精品解析：吉林省长春市榆树市北片学校2025-2026学年度第二学期6月份阶段测试八年级数学试题

2025－2026学年度第二学期6月份月考八年级数学试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：一元二次方程是形如的整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的特征逐一判断即可． 【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程； B．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程； C．分母含有未知数，不是一元二次方程； D．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 故选：D． 2. 下列二次根式中最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A：，代数式不含分母，且不能分解出能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式； 选项B：，被开方数含有分母，不符合条件，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含有能开得尽方的因式，不符合条件，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合条件，不是最简二次根式． 3. 中国女药学家屠呦呦获诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，0.0000015用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000015用科学记数法表示为：． 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的平移方式求出两种平移方式下平移后的函数解析式，则可求出，得到直线，再分别验证选项中的点即可． 【详解】解：将直线向右平移6个单位，得到的函数解析式为， 将直线向下平移4个单位，得到的函数解析式为， 直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线， ， 解得， 直线， 当时，，则点在直线上， 当时，，则点不在直线上， 当时，，则点不在直线上， 当时，，则点不在直线上， 只有A选项符合题意； 5. 下列运算结果正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质，分式加法运算，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质化简并判定A、B、C选项，根据分式加法运算法则计算并判定D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶角在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，等边三角形的性质，过点作于点，由等边三角形的性质得，，再由勾股定理得，，得出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵等边三角形的顶角在反比例函数的图象上， ∴， 故选：． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：2， 10. 关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】设点，则，进而得点，由此可得直线的表达式为，解方程组，得点，再由两点间的距离公式得，，，当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，由勾股定理得，则，由此解出，②当时，由勾股定理得，则，由此解出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：设点的横坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点在直线上， 点， 又点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， 点， 设直线的表达式为：， ， ， 直线的表达式为：， 解方程组：，得，（不合题意，舍去）， 点， 点， ，，， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 即：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当为直角三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交，直角三角形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求正比例函数解的析式，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 12. 如图，在菱形中，，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是 _______ ． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意可知是等边三角形，再由中位线定理易求的长，据此可得出结论． 【详解】解：在菱形中，， 是等边三角形． 、分别是、的中点， ， 菱形的周长． 13. 已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．考虑到分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得： ， 移项，合并同类项，得： ． ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 14. 如图，直角梯形中，，，于E，点F为上一点，且，点M为的中点，连结，设与相交于点N，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的是______．（填出序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据题意易证四边形是正方形，即可证明，故②正确；证明是等腰直角三角形，推出，即可证明，故①正确；取中点，连接，易证是的中位线，设，则，求出，进而得到，故③正确；由③知，，易证是等腰直角三角形，推出三点共线，即可说明垂直平分，故④正确． 【详解】∵直角梯形中，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴，故②正确； ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 取中点，连接， ∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； 由③知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴三点共线， ∴垂直平分，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，垂直平分线的判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算和实数的混合运算． （1）先计算乘方、再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘方，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接用二次三项式的因式分解法分解因式解答即可； （2）移项，提公因式分解因式解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 17. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】（1）无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 （2）无人机的速度至少提高到48千米/时 【解析】 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据题意列不等式即可解答． 【小问1详解】 解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． 【小问2详解】 解：设无人机的速度提高到千米/时，则 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 18. 在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答． 在中，过点B作于点E，点F在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 小星和小红分别给出了自己的思路： 小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明； 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明． （1）小星的思路______，小红的思路______（选填“正确”或“错误”）； （2）请选择小红或小星的思路完善证明过程． 【答案】（1）正确；正确； （2） 证明：小星的思路：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； 小红的思路：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，，即， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的判定定理进行求解即可； （2）小星的思路：由平行四边形的性质得到，，再证明，推出四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； 小红的思路： 证明，得到，即，再证明结合即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 解：根据矩形的判定定理可知，小星和小红的思路都正确； 故答案为：正确，正确； 【小问2详解】 略 19. 【问题情景】 数学活动课上，老师给出如下探究问题： 已知，请利用直尺和圆规作一个菱形，要求如下： ①所作菱形的四边至少经过的两个顶点； ②所作菱形的面积等于的面积． 【实践探究】 （1）下列同学们提交的四种作图中，满足要求的是______；（填序号） （2）选择（1）中一种正确作图，根据作图痕迹，证明所作的图形是满足要求的菱形； 【拓展提升】 （3）请利用下面所给的平行四边形作出满足要求的菱形，且该菱形的边长与（1）中满足要求的菱形的边长不相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）②； （2）证明：由作图可得，． 四边形是平行四边形， ，． ， ．即． ， ， 四边形是平行四边形． 又， 是菱形． 菱形与等底同高， 菱形与的面积相等． 由图可知菱形的四边经过的顶点，， ∴菱形是满足要求的菱形． （3）作法一：作法如图2， 作法二：作法如图3， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给的要求逐项判断即可得解； （2）由作图可得，．由平行四边形的性质可得，．结合题意可得．从而可证明四边形是平行四边形．结合，得出是菱形．再结合菱形与的面积相等．以及由图可知菱形的四边经过的顶点，，即可得证； （3）根据题干所给的要求作图即可． 【详解】（1）解：图①中所作菱形的面积不等于的面积，故不符合题意； 图②中所作菱形的面积等于的面积，且经过的两个顶点，故符合题意； 图③中所作菱形的面积不等于的面积，故不符合题意； 图④中所作的四边形不是菱形，故不符合题意； 故满足要求的是②； （2）略 （3）作法一：作法如图2，图中所作的四边形就是求作的菱形． 作法二：作法如图3，图中所作的四边形就是求作的菱形． 20. 面试是中小学教师资格考试的有机组成部分，属于标准参照性考试．面试时，考官根据考生面试过程中的表现，进行综合性评分，并填写面试评分表．如表是某位考生的面试评分表（已简化，评分为整数）．已知面试中考生得分不低于分为合格． 测试项目 职业认知 心理素质 仪表仪态 言语表达 思维品质 教学设计 教学实施 教学评价 总分 考官评分（分） 权重 考生得分 （1）考官对这位考生各项评分的众数一定是分吗？请说明理由． （2）若考官对这位考生各项评分的中位数是分，则_____________ ． （3）若这位考生面试合格，则的最小值是多少？ 【答案】（1）考官对这位考生各项的评分的众数不一定是分．理由如下： 当时，考官对这位考生各项的评分的众数是分；当时，考官对这位考生各项的评分的众数是分，分，所以考官对这位考生各项的评分的众数不一定是分； （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，当时，考官对这位考生各项的评分的众数是分；当时，考官对这位考生各项的评分的众数是分，分，即可判定； （2）根据题意和中位数的定义可得，且为整数，即可求解； （3）根据面试中考生得分不低于分为合格列不等式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将考官对这位考生已知的评分（单位：分）按照从小到大的顺序排列为，，，，，，． 考官对这位考生各项评分的中位数是分， ， 又，且为整数， 的值为或或或； 【小问3详解】 解：由题意可得，， 解得， 又为整数， 的最小值是． 21. 根据信息完成下列各题． 一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转化为密文． 某校信息兴趣小组，编制了一套密码．如表：x表示明文，y表示密文，且x为非负整数． x 6 9 13 14 y 13 ？ 0 2 已知当时，加密密钥为，当时，加密密钥为（，且）． （1）表格中“？”处的数字是______． （2）请求出当时这套密码的加密密钥，即y与x的函数关系式． （3）若小樊同学给某个“明文数字”加密后对应的“密文数字”是“12”，请求出对应的“明文数字”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量的值，求一次函数解析式，正确理解题意是解题的关键. （）把代入解得即可； （）把时，；当时，，代入加密密钥为，解得即可； （）把分别代入和求出对应x的值，再根据为非负整数即可． 【小问1详解】 解：当时，加密密钥为， 令，则， 即表格中“”处的数字是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由表格可知， 当时，；当时， ， 设当时，加密密钥为， 则， 解得：， ∴当时，与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：把分别代入和得， 或， ∴或， ∵为非负整数； ∴， ∴对应的“明文数字”为． 22. 解答下列问题： （1）如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； （2）如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； （3）如图3，在四边形中，连接，求的长． 【答案】（1）猜想：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）9 （3）20 【解析】 【分析】（1）先说明，再根据“边角边”证明，可得答案； （2）根据等腰直角三角形的性质说明，再根据“边角边”证明，可得，然后根据勾股定理求出，接下来说明是直角三角形，最后根据勾股定理得出答案； （3）连接，可得是等边三角形，再把绕点D顺时针旋转得到，连接，则是等边三角形，然后说明，最后根据勾股定理求出，则此题可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等腰和等腰中，， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵ ， ∴． ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接， ∵， ∴是等边三角形， 把绕点D顺时针旋转得到，连接， 则是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 23. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 在上取一点，使，连接． 四边形是正方形， ，． ， ，是等腰直角三角形， ， ． 是的外角平分线， ， ， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）通过构造中点，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明； （2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论在上什么位置，都成立； （3）将绕点逆时针旋转得到，借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将与，转化到一条线段上找关系即可； （4）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况． 【小问1详解】 解：点、点分别为、中点， ，， 四边形为正方形， ，则， ， ， ， ， ，， ，则， 为正方形外角的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，， 则点、、三点共线， 在和中， ， ， ， 即， 故答案为：； 【小问4详解】 如图3，延长至，使，连接，，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值是的长， ，，， ， ． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线与直线相交于点． （1）求的长： （2）求直线的解析式： （3）在x轴上存在点P，当的值最小时，点P的坐标为 ； （4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由折叠得，结合点的坐标得，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）运用全等性质以及勾股定理列式，得出，再运用待定系数法解直线的解析式为，即可作答． （3）取点B的对称点，连接交轴于一点，把和代入，得直线的解析式为，令，则，得； （4）结合正方形的性质运用分类讨论思想，则当为对角线时，当为对角线时；当为对角线时，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处， ∴ ∴ ∵直线与轴、轴分别交于、两点 ∴当 ∴ ∴ ∴在中， ∴； 【小问2详解】 解： 依题意， ∴ 由（1）知 ∴ 设 则 ∴ 解得 ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得出 解得 ∴直线的解析式为 【小问3详解】 解：依题意， 解得 把代入 解得 ∴ 如图：取点B的对称点，连接交轴于一点 该点P是满足的值是最小的 则 ∵ ∴ ∵ ∴设直线的解析式为 把和代入 得出 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴ ∴ 【小问4详解】 解：设点 ∵点在轴上方 ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 综上：点的坐标为或或。 【点睛】本题考查了一次函数的几何运用，正方形的性质，勾股定理，最短路径，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期6月份月考八年级数学试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 3. 中国女药学家屠呦呦获诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，0.0000015用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（       ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 8. 如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶角在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为___________． 10. 关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 11. 如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为______． 12. 如图，在菱形中，，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是 _______ ． 13. 已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的值为________． 14. 如图，直角梯形中，，，于E，点F为上一点，且，点M为的中点，连结，设与相交于点N，下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的是______．（填出序号） 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 18. 在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答． 在中，过点B作于点E，点F在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 小星和小红分别给出了自己的思路： 小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明； 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明． （1）小星的思路______，小红的思路______（选填“正确”或“错误”）； （2）请选择小红或小星的思路完善证明过程． 19. 【问题情景】 数学活动课上，老师给出如下探究问题： 已知，请利用直尺和圆规作一个菱形，要求如下： ①所作菱形的四边至少经过的两个顶点； ②所作菱形的面积等于的面积． 【实践探究】 （1）下列同学们提交的四种作图中，满足要求的是______；（填序号） （2）选择（1）中一种正确作图，根据作图痕迹，证明所作的图形是满足要求的菱形； 【拓展提升】 （3）请利用下面所给的平行四边形作出满足要求的菱形，且该菱形的边长与（1）中满足要求的菱形的边长不相等．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 面试是中小学教师资格考试的有机组成部分，属于标准参照性考试．面试时，考官根据考生面试过程中的表现，进行综合性评分，并填写面试评分表．如表是某位考生的面试评分表（已简化，评分为整数）．已知面试中考生得分不低于分为合格． 测试项目 职业认知 心理素质 仪表仪态 言语表达 思维品质 教学设计 教学实施 教学评价 总分 考官评分（分） 权重 考生得分 （1）考官对这位考生各项评分的众数一定是分吗？请说明理由． （2）若考官对这位考生各项评分的中位数是分，则_____________ ． （3）若这位考生面试合格，则的最小值是多少？ 21. 根据信息完成下列各题． 一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转化为密文． 某校信息兴趣小组，编制了一套密码．如表：x表示明文，y表示密文，且x为非负整数． x 6 9 13 14 y 13 ？ 0 2 已知当时，加密密钥为，当时，加密密钥为（，且）． （1）表格中“？”处的数字是______． （2）请求出当时这套密码的加密密钥，即y与x的函数关系式． （3）若小樊同学给某个“明文数字”加密后对应的“密文数字”是“12”，请求出对应的“明文数字”． 22. 解答下列问题： （1）如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； （2）如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； （3）如图3，在四边形中，连接，求的长． 23. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线与直线相交于点． （1）求的长： （2）求直线的解析式： （3）在x轴上存在点P，当的值最小时，点P的坐标为 ； （4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $