专题06分式的概念、基本性质期末复习讲义（15大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题06分式的概念、基本性质期末复习讲义 期末复习◆重点 分式判定准则：代数式原始分母含有字母则为分式，π属于常数，整式与分式的区分仅依据原式，不可通过化简结果判定。 字分母取值约束：分母不为零时，分式有意义；分母等于零时，分式无意义；仅当分子取值为零且分母不为零时，分式的值为零。 分分式符号规律：分子与分母符号相同，分式结果为正；分子与分母符号相异，分式结果为负。 核核心恒等性质：分式的分子与分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值保持恒定。 符符号变换规则：分子、分母、分式本身三处符号，同步变更其中任意两处，分式数值不变。 三三类基础变形应用：系数整数化、约分、通分；约分最终化为最简分式，通分的核心是求取各分母的最简公分母。 核心题型◆归纳 题型1.分式的判断 题型2.分式有意义、无意义的条件 题型3.分式值为零的条件 题型4.分式的求值 题型5.判断分式变形是否正确 题型6.将分式的分子分母最高次项化为正数 题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数 题型8.约分，化为最简分式 题型9.找最简公分母，进行通分 题型10.按要求构造分式 题型11.求使分式变形成立的条件 题型12.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型13.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型14.分式的规律性问题 题型15.求使分式值为整数时未知数的整数值 重点知识◆梳理 【知识点一、分式的概念】 1.若A、B均为整式，且分母B含有字母、B≠0，则代数式叫做分式。其中：A为分子，B为分母。 2.核心判定依据：分母含字母且为分式，分母无字母为整式，与分子无关。 【知识点二、分式的取值条件】 ✅设分式为 情况 满足条件 文字说明 易错提醒 分式有意义 B≠0 分母不等于 0 多个因式时分母≠0 用 “且” 连接，不能写 “或” 分式无意义 B=0 分母等于 0 只看分母，和分子取值无关 分式的值为 0 A=0 且 B≠0 分子等于 0，同时分母不能为 0 两个条件缺一不可，必须检验分母不为 0 【知识点三、分式的基本性质】 分式的分子与分母，同时乘或除以同一个不为 0的整式，分式的值保持不变。 =  ，=.(C≠0) 提示：分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 【知识点四、分式符号变化法则】 ==-, = 适用范围：分子、分母、分式本身三处符号，任意改变两处，分式大小不变。 【知识点五、约分与最简分式】 1.约分：依据分式基本性质，约去分子、分母中公因式的过程叫约分； 2.约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去相同公因式； 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，分式运算结果必须化为最简形式。 【知识点六、通分】 1.把多个异分母分式，化为同分母分式的变形过程叫通分。 ★关键：（1）确定最简公分母； （2）系数：取各分母系数的最小公倍数； （3）字母：选取所有字母，统一保留最高次幂； （4）多项式：先因式分解，再确定整体公共因式。 2.约分与通分的区别用表格表示 对比维度 约分 通分 定义 约去分子、分母公因式，化简分式的恒等变形 将异分母分式化为等值同分母分式的恒等变形 依据 分式基本性质：分子分母同除以一个非零整式 分式基本性质：分子分母同乘一个非零整式 核心目的 化简分式，化为最简分式 统一分母，便于分式加减运算 主要步骤 1. 分子分母因式分解；2. 提取公因式；3. 约去公因式 1. 各分母因式分解；2. 确定最简公分母；3. 分子分母同乘整式化为同分母 式子变化 分子、分母整体缩小 分子、分母整体扩大 核心关键 寻找分子、分母公因式 确定各分母最简公分母 【知识点七、易错知识点提醒】 1.概念：分式判定只看分母是否含字母，切勿受分子形式干扰； 2.条件：求解分式值为 0 的问题时，必须双重限制，切勿忽略分母不为 0； 3.性质：利用分式性质变形时，所乘、除的整式不能为0； 4.约分：只有乘积形式可约分，加减结构不能直接消项，务必先因式分解； 5.符号：灵活运用符号法则，杜绝随意改动符号导致计算错误。 题型解析◆精准备考 题型1.分式的判断 1．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 2．式子，，，，中，分式有_________个 【答案】3 【分析】根据分母中是否含有字母为标准判断即可． 【详解】∵ ，中，分母不含字母， ∴不是分式； ∵中，分母中含有字母a,b， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母y， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母x， ∴是分式； 共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的识别，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 3．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 题型2.分式有意义、无意义的条件 1．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，从表格提取信息得到条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：从表格信息可得到三个条件： ① 时，无意义，即时分母为； ② 时，无意义，即时分母为； ③ 时，，即时分子为且分母不为． A、，时，分母，有意义，不符合条件①，排除A； B、，时，分母，有意义，不符合条件②，排除B； C、，时，分子，，不符合条件③，排除C； D、，时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，D符合要求． 2．已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【详解】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 3．已知分式，请解决以下问题． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x为何值时，该分式的值为1？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为1的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为1的条件可得，解出分式方程，由此求解即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， 所以时，分式无意义； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根， 即当时，分式的值为1． 题型3.分式值为零的条件 1．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据分式无意义的条件和分式值为0的条件，求出m，n后得到分式，再代入条件求解计算即可. 【详解】解：∵当时分式无意义，分式无意义时分母为0， ∴，解得； ∵当时分式值为，分式值为0时分子为0且分母不为0， ∴，解得，验证分母，符合条件； ∴分式为， ∵当时分式值为， ∴， ∴， 当时，， ∴. 2．若分式的值为，则的值为__________． 【答案】 【分析】分式值为零需满足分子为零且分母不为零，先求解分子为零对应的的值，再根据分母不为零舍去不符合条件的解，即可得到结果． 【详解】解：若分式的值为，则需同时满足： ， 解方程，得， 由不等式，得， 故舍去，可得． 3．当为何值时，下列分式的值为？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，分式为零的条件是分子为且分母不为，根据条件解答即可． (1)因为，可得且，可知当时，； (2)因为，可得且，可知当时，； (3)因为，可得且，可知当时，． 【详解】（1）解：， ， 解得：且， 当时，； （2）解：， ， 解得：且， 当时，； （3）解：， ， 解得：且， 当时，． 题型4.分式的求值 1．若，则的值是（     ） A．1． B．0． C．-1． D．-2． 【答案】A 【详解】解：， 、、的值均不为0． ． 2．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，       ∴原式       ． 题型5.判断分式变形是否正确 1．下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质化简选项，和对比即可得到结果． 【详解】解：A、是最简分式，，故本选项不合题意； B、是最简分式，，故本选项不合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、是最简分式，，故本选项不合题意． 2．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)分子、分母同时乘c (2)分子、分母同时除以x (3)分子、分母同时除以 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以c，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案； （3）根据分式的性质：分式的分子分母都除以，可得答案． 【详解】（1）解：，即分子、分母同时乘c； （2）解：，即分子、分母同时除以x； （3）解：， 即分子、分母同时除以． 题型6.将分式的分子分母最高次项化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 3．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数 1．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 2．某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m笔交易中，手机支付笔数占；乙店n笔交易中，手机支付笔数占．该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所占的比例是______． 【答案】 【分析】先分别求出甲店和乙店的手机支付笔数，再计算两店总的手机支付笔数与总交易笔数，最后根据比例的定义，用总手机支付笔数除以总交易笔数得到结果． 【详解】解：根据题意，甲店手机支付笔数为 ， 乙店手机支付笔数为 ， 两店总手机支付笔数为 ， 两店总交易笔数为 ， 因此手机支付笔数所占比例为． 3．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 题型8.约分，化为最简分式 1．化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 2．填空： （1）；括号内填_______ （2）．括号内填_______ 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质与因式分解. 第一题利用分式的基本性质，将原分式分子分母同乘即可得到结果. 第二题先对分母因式分解，再约分即可得到结果． 【详解】（1）根据分式的基本性质，分式的分母由变为，是分子和分母同时乘以，且， 因此分子也应乘以，得 ； （2）对原式分母用平方差公式进行因式分解， 得， 因此 ， 因为， 所以， 故， 根据分式的基本性质，分子分母同除以不为的， 约分可得 ． 3．请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】根据题意选取两个整式分别作为分子和分母，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下： ； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟知方式的基本性质是解题的关键． 题型9.找最简公分母，进行通分 1．分式与的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再相乘即可得到结果. 【详解】解：∵ 两个分母的系数分别为和，最小公倍数为； 的次数分别为和，取最高次幂； 的次数分别为和，取最高次幂； ∴ 两个分式的最简公分母为. 2．分式和的最简公分母是________． 【答案】 【分析】分别求出分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母. 【详解】解：首先求分母系数的最小公倍数，和的最小公倍数为； 再确定各字母的最高次幂：的最高次幂为，的最高次幂为，单独出现的字母需要计入， 因此可得分式和的最简公分母是. 3．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1）解： ； （2）不变 ； （3） ； （4）； 题型10.按要求构造分式 1．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解． 【详解】解：这种图书的库存量是：（册）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系． 2．把的盐溶在的水中，那么在这种盐水中的含盐量为________． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解． 【详解】解：在这种盐水中的含盐量为：， 故答案为：． 3．用适当的代数式表示下列问题的结果： (1)的面积为S，边的长为c，则边上的高是多少？ (2)水果店购进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为，箱子的质量为，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？ (3)有两块棉田，第一块，产棉花；第二块，产棉花．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少千克？ (4)一件商品的售价是x元，利润率为，则这种商品每件的成本是多少元？ 【答案】(1) (2) 元/千克 (3) 千克/公顷 (4) 元 【分析】（1）运用三角形面积公式进行求解即可． （2）运用销售问题的数量关系进行求解即可． （3）运用平均产量的计算方法进行求解即可． （4）运用利润率的计算公式，对已知量变形整理即可得到结果． 【详解】（1）解：设边上的高为， 根据三角形面积公式，已知，代入得，整理得． （2）解：由题意得，橘子的净质量为． 为不亏本，总售价不低于成本元， 因此每千克零售价至少为元． （3）解：由题意得，两块棉田总产棉花，总面积为， 因此平均每公顷棉产量为千克/公顷． （4）解：设这种商品每件成本为元.． 根据利润率的定义可得， 整理得，， 解得，即每件成本为元． 题型11.求使分式变形成立的条件 1．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质可将左边的等式分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 2．填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的基本性质与因式分解，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质，分子分母同乘求解即可； （2）将分母因式分解后再约分即可． 【详解】解：（1）左边分式的分母为，右边分式分母为， 由于， 因此分子分母同乘，分子， 故括号内应填； （2）左边分式分母可因式分解为， 故， 因此右边分式分母为， 故括号内应填． 故答案为：；． 3．小明翻开自己小学时的作业本，发现如下三道练习题的解答： 他发现有些运算结果错了，也有些运算结果歪打正着是对的．他将此事分享给班级数学兴趣小组，兴趣小组“错”中取义，对这三题解答过程中的运算结果的正确性进行探究，他们从练习②、③的计算过程中提炼出以下两个“非法运算”规则． “非法运算”（I）：对于非零实数a，b，c，d（其中），则 “非法运算”（II）：对于非零实数a，b，c（其中），则． (1)三道练习中，运算结果正确的是______________；（填序号） (2)判断“非法运算”（I）规则是否成立？若成立，请证明；若不成立，请探索当a，b，c，d满足何种条件时，该运算的结果是正确的． (3)是否存在非零实数a，b，c，使“非法运算”（II）的运算结果正确？若存在，求a，b，c应满足的条件；若不存在，请证明． 【答案】(1)①② (2)解：， ， ， ， ， 故结论不成立， 当a，b，c，d满足时，运算结果是正确的． (3)解：若不成立，理由如下： 根据题意，得， 非零实数a，b，c， ， ， ， ， 故方程没有实数根， 故结论不成立． 【分析】（1）根据有理数的混合运算，计算判断即可； （2）根据实数的混合运算，解答即可． （3）利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：，故①正确；，故②正确； ，故③错误． （2）略 （3）略 题型12.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．已知分式中，把，的值都扩大到原来的倍，则原分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．缩小倍 D．扩大倍 【答案】A 【分析】将扩大倍数后的m，n代入原分式，化简后与原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：∵把m，n的值都扩大到原来的7倍后，新分式的分子为，新分式的分母为， ∴新分式为，与原分式相等， 因此原分式的值不变． 2．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 3．已知：公式，其中，请用，表示． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，先去分母得到，进而得到，则。 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型13.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 2．当________时，分式的值为负． 【答案】 【分析】由分式的值为负结合非负数的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵的值为负， 又∵， ∴， ∴． 3．【感知】：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式．我们知道“两数相除，同号得正，异号得负”，因此在解分式不等式时，原不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 所以原分式不等式的解集是或． (1)【探究】：解分式不等式． (2)【应用】：求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把原分式不等式转化为两个不等式组求解即可； （2）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，把原分式不等式转化为两个不等式组求解即可． 【详解】（1）解：不等式可化为不等式组：①或② 解不等式组①，得不等式组无解， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为． （2）解：不等式可化为不等式组：①或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得． 所以不等式的解集为或． 题型14.分式的规律性问题 1．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察数列分子、分母和对应序号的关系，总结出第n个数的规律，代入计算即可得到结果. 【详解】解：序号为1时，分子，分母； 序号为2时，分子，分母； 序号为3时，分子，分母； 序号为4时，分子，分母； ∴ 可得规律：第个数为， 将代入公式，得， 因此第8个数为. 2．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 【答案】 【分析】分别从符号，分子系数，分母的指数三个部分归纳第n项的规律，再将代入规律得到第10个分式． 【详解】解：观察给出的分式，分部分归纳规律： 符号规律：第1个分式为正，第2个为负，第3个为正，…，可知符号规律为（为项数）； 分子规律：分子系数等于项数，分子恒含因式，因此分子为； 分母规律：分母为的次方，即； 因此第个分式为：， 当时，代入得：． 3．【代数探究】观察下列等式的结构规律： (1)仿写：根据上述规律填空： (2)归纳：请你用字母表示一个符合上述等式结构规律的等式，并求出所用字母满足的取值范围 (3)拓展：在（2）归纳表示出的等式规律中，是否存在所用字母均为整数的情况？若存在，请你求出满足条件的字母的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)取值范围： (3)存在；或 【分析】（1）根据等式中的数字变化规律填空即可； （2）根据发现的规律写出等式，并根据分式有意义的条件确定字母的值； （3）根据得到的等式结合字母为整数的条件求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴； 由题意得：，， 故答案为：； （2）解：归纳： ∵， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵且均为整数， ∴当时，，满足条件； 当时，为整数，，或（舍）， 综上：或. 题型15.求使分式值为整数时未知数的整数值 1．设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方数的性质，设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，）则，进而得，和都是正整数，都是100的因数，依此即可求解． 【详解】解：设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，） 则， 所以， 即，和都是正整数，都是100的因数，N为完全平方数，，1，4，9，16，…， ∴当时，； 当时，此时不是整数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 故使得为完全平方数的n的个数是4． 故选：A． 2．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 3．计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 【答案】(1)整数的值为 (2)整数的值为 【详解】（1）由分式有意义的条件知，故， 因为3的整数因数为3,1，，， 故， 解得 （2），故分式的值为整数即的值为整数，且， 由第（1）问知 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06分式的概念、基本性质期末复习讲义 期末复习◆重点 分式判定准则：代数式原始分母含有字母则为分式，π属于常数，整式与分式的区分仅依据原式，不可通过化简结果判定。 字分母取值约束：分母不为零时，分式有意义；分母等于零时，分式无意义；仅当分子取值为零且分母不为零时，分式的值为零。 分分式符号规律：分子与分母符号相同，分式结果为正；分子与分母符号相异，分式结果为负。 核核心恒等性质：分式的分子与分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值保持恒定。 符符号变换规则：分子、分母、分式本身三处符号，同步变更其中任意两处，分式数值不变。 三三类基础变形应用：系数整数化、约分、通分；约分最终化为最简分式，通分的核心是求取各分母的最简公分母。 核心题型◆归纳 题型1.分式的判断 题型2.分式有意义、无意义的条件 题型3.分式值为零的条件 题型4.分式的求值 题型5.判断分式变形是否正确 题型6.将分式的分子分母最高次项化为正数 题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数 题型8.约分，化为最简分式 题型9.找最简公分母，进行通分 题型10.按要求构造分式 题型11.求使分式变形成立的条件 题型12.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型13.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型14.分式的规律性问题 题型15.求使分式值为整数时未知数的整数值 重点知识◆梳理 【知识点一、分式的概念】 1.若A、B均为整式，且分母B含有字母、B≠0，则代数式叫做分式。其中：A为分子，B为分母。 2.核心判定依据：分母含字母且为分式，分母无字母为整式，与分子无关。 【知识点二、分式的取值条件】 ✅设分式为 情况 满足条件 文字说明 易错提醒 分式有意义 B≠0 分母不等于 0 多个因式时分母≠0 用 “且” 连接，不能写 “或” 分式无意义 B=0 分母等于 0 只看分母，和分子取值无关 分式的值为 0 A=0 且 B≠0 分子等于 0，同时分母不能为 0 两个条件缺一不可，必须检验分母不为 0 【知识点三、分式的基本性质】 分式的分子与分母，同时乘或除以同一个不为 0的整式，分式的值保持不变。 =  ，=.(C≠0) 提示：分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 【知识点四、分式符号变化法则】 ==-, = 适用范围：分子、分母、分式本身三处符号，任意改变两处，分式大小不变。 【知识点五、约分与最简分式】 1.约分：依据分式基本性质，约去分子、分母中公因式的过程叫约分； 2.约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去相同公因式； 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，分式运算结果必须化为最简形式。 【知识点六、通分】 1.把多个异分母分式，化为同分母分式的变形过程叫通分。 ★关键：（1）确定最简公分母； （2）系数：取各分母系数的最小公倍数； （3）字母：选取所有字母，统一保留最高次幂； （4）多项式：先因式分解，再确定整体公共因式。 2.约分与通分的区别用表格表示 对比维度 约分 通分 定义 约去分子、分母公因式，化简分式的恒等变形 将异分母分式化为等值同分母分式的恒等变形 依据 分式基本性质：分子分母同除以一个非零整式 分式基本性质：分子分母同乘一个非零整式 核心目的 化简分式，化为最简分式 统一分母，便于分式加减运算 主要步骤 1. 分子分母因式分解；2. 提取公因式；3. 约去公因式 1. 各分母因式分解；2. 确定最简公分母；3. 分子分母同乘整式化为同分母 式子变化 分子、分母整体缩小 分子、分母整体扩大 核心关键 寻找分子、分母公因式 确定各分母最简公分母 【知识点七、易错知识点提醒】 1.概念：分式判定只看分母是否含字母，切勿受分子形式干扰； 2.条件：求解分式值为 0 的问题时，必须双重限制，切勿忽略分母不为 0； 3.性质：利用分式性质变形时，所乘、除的整式不能为0； 4.约分：只有乘积形式可约分，加减结构不能直接消项，务必先因式分解； 5.符号：灵活运用符号法则，杜绝随意改动符号导致计算错误。 题型解析◆精准备考 题型1.分式的判断 1．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．式子，，，，中，分式有_________个 3．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 题型2.分式有意义、无意义的条件 1．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * 无意义 * … A． B． C． D． 2．已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 3．已知分式，请解决以下问题． (1)当x取何值时，该分式无意义？ (2)当x为何值时，该分式的值为1？ 题型3.分式值为零的条件 1．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A．8 B．6 C．4 D．2 2．若分式的值为，则的值为__________． 3．当为何值时，下列分式的值为？ (1)； (2)； (3)． 题型4.分式的求值 1．若，则的值是（     ） A．1． B．0． C．-1． D．-2． 2．若，则的值为________． 3．已知，求代数式的值． 题型5.判断分式变形是否正确 1．下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 2．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 题型6.将分式的分子分母最高次项化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7.将分式的分子分母各项系数化为整数 1．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 2．某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m笔交易中，手机支付笔数占；乙店n笔交易中，手机支付笔数占．该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所占的比例是______． 3．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 题型8.约分，化为最简分式 1．化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 2．填空： （1）；括号内填_______ （2）．括号内填_______ 3．请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 题型9.找最简公分母，进行通分 1．分式与的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 2．分式和的最简公分母是________． 3．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10.按要求构造分式 1．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 2．把的盐溶在的水中，那么在这种盐水中的含盐量为________． 3．用适当的代数式表示下列问题的结果： (1)的面积为S，边的长为c，则边上的高是多少？ (2)水果店购进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为，箱子的质量为，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？ (3)有两块棉田，第一块，产棉花；第二块，产棉花．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少千克？ (4)一件商品的售价是x元，利润率为，则这种商品每件的成本是多少元？ 题型11.求使分式变形成立的条件 1．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 2．填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 3．小明翻开自己小学时的作业本，发现如下三道练习题的解答： 他发现有些运算结果错了，也有些运算结果歪打正着是对的．他将此事分享给班级数学兴趣小组，兴趣小组“错”中取义，对这三题解答过程中的运算结果的正确性进行探究，他们从练习②、③的计算过程中提炼出以下两个“非法运算”规则． “非法运算”（I）：对于非零实数a，b，c，d（其中），则 “非法运算”（II）：对于非零实数a，b，c（其中），则． (1)三道练习中，运算结果正确的是______________；（填序号） (2)判断“非法运算”（I）规则是否成立？若成立，请证明；若不成立，请探索当a，b，c，d满足何种条件时，该运算的结果是正确的． (3)是否存在非零实数a，b，c，使“非法运算”（II）的运算结果正确？若存在，求a，b，c应满足的条件；若不存在，请证明． 题型12.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．已知分式中，把，的值都扩大到原来的倍，则原分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．缩小倍 D．扩大倍 2．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 3．已知：公式，其中，请用，表示． 题型13.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．当________时，分式的值为负． 3．【感知】：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式．我们知道“两数相除，同号得正，异号得负”，因此在解分式不等式时，原不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 所以原分式不等式的解集是或． (1)【探究】：解分式不等式． (2)【应用】：求不等式的解集． 题型14.分式的规律性问题 1．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 2．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 3．【代数探究】观察下列等式的结构规律： (1)仿写：根据上述规律填空： (2)归纳：请你用字母表示一个符合上述等式结构规律的等式，并求出所用字母满足的取值范围 (3)拓展：在（2）归纳表示出的等式规律中，是否存在所用字母均为整数的情况？若存在，请你求出满足条件的字母的值，若不存在，请说明理由． 题型15.求使分式值为整数时未知数的整数值 1．设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 3．计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 学科网（北京）股份有限公司 $