专题06勾股定理及其逆定理暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年苏科版八年级数学上册

专题06勾股定理及其逆定理暑假预习讲义 · 梳理推导：借助方格面积法自主梳理勾股定理推导过程，牢记定理文字表述与公式，区分直角边、斜边，能依据直角三角形两边长度计算第三边，尝试解决基础实际应用题。 · 区分互逆：读懂勾股定理逆定理，对比分清原定理与逆定理的逻辑关系，掌握通过三边平方判定直角三角形的解题步骤，识记常见勾股数。 · 感悟思想：体会数形结合核心思想，明晰 “由形得数” 和 “由数判形” 两种推理方式，串联两课时知识点，理清知识内在联系。 · 做好标记：自主演算教材例题，规范书写解题步骤，圈画预习疑点与难点，带着问题高效听课。 预习必备知识梳理 1.勾股定理的标准定义 2,定理探究原理(面积法) 3.勾股定理符号表达 4.勾股定理的逆定理 5.勾股数 6.基础与几何应用 常考题型 精讲精练 1.用勾股定理解三角形 2.直角三角形三边的图形面积 3.勾股定理求线段平方和差 4.勾股定理证明线段平方关系 5.勾股定理的证明方法 6.以弦图为背景的计算题 7.勾股定理构造图形解决问题 8.勾股定理与无理数 9.勾股数问题 10.直角三角形三边判定 11.网格中判断直角三角形 12.勾股定理逆定理求解 13.勾股定理逆定理拓展问题 14.勾股定理与网格问题 15.勾股定理与折叠问题 强化题型 解答题8题 . 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点08:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 知识点09高频易错点（考场避坑专区） 1.乱用定理：在非直角三角形中直接套用勾股定理； 2.概念混淆：分不清直角边与斜边，计算时代入数据错误； 3.忽略分类讨论：已知两边长，未分 “两边均为直角边”“一斜边一直角边” 两种情况； 4.勾股数误区：小数、分数不属于勾股数（勾股数必须是正整数）； 5.折叠题型失误：不会利用折叠的等量关系，无法构造直角三角形列方程； 6.立体图形展开错误：展开方式不对，导致直角三角形边长取值错 题型1.用勾股定理解三角形 【典例】如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据中点，求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴ 【跟踪专练1】如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 【答案】 【分析】先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D在边上，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据直角三角形角所对边是斜边的一半，可得，从而可判断选项A、B；作于E，根据勾股定理和等面积法求得、和，从而得出和的关系，可判断选项C；先证明为等边三角形，得出．再作于E，利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式列式计算即可判断选项D． 【详解】解：A、设，则， 由勾股定理得：， 所以， 即度数不是，故本选项不符合题意； B、若， ∵， ∴， ∴，， ∴，，故本选项不符合题意； C、设，则， 由勾股定理得：， 作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故本选项符合题意； D、若，， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 作于E， ∴， ∴， ∴，故本选项不符合题意． 题型2.直角三角形三边的图形面积 【典例】如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　） A．3 B．5 C．15 D．17 【答案】B 【分析】根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解． 【详解】解：是直角三角形， ， 为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长， ，，， ． 【跟踪专练1】勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【答案】60 【分析】延长，交于点，先证出，再求出的长，然后根据图中空白部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵为的斜边，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵四边形，，均为正方形， ∴，，，， ∴四边形是长方形，， ∴，点共线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵，，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∴图中空白部分的面积是 ． 【跟踪专练2】如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积已知， ∴能求出代数式的值， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握手拉手的全等模型是解题的关键． 如图连接，证，得到，证，得到三点共线且，再证，由勾股定理，得，结合全等，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，可知四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， 三点共线， ； ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据勾股定理，可知正方形的面积等于正方形面积之和， ， 又，， ， ； 综上所述，可知图形①、②的面积与的面积相等． 故选：A． 题型3.勾股定理求线段平方和差 【典例】在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝_____． 【答案】18 【分析】根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2， ∵c＝3， ∴a2+b2+c2＝2×32＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0），   且，若∠AMB=90°，则m和a之间的数量关系为 _____． 【答案】 【分析】通过勾股定理列出m、a、b的关系式即可得出答案． 【详解】解：∵M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0）， ∴， ， ∵∠AMB=90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理列出等式是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 题型4.勾股定理证明线段平方关系 【典例】在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 【跟踪专练1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 【跟踪专练3】用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式． 【详解】解：∵，即， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键． 题型5.勾股定理的证明方法 【典例】如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 【跟踪专练1】意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：∵将右半部分翻转，大小不变， ∴，故C正确； ∵，故D不正确， ，故B正确， ∴， ∴，故A正确． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 【跟踪专练3】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下底为b，高为的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D． 【详解】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下底为b，高为的梯形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵以a与b为两直角边的四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以的和为边正方形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵以a与b为两直角边的四个全等三角形面积+边长为的小正方形面积和=以c为边正方形面积， ∴， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、∵四个小图形面积和=大正方形面积， ∴， ∴， 根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 题型6.以弦图为背景的计算题 【典例】我国古代数学家赵爽在注解（周髀算经）时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是80，每个直角三角形的较长直角边与较短直角边的比为，则中间小正方形（阴影部分）的周长为_____． 【答案】16 【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为，根据勾股定理列方程得出，确定小正方形的边长为，求解即可． 【详解】解：设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为， ∵大正方形的面积是80， ∴， 解得，或（舍去）， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的周长为， 故答案为：16． 【跟踪专练1】公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：A． 【跟踪专练2】．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再由已知条件可得，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 【答案】A 【分析】用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，，则， 故，，，解答即可． 本题考查了勾股定理，完全平方公式，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，， 则， 故，，， 故， 故选：A． 题型7.勾股定理构造图形解决问题 【典例】如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. . 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 【跟踪专练1】在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 【跟踪专练2】《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为_______尺． 【答案】29 【分析】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长 (尺)， 因此葛藤长 (尺)． 故答案为：29． 【跟踪专练3】如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 题型8.勾股定理与无理数 【典例】如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长． 利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为，点O在原点上， ∴，又 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意得出，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在数轴上A、B两点所表示的数是，， ∴， ∵与数轴垂直，且， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 题型9.勾股数问题 【典例】仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，2， 【答案】A 【分析】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、因为，且6，8，10均为正整数，所以这组数是勾股数； B、，，，所以这组数不是勾股数； C、，，，所以这组数不是勾股数； D、不是正整数，所以这组数不是勾股数． 【跟踪专练2】世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【分析】通过观察已知等式中各底数的变化规律，分别归纳出第k个等式中三个数的底数表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 【跟踪专练3】如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 题型10.直角三角形三边判定 【典例】一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式求解．解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴该三角形是直角三角形，且直角边长为和， ∴三角形的面积为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】B 【分析】利用完全平方公式展开等式，整理得到三边的平方关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状 【详解】解：∵ ， ∴ ， 整理得：， ∴该三角形是直角三角形． 【跟踪专练2】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 【跟踪专练3】五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 11.网格中判断直角三角形 【典例】图中，是直角三角形的序号是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为：． 【跟踪专练1】在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型12.勾股定理逆定理求解 【典例】如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形， ∴最大内角为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理可得： 在中， 是直角三角形， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，先由面积关系证明，然后证明，，，最后得到，再由求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 由题意得，， ∵ ∴， ∴， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 题型13.勾股定理逆定理拓展问题 【典例】若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【跟踪专练1】已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 【跟踪专练2】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 题型14.勾股定理与网格问题 【典例】如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．图中格点中边上的高等于_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了割补法求三角形的面积，勾股定理．利用割补法求得，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：， ， 中边上的高等于， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【答案】/度 【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 【跟踪专练3】如图是一张正方形方格纸，点A、B、C均在格点上，方格线上有，，，四个点，其中有一点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等，该点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点D，E，F，连接，得，再求出，可得在的垂直平分线上，证明得，可得在的角平分线上，进而可得结论． 【详解】解：如图，取格点D，E，F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在的垂直平分线上，即到点A，B的距离相等． ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上，即到两边的距离相等． 综上可知，点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等． 题型15.勾股定理与折叠问题 【典例】如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ， 解得：． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练3】已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 解答题 1．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3） 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）； ， ； （2），， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 2．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 3．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用． （1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可； （2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明． 【详解】（1）解：在中，，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）解：由（1）可知，， 所以． 因为都是正数， 所以， 所以． 4．阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 【答案】(1)41 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：如图2，根据题意得：，， ， ∴的最小值是41； （2）解：如图，，， 设，则， ∴， ∴的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 5．如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． . 【答案】 【分析】根据勾股定理可知,再根据勾股定理的逆定理可知，即可求解面积． 【详解】解：连接, ∵，，， 根据勾股定理可知，, ∵，， ∴, , 则． 6．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 7．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理可得长为3、宽为1的长方形的对角线长为，长为2、宽为2的正方形的对角线长为，选择合适的矩形和正方形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可得到该三角形，观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可判断这个三角形形状． 【详解】（1）解：所作线段和如图所示（图不唯一）： （2）解：所作三角形如图所示（图不唯一）： ， 该三角形为直角三角形． 8．综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 【答案】(1)3.2 (2)2或5 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求得的长，根据折叠性质得到即可求解； （2）分为当时和当时两种情况，利用折叠性质和勾股定理，以及等腰三角形的判定分别求解即可； （3）取的中点，连接，证明得到，则，可得当T、H、B三点共线时，有最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如答图1，在Rt中，， 即 解得 ∵折叠 的长度为3.2 ； （2）解：①如答图2，根据题意，分两种情况： 当时， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； ②如答图3，当时，则 由折叠可知，， ， 设，则， 在Rt中，， ， 解得， ， 综上所述：的长度为2或5 ； （3）解：如答图4，取的中点，连接， 由折叠可知，， ， ， 分别是的中点， ， 又， ， ， ∴当T、H、B三点共线时，有最小值， 最小值． 的最小值为． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系与运用是解答的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06勾股定理及其逆定理暑假预习讲义 · 梳理推导：借助方格面积法自主梳理勾股定理推导过程，牢记定理文字表述与公式，区分直角边、斜边，能依据直角三角形两边长度计算第三边，尝试解决基础实际应用题。 · 区分互逆：读懂勾股定理逆定理，对比分清原定理与逆定理的逻辑关系，掌握通过三边平方判定直角三角形的解题步骤，识记常见勾股数。 · 感悟思想：体会数形结合核心思想，明晰 “由形得数” 和 “由数判形” 两种推理方式，串联两课时知识点，理清知识内在联系。 · 做好标记：自主演算教材例题，规范书写解题步骤，圈画预习疑点与难点，带着问题高效听课。 预习必备知识梳理 1.勾股定理的标准定义 2,定理探究原理(面积法) 3.勾股定理符号表达 4.勾股定理的逆定理 5.勾股数 6.基础与几何应用 常考题型 精讲精练 1.用勾股定理解三角形 2.直角三角形三边的图形面积 3.勾股定理求线段平方和差 4.勾股定理证明线段平方关系 5.勾股定理的证明方法 6.以弦图为背景的计算题 7.勾股定理构造图形解决问题 8.勾股定理与无理数 9.勾股数问题 10.直角三角形三边判定 11.网格中判断直角三角形 12.勾股定理逆定理求解 13.勾股定理逆定理拓展问题 14.勾股定理与网格问题 15.勾股定理与折叠问题 强化题型 解答题8题 . 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点08:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 知识点09高频易错点（考场避坑专区） 1.乱用定理：在非直角三角形中直接套用勾股定理； 2.概念混淆：分不清直角边与斜边，计算时代入数据错误； 3.忽略分类讨论：已知两边长，未分 “两边均为直角边”“一斜边一直角边” 两种情况； 4.勾股数误区：小数、分数不属于勾股数（勾股数必须是正整数）； 5.折叠题型失误：不会利用折叠的等量关系，无法构造直角三角形列方程； 6.立体图形展开错误：展开方式不对，导致直角三角形边长取值错 题型1.用勾股定理解三角形 【典例】如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【跟踪专练1】如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） . A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D在边上，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 题型2.直角三角形三边的图形面积 【典例】如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成（），则的值为（　　） A．3 B．5 C．15 D．17 【跟踪专练1】勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【跟踪专练2】如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型3.勾股定理求线段平方和差 【典例】在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝_____． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0），   且，若∠AMB=90°，则m和a之间的数量关系为 _____． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 题型4.勾股定理证明线段平方关系 【典例】在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【跟踪专练3】用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型5.勾股定理的证明方法 【典例】如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【跟踪专练1】意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 【跟踪专练3】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 题型6.以弦图为背景的计算题 【典例】我国古代数学家赵爽在注解（周髀算经）时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是80，每个直角三角形的较长直角边与较短直角边的比为，则中间小正方形（阴影部分）的周长为_____． 【跟踪专练1】公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【跟踪专练2】．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【跟踪专练3】如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 题型7.勾股定理构造图形解决问题 【典例】如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. . 【跟踪专练1】在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【跟踪专练2】《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为_______尺． 【跟踪专练3】如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 题型8.勾股定理与无理数 【典例】如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 【跟踪专练2】如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 题型9.勾股数问题 【典例】仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【跟踪专练1】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，2， 【跟踪专练2】世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【跟踪专练3】如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 题型10.直角三角形三边判定 【典例】一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为______． 【跟踪专练1】若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【跟踪专练2】如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 【跟踪专练3】五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 11.网格中判断直角三角形 【典例】图中，是直角三角形的序号是________． 【跟踪专练1】在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 【跟踪专练2】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型12.勾股定理逆定理求解 【典例】如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是___________． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【跟踪专练2】如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【跟踪专练3】如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 题型13.勾股定理逆定理拓展问题 【典例】若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【跟踪专练1】已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 【跟踪专练2】阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 题型14.勾股定理与网格问题 【典例】如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．图中格点中边上的高等于_____． 【跟踪专练1】如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【跟踪专练3】如图是一张正方形方格纸，点A、B、C均在格点上，方格线上有，，，四个点，其中有一点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等，该点可能是（　　） A． B． C． D． 题型15.勾股定理与折叠问题 【典例】如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 【跟踪专练1】如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【跟踪专练2】如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【跟踪专练3】已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 解答题 1．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 2．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 3．有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 4．阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 5．如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． . 6．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 7．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 8．综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $