成绩分别为82分、78分、90分、75分，则另一名学生的成绩是（   ） A．72分 B．75分 C．80分 D．86分 【答案】B 【分析】先求出5名学生的总成绩，再减去其他4名学生的成绩，即可得出答案. 【详解】解：5名学生一次测试的平均成绩为80分， 分 故选：B 【点睛】此题考查了算数平均数，掌握算数平均数的计算公式是解答此题的关键. 4．五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键． 根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意； B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意； C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意； D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意； 故选：D． 5．【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，将姐妹点代入解析式即可求解； 【详解】解：设梦幻点 ∵ ∴， 点是直线上的“姐妹点”， ， ， 点； 故答案为：D． 6．已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 7．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 8．如图，是平行四边形的对角线，将图形沿着翻折，使点A落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由翻折的性质得、，根据平行四边形的性质得到，则，利用三角形外角的性质求出的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：、， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形，其对角线，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质，可得，四边形是平行四边形，过点D作于点E，过点B作于点F，证明，可得，四边形是菱形，设，连接，由勾股定理可得，，求解即可; 【详解】解：∵两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 过点D作于点E，过点B作于点F，， 根据题意可得， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设， 连接，则， ∴， 根据勾股定理得， ∴， 整理得， 故， 解得， 故． 10．如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点，，，下列条件中，不能证明的是（     ） A．为矩形两条对角线的交点 B．为对角线的中垂线 C． D． 【答案】D 【分析】由矩形性质可得，进而得出 ， ，结合全等三角形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ， A、∵为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、∵为对角线的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 此时只有三个角对应相等，缺少对应边相等的条件，不能判定， 故此选项符合题意． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．化简： =__________ 【答案】/ 【详解】解：． 12．计算：______． 【答案】 【分析】含乘方的分式的乘除法混合运算，分式的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除，最后算加减. 有括号的，先算括号里的. 【详解】解： 故答案为. 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据点，，得，，又的面积为，求出的长，再根据平移规律即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∵将线段平移后得到线段，点在轴上， ∴，，， ∴四边形的面积是． 14．东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中正确的有________ ． ①两人前行过程中的速度为180米/分； ②m的值是15，n的值是2700； ③爸爸返回时的速度为90米/分； ④运动18分钟或31分钟时，两人相距810米． 【答案】 ①②③ 【详解】解：∵（米/分）， ∴①正确，符合题意； 由题意得，， ∴②正确，符合题意； （米/分），则爸爸返回时的速度为90米/分， ∴③正确，符合题意； ∵当运动18分钟时，爸爸离家的距离为（米），东东离家的距离为（米）， ∴运动18分钟时两人相距（米）； ∵返程过程中东东分钟走了3600米， ∴东东返程速度为（米/分）， ∴运动31分钟时东东离家的距离为（米），爸爸离家的距离为（米）， ∴运动31分钟两人相距（米）， ∴④错误，不符合题意； 综上，正确的结论有①②③． 15．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 16．如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至点使，连接，，可证得，于是有；又与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线，可知，，由勾股定理即可求解的最小值． 【详解】解：延长至点使，连接，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．先化简：，再从，2，3中选择一个适当的数x，代入求值． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的加减运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，结合分式有意义的条件确定，最后代入计算即可． 【详解】解：， ． ∵，， 当时，原式． 18．为响应“书香校园”建设的号召，某校开展“每日阅读一小时”主题活动．从七、八年级分别随机抽取10名学生，调查每名学生平均每天课外阅读时长（单位：）． 信息一  七年级抽取的10名学生平均每天课外阅读时长： 0.5，0.8，1.2，1.5，1.5，2.0，2.2，2.5，2.8，3.0 信息二  八年级抽取的10名学生平均每天课外阅读时长频数分布直方图 信息三  统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 1.8 0.636 八年级 1.3 1.45 1.0 0.21 请根据以上提供的信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)通过比较方差大小，可知__________年级学生平均每天课外阅读时长的个体差异较大； (3)结合统计量与调查情况，分别对七、八年级学生课外阅读活动提出一条合理建议． 【答案】(1)； (2)七 (3)七年级阅读时长较短的同学增加每日课外阅读时间；八年级可以适当增加课外阅读的平均时长，多安排一些阅读时间，提升阅读量（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据中位数、众数的概念求解； （2）根据方差判断即可； （3）结合平均值、中位数、众数、方差提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：10名学生平均每天课外阅读时长的中位数为从小到大第5、6位的平均值， ； 出现次数最多的是， ； （2）解：， 七年级学生平均每天课外阅读时长的个体差异较大； （3）解：七年级的平均值大于八年级的平均， 七年级的方差大于八年级的方差， 故可建议：七年级阅读时长较短的同学增加每日课外阅读时间； 八年级可以适当增加课外阅读的平均时长，多安排一些阅读时间，提升阅读量． 19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点C作出线段的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若（2）中所作的垂线交x轴于点D，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）如图，连接，，首先证明出，然后分别以点A和点B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线即可； （3）如图，连接，由垂直平分线的性质得到，设，然后利用勾股定理列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； 将代入得，， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接，， ∵， ∴当时，， 解得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，即为所求； （3）解：如图，连接 ∵垂直平分 ∴ ∴ 设 ∴ 解得 ∴ 20．凤鸟回眸，羽翼镌刻着晋国风云；一尊一世界，映照青铜时代的华彩．山西博物院将这份厚重传奇，化作可携的光影——“晋侯鸟尊”纪念章与“青铜华彩”书签，让三千年历史在掌心流转．已知购买1枚纪念章比购买1枚书签多花15元，用1200元购买纪念章的数量与用900元购买书签的数量相同． (1)每枚纪念章和每枚书签的价格各是多少元？ (2)某旅行团计划用2500元预算购买纪念章和书签作为礼物送给游客，若要求购买的总数量为50枚，则最多可以购买多少枚纪念章？ 【答案】(1)每枚纪念章的价格为元，每枚书签的价格为元 (2)最多可以购买枚纪念章 【分析】（1）设每枚纪念章的价格为元，则每枚书签的价格为元，由题意得，然后进行求解即可； （2）设购买枚纪念章，则购买书签为枚，由题意得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设每枚纪念章的价格为元，则每枚书签的价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：每枚纪念章的价格为元，每枚书签的价格为元． （2）解：设购买枚纪念章，则购买书签为枚，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴的最大值为； 答：最多可以购买枚纪念章． 21．一次函数的图象与轴交于点，且经过点． (1)求点和点的坐标； (2)直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）点，的坐标满足一次函数的表达式，将点，的坐标分别代入，求解即可得到答案； （2）因为一次函数的图象是一条直线，且点和点在该函数图象上，所以过点和点作一条直线，该直线即为一次函数的图象； （3）分两种情况：当时， 当时． 【详解】（1）因为一次函数的图象经过点，且点的纵坐标为，可得 解得 所以点的坐标为． 因为一次函数经过点，可得 解得 所以点的坐标为． （2）一次函数的图象如图所示． （3）根据题意可知，． 当时，可知点的坐标为． 当时，可知点的坐标为． 所以点的坐标为或． 22．如图，是一张长方形纸片，且，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，那么等于多少度？请证明你的结论． 【答案】 证明：在长方形中，， ∵， ， 根据折叠可得， ， 取的中点，连接， ， ∴， ∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴， ， 根据折叠可得． 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质得出，取的中点，连接，证明是等边三角形，则，，再根据折叠的性质即可求解． 【详解】略 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等 ①求点的坐标；     ②若且，求点的坐标． (2)若点为，连接，将沿轴方向向右平移得到（点的对应点分别为点），若的周长为，四边形的周长为，求点的坐标（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点到两坐标轴的距离相等，据此列方程求解的值即可解答；②利用，可知平行于轴，从而确定点的纵坐标；利用确定线段长度，结合点的坐标，分点在点左侧和右侧两种情况讨论即可求解； （2）利用平移的性质（对应线段相等，对应点连线平行且相等）将四边形的周长转化为的周长与平移距离的关系，从而求出平移距离，最后根据平移规律即可写出点的坐标． 【详解】（1）解：①到两坐标轴的距离相等，且在第三象限， ， ， ； ②， ， 且，， 或； （2）沿轴方向向右平移得到， ，， 的周长为， ， 四边形的周长为， ， ， ， 点为， 点的坐标为． 24．如图，在中，，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接． (1)已知①；②两个条件，请你从中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程； (2)在（1）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)选①， 证明如下：四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 选②， 证明如下：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵共线， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； (2)18 【分析】（1）由平行四边形的性质得，选择①：证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，结合，推出即可证明；选择②：由等腰三角形的性质得，进而证明四边形是平行四边形，推出即可证明； （2）证明得，再由勾股定理求得，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， 在中，， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末提升卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．月日，我国自主研发的T1200级超高强度碳纤维正式全球首发，这是目前全球强度最高的工业化量产碳纤维，其拉伸强度超兆帕，是普通钢材的倍，但T1200碳纤维丝的直径还不到．数据用科学记数法表示是（     ） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 3．某小组5名学生一次测试的平均成绩为80分，已知其中4名学生的成绩分别为82分、78分、90分、75分，则另一名学生的成绩是（   ） A．72分 B．75分 C．80分 D．86分 4．五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 5．【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 7．综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 8．如图，是平行四边形的对角线，将图形沿着翻折，使点A落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形，其对角线，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点，，，下列条件中，不能证明的是（     ） A．为矩形两条对角线的交点 B．为对角线的中垂线 C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．化简： =__________ 12．计算：______． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 14．东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中正确的有________ ． ①两人前行过程中的速度为180米/分； ②m的值是15，n的值是2700； ③爸爸返回时的速度为90米/分； ④运动18分钟或31分钟时，两人相距810米． 15．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 16．如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．先化简：，再从，2，3中选择一个适当的数x，代入求值． 18．为响应“书香校园”建设的号召，某校开展“每日阅读一小时”主题活动．从七、八年级分别随机抽取10名学生，调查每名学生平均每天课外阅读时长（单位：）． 信息一  七年级抽取的10名学生平均每天课外阅读时长： 0.5，0.8，1.2，1.5，1.5，2.0，2.2，2.5，2.8，3.0 信息二  八年级抽取的10名学生平均每天课外阅读时长频数分布直方图 信息三  统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 1.8 0.636 八年级 1.3 1.45 1.0 0.21 请根据以上提供的信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)通过比较方差大小，可知__________年级学生平均每天课外阅读时长的个体差异较大； (3)结合统计量与调查情况，分别对七、八年级学生课外阅读活动提出一条合理建议． 19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点C作出线段的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若（2）中所作的垂线交x轴于点D，请直接写出点D的坐标． 20．凤鸟回眸，羽翼镌刻着晋国风云；一尊一世界，映照青铜时代的华彩．山西博物院将这份厚重传奇，化作可携的光影——“晋侯鸟尊”纪念章与“青铜华彩”书签，让三千年历史在掌心流转．已知购买1枚纪念章比购买1枚书签多花15元，用1200元购买纪念章的数量与用900元购买书签的数量相同． (1)每枚纪念章和每枚书签的价格各是多少元？ (2)某旅行团计划用2500元预算购买纪念章和书签作为礼物送给游客，若要求购买的总数量为50枚，则最多可以购买多少枚纪念章？ 21．一次函数的图象与轴交于点，且经过点． (1)求点和点的坐标； (2)直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点坐标． 22．如图，是一张长方形纸片，且，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，那么等于多少度？请证明你的结论． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等 ①求点的坐标；     ②若且，求点的坐标． (2)若点为，连接，将沿轴方向向右平移得到（点的对应点分别为点），若的周长为，四边形的周长为，求点的坐标（用含的式子表示）． 24．如图，在中，，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接． (1)已知①；②两个条件，请你从中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程； (2)在（1）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 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