专题02全等三角形性质与判定及应用暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题02全等三角形性质与判定及应用暑假预习讲义 1.理解全等形、全等三角形的概念，掌握全等三角形的规范表示方法，能结合平移、翻折、旋转等图形变换，准确找出对应顶点、对应边、对应角。 2.熟记全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，并能运用性质完成简单计算与推理。 3.掌握三角形全等的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，明确判定所需条件。 4.牢记SSA、AAA无法判定两个三角形全等，规避常见误区。 5.学会根据题目已知条件选择合适的判定定理，初步掌握全等证明的规范书写格式。 预习必备 知识点梳理 1.全等三角形的基本概念 2.图形变换与旋转 3.全等三角形的性质 4.全等三角形的判定 5.已知三边作三角形 6.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.图形的全等 2.全等三角形的概念 3.全等三角形的性质 4.尺规作图-作三角形 5.用SAS证明三角形全等 6.用SAS间接证明三角形全等 7.全等的性质和SAS综合 8.用ASA(AAS)证明三角形全等 9.全等的性质和ASA(AAS)综合 10.用SSS证明三角形全等 11.全等的性质和SSS综合 12.三角形的稳定性及应用 13.用HL证全等 14.全等的性质和HL综合 15.添加条件使三角形全等 16.灵活选用判定方法证全等 17.倍长中线模型 18.垂线模型 19.全等三角形综合问题 20.旋转模型 强化题型 解答题11题 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:全等三角形证明题书写规范 1.格式统一使用三段论： ① 写出在哪两个三角形中； ② 按判定定理顺序列出三组相等条件（标注已知、公共边、公共角、对顶角等依据）； ③ 得出三角形全等结论，注明判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS）。 2.条件书写顺序要与判定定理名称保持一致。 知识点07:高频易错点 易错内容 错误表现 正确做法 判定误用 用 SSA、AAA 证明全等 严格对照 5 个判定定理，缺条件不能证全等 SAS 夹角出错 用两边和其中一边对角证全等 必须锁定两边中间的夹角 HL 乱用 非直角三角形使用 HL 判定 HL 只适用于 Rt△，普通三角形选用 SSS/SAS/ASA/AAS 对应元素找错 书写全等时顶点乱序，导致边角找错 按重合顺序书写全等符号，定点定边角 证明跳步 缺少关键条件直接得出全等 把已知、隐含条件逐一写明，条件凑齐再证全等 题型1.图形的全等 【典例】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C． D． 【跟踪专练1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 题型2.全等三角形的概念 【典例】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【跟踪专练2】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型3.全等三角形的性质 【典例】如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 【跟踪专练1】如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 【跟踪专练2】如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 题型4.尺规作图-作三角形 【典例】已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【跟踪专练1】如图所示，已知一条直线和直线外一点，仅用圆规和无刻度直尺完成其中两条直线的某种位置关系的作图，作图结果为图所示．①以点为圆心画弧线；②以点为圆心画弧线；③以点为圆心画弧线．请从下面选项中选择正确的用圆规画弧线的顺序（   ） A．②①③ B．①③② C．②③① D．①②③ 【跟踪专练2】在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 题型5.用SAS证明三角形全等 【典例】下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为______． 【跟踪专练2】如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，中，，在角平分线上，设，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．、大小不确定 题型6.用SAS间接证明三角形全等 【典例】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【跟踪专练2】在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 题型7.全等的性质和SAS综合 【典例】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 【跟踪专练1】如图，平分，，为上任一点，要证，应先证________，得________=________，________=________，继而有________，理由是________． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型8.用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例】如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是______．    【跟踪专练2】手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 题型9.全等的性质和ASA(AAS)综合 【典例】如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【跟踪专练1】如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【跟踪专练2】如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型10.用SSS证明三角形全等 【典例】油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【跟踪专练2】如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 题型.11.全等的性质和SSS综合 【典例】如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则________． 【跟踪专练2】如图，在与中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型12.三角形的稳定性及应用 【典例】如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【跟踪专练1】（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【跟踪专练2】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 题型13.用HL证全等 【典例】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则______． 【跟踪专练2】如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 题型14.全等的性质和HL综合 【典例】如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，，一动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，随着点的运动而运动，且始终保持，当点（不与点重合）经过___________时，和全等． 【跟踪专练2】如图，在中，P，Q分别是上的点，作，垂足分别为R，S，若，则以下四个结论：①平分；②；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型15.添加条件使三角形全等 【典例】如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 【跟踪专练2】如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型16.灵活选用判定方法证全等 【典例】如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的是（　　） A．两个面积相等的三角形全等 B．两个等边三角形全等 C．两边及第三边上的高对应相等的三角形全等 D．两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等 【跟踪专练3】利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 题型17.倍长中线模型 【典例】如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 【跟踪专练2】已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型18.垂线模型 【典例】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 题型19.全等三角形综合问题 【典例】如图，在2×2的正方形网格中，线段的端点均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【跟踪专练2】如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 题型20.旋转模型 【典例】如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【跟踪专练1】如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则____________． 【跟踪专练2】如图，Rt中，，，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（ 　  ）． A． B． C． D． 解答题 1．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 2．如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 3．如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：≌； (2)判断线段与线段的关系，说明理由． 4．如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 5．如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 6．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 7．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． . (1)求证：； (2)若，求的长． 8．如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 9．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 10．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 同（1），可证， ∴， ∵，∴， ∴， 11．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02全等三角形性质与判定及应用暑假预习讲义 1.理解全等形、全等三角形的概念，掌握全等三角形的规范表示方法，能结合平移、翻折、旋转等图形变换，准确找出对应顶点、对应边、对应角。 2.熟记全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，并能运用性质完成简单计算与推理。 3.掌握三角形全等的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，明确判定所需条件。 4.牢记SSA、AAA无法判定两个三角形全等，规避常见误区。 5.学会根据题目已知条件选择合适的判定定理，初步掌握全等证明的规范书写格式。 预习必备 知识点梳理 1.全等三角形的基本概念 2.图形变换与旋转 3.全等三角形的性质 4.全等三角形的判定 5.已知三边作三角形 6.高频易错点 常考题型 精讲精炼 1.图形的全等 2.全等三角形的概念 3.全等三角形的性质 4.尺规作图-作三角形 5.用SAS证明三角形全等 6.用SAS间接证明三角形全等 7.全等的性质和SAS综合 8.用ASA(AAS)证明三角形全等 9.全等的性质和ASA(AAS)综合 10.用SSS证明三角形全等 11.全等的性质和SSS综合 12.三角形的稳定性及应用 13.用HL证全等 14.全等的性质和HL综合 15.添加条件使三角形全等 16.灵活选用判定方法证全等 17.倍长中线模型 18.垂线模型 19.全等三角形综合问题 20.旋转模型 强化题型 解答题11题 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:全等三角形证明题书写规范 1.格式统一使用三段论： ① 写出在哪两个三角形中； ② 按判定定理顺序列出三组相等条件（标注已知、公共边、公共角、对顶角等依据）； ③ 得出三角形全等结论，注明判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS）。 2.条件书写顺序要与判定定理名称保持一致。 知识点07:高频易错点 易错内容 错误表现 正确做法 判定误用 用 SSA、AAA 证明全等 严格对照 5 个判定定理，缺条件不能证全等 SAS 夹角出错 用两边和其中一边对角证全等 必须锁定两边中间的夹角 HL 乱用 非直角三角形使用 HL 判定 HL 只适用于 Rt△，普通三角形选用 SSS/SAS/ASA/AAS 对应元素找错 书写全等时顶点乱序，导致边角找错 按重合顺序书写全等符号，定点定边角 证明跳步 缺少关键条件直接得出全等 把已知、隐含条件逐一写明，条件凑齐再证全等 题型1.图形的全等 【典例】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形为全等图形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、这两个图形能够完全重合，它们属于全等图形，故该选项符合题意； B、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； C、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； D、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，故该选项不符合题意； 故选：A 【跟踪专练1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形判断即可求解，掌握全等图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、两个图形大小不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形形状不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形大小、形状一样，可以完全重合，是全等图形，符合题意； 、两个图形大小不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 题型2.全等三角形的概念 【典例】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【跟踪专练1】已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 【跟踪专练2】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 题型3.全等三角形的性质 【典例】如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 【答案】12 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，，进而得的周长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴的周长． 【跟踪专练2】如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 题型4.尺规作图-作三角形 【典例】已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 【跟踪专练1】如图所示，已知一条直线和直线外一点，仅用圆规和无刻度直尺完成其中两条直线的某种位置关系的作图，作图结果为图所示．①以点为圆心画弧线；②以点为圆心画弧线；③以点为圆心画弧线．请从下面选项中选择正确的用圆规画弧线的顺序（   ） A．②①③ B．①③② C．②③① D．①②③ 【答案】A 【分析】根据过直线外一点作已知直线的平行线的尺规作图方法，即可得解． 【详解】解：依图得，该作图过程是过直线外一点作直线的平行线， 则根据过直线外一点作直线的平行线尺规作图方法可知： 第一步，过点作任意一条直线交于点， 第二步，以点为圆心，任意长度为半径画弧，与直线和分别相交于点、，即， 第三步，以点为圆心，长度为半径画弧，与直线相交于点，即， 第四步，以点为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点，即， 第五步，连接， 此时和中， ， ， ， ， 综上，正确的用圆规画弧线的顺序为②①③． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的判定、尺规作图之过直线外一点作直线的平行线，解题关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线的尺规作图法． 【跟踪专练2】在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、小赵同学作图判定的依据是，正确，本选项符合题意； B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，不符合题意； C、小刘同学作图判定的依据应该是，错误，本选项不符合题意； D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，本选项不符合题意． 故选：A． 题型5.用SAS证明三角形全等 【典例】下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为______． 【答案】4或 【分析】本题主要考查三角形全等的判定． 设运动，则，，，由于在长方形中，，因此①当，时，，②当，时，，代入即可求解v的值． 【详解】设运动，则，，， ∵在长方形中，， ∴①当，，即，时，， 解得：， 或当，，即，时，， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或 【跟踪专练2】如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 当添加， ∵，，，不能证明， ∴A选项不符合题意； 当添加，那么，即， ∵，，，不能证明， ∴B选项不符合题意； 当添加， ∵，，，满足， ∴可证， ∴C选项符合题意； 当添加，不能证明， ∴D选项不符合题意； ∴需要添加的条件可以是， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，中，，在角平分线上，设，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．、大小不确定 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，可得，根据三角形三边的关系即可证明结论． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，， 而， ∴， ∵， ∴即， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的应用，作出辅助线后灵活运用全等三角形的判定和性质和三角形三边关系求证是解题关键． 题型6.用SAS间接证明三角形全等 【典例】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 【分析】本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定等知识，根据可以判定三角形全等，延长判断即可． 【详解】解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 题型7.全等的性质和SAS综合 【典例】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用证明，则可得到米． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴米， ∴A，B间的距离为25米， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，平分，，为上任一点，要证，应先证________，得________=________，________=________，继而有________，理由是________． 【答案】 【分析】要证，需要证．而证所需的和，可由（SAS）得到． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ∵，，， ， ，， 在和中， ∵，，， ， ． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q，再证明，利用割补法可得答案． 【详解】解：如图，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q， ∴， ∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型8.用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例】如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由判定，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以直接作为判定的依据是． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 【跟踪专练2】手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 题型9.全等的性质和ASA(AAS)综合 【典例】如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出，证明，可得，则，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【分析】过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，证明，，得到，，，，证明，得到，根据得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， . ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先证明，得到，再证明，得到，从而得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型10.用SSS证明三角形全等 【典例】油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 【跟踪专练2】如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握“三边分别相等的两个三角形全等（）”是解题的关键． 根据作图过程得出三角形三边的等量关系，再依据全等三角形判定定理判断． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于， ∴． ∵以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧交于， ∴，． 在和中， ∴（）． 故选：． 题型.11.全等的性质和SSS综合 【典例】如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，则由作图可得，，证明，再根据全等三角形性质求解． 【详解】解：如图，连接，，， 由作图可得，，， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则________． 【答案】/99度 【分析】先证明，再结合邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 则， 即．， 【跟踪专练2】如图，在与中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过证明两个三角形全等，得出角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， 又， ， 故选：C． 题型12.三角形的稳定性及应用 【典例】如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 【跟踪专练1】（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 【跟踪专练2】下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 题型13.用HL证全等 【典例】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， 故选项C符合题意. 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则______． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 题型14.全等的性质和HL综合 【典例】如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，，，，一动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，随着点的运动而运动，且始终保持，当点（不与点重合）经过___________时，和全等． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点处，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； 综上：当点（不与点重合）经过或或时，和全等， 故答案为：或或． 【跟踪专练2】如图，在中，P，Q分别是上的点，作，垂足分别为R，S，若，则以下四个结论：①平分；②；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知条件利用证明，再利用全等三角形的性质可得，，从而可证①②正确；根据已知条件可知与只有一角和一边对应相等，故不能证明两三角形全等，故③错误． 【详解】解：在和中， ， ， ，， 平分， 故①②正确； 在和中， 只有两个条件， 与不一定全等， 故③错误， 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：C． 题型15.添加条件使三角形全等 【典例】如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可. 【详解】解：根据已知， 只有两个条件没法证明全等，故D选项不符合题意， 当，，根据可以得到； 当或时，不能得到. 【跟踪专练1】如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】由两个三角形全等的判定定理，结合已知条件添加一个条件即可． 【详解】解：添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ． 【跟踪专练2】如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得出，结合已知，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即． ∵， 对于A，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于B，添加，可得，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于C，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于D，添加，此时为“边边角”，不能判定，故该选项符合题意． 【跟踪专练3】数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法逐个判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 当前条件为，和 ， 若甲添加 ，此时两个三角形由两组边相等，一组角相等，下一轮无论添加边或者角都可以利用或或证明全等，所以甲必胜， ∴，符合题意； 若甲添加，满足角角边，能判定全等，甲输乙胜， ∴错误，不符合题意； 若乙第二轮添加 为，则第三轮甲无论添加何条件，均能判定全等，甲输乙胜， ∴正确，符合题意； 若第轮乙添加条件修改为，则第三轮和第轮只能添加 或其中之一，否则都会有边边边或边角边来判定全等， ∴游戏最多四轮必分胜负， ∵原选项中“此游戏最少四轮必分胜负” ∴错误，不符合题意； 综上，正确的是， 故选：． 题型16.灵活选用判定方法证全等 【典例】如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、等）是解题的关键． 根据图中露出的部分，确定直角三角形的两个角及其夹边，再依据全等三角形的判定定理逐一判断选项． 【详解】解：已知该三角形为直角三角形，且露出了一个锐角、直角以及这两个角所夹的一条边． 选项（）： ∵图中露出了直角、一个锐角，以及这两个角所夹的一条边，满足两角及其夹边对应相等的条件 ∴可以依据判定全等，故项正确，符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两角及其中一角的对边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两条边及其夹角的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供三条边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 故选：． 【跟踪专练1】如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【答案】 【分析】借助网格作出与全等的三角形，一共可以作出三个三角形，所以符合条件的点最多有个． 【详解】解：如下图所示， 一共可以作出三个三角形与全等， 符合条件的点最多有个． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的是（　　） A．两个面积相等的三角形全等 B．两个等边三角形全等 C．两边及第三边上的高对应相等的三角形全等 D．两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等 【答案】D 【详解】解：A、两个面积相等的三角形不一定全等，故A不符合题意； B、两个等边三角形边长的数量关系不确定，则不一定全等，故B不符合题意； C、如图，中，是高，，则图中和中，满足两边及第三边上的高对应相等，但三角形不全等，故C不符合题意； D、如图，在和中，，和是高，且，则在和中，，则由可证明，则，则由可证明， 故两角及其夹边上的高对应相等的三角形全等，故D符合题意． 【跟踪专练3】利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 题型17.倍长中线模型 【典例】如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 延长到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接，则， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 【答案】 / 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明是关键． ①利用证明即可； ②根据三角形三边关系得到，由得到答案． 【详解】解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 题型18.垂线模型 【典例】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【跟踪专练1】如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型19.全等三角形综合问题 【典例】如图，在2×2的正方形网格中，线段的端点均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形综合问题，证明即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【跟踪专练1】如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 【跟踪专练2】如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 题型20.旋转模型 【典例】如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵CC'∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝62°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°， ∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过将绕点逆时针旋转得到，利用旋转性质和等腰直角三角形、全等三角形的相关知识，结合勾股定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接． ∵ 旋转， ∴ ，，，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 在中，，， 由勾股定理得， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，Rt中，，，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（ 　  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点，过点作，连接，由已知条件可证明和全等，得到，已知点为直线上的一个动点，根据垂线段最短，当点运动到点的时候，取得最小值，也即线段的长度，根据特殊直角三角形的性质即可求得的长度． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，过点作，并且连接， ，，， 在Rt中， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， 点为直线上的一个动点， ； ，且，， ， 即：， 则的最小值是． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定以及垂线段最短等知识点，正确利用相关性质将求线段的最小值转化为求线段的最小值是解这道题的关键，同时，需要熟练掌握并灵活运用旋转、全等三角形的性质和判定等知识点． 解答题 1．如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 2．如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ． 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由，，，利用，即可判定； （2）由，可得，继而求得，则可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 3．如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：≌； (2)判断线段与线段的关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，；理由见解析 【分析】（1）先证明，，再进一步证明即可； （2）由，可得，，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， 在和中， ． ； （2）解：，；理由如下： 由（1）知：， ，， ∴． 4．如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ∴； (2)7 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 5．如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 【答案】(1)解：，理由如下， 在和中， ， ∴； (2)解：，理由如下， 由得， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】通过“”即可证明； 由得，所以，又，，所以，即，然后通过“”即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 6．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)12 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． . (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证，利用全等三角形的性质证明，结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 【答案】(1)或或 (2)证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴≌． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理添加条件即可； （2）在和中，，，由可得出，由三角形全等的判定定理知，添加条件或或，满足SAS，AAS，ASA从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 10．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长至点，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解：， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵为整数，， ∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 11．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形． (1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______； (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)； (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】（1）先判断出，进而证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）先证明，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：且； 理由如下：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：且； （3）解：，，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出是解本题的关键． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $