期末复习：外接球问题、截面问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦外接球与截面两大高频考点，通过多几何体典例构建空间几何问题解决路径，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |外接球问题|5例+5变式|涉及三棱锥、正四面体、棱柱、棱台、圆锥，考查球半径计算与表面积/体积|从几何体结构特征（垂直、棱长、高）出发，利用勾股定理及球截面性质推导半径，体现从特殊到一般的逻辑| |截面问题|4例+4变式|以正方体、圆台、圆锥为载体，考查截面形状、面积、线面关系及角度（多选为主）|结合空间线面平行垂直关系，分析截面图形性质，培养几何直观与空间想象能力|

期末复习：外接球问题、截面问题专项训练 期末复习：外接球问题、截面问题专项训练 考点目录 外接球问题 截面问题 考点一 外接球问题 例1．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意三棱锥外接球等价于棱长为1，1，的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积. 【详解】因为平面，， 可将三棱锥补形为长方体， 则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 则长方体的体对角线即为外接球的直径. 又， 故外接球的表面积为. 例2．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 例3．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】如图，将正四面体补成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同， 设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，外接球的半径为， 由，解得， 所以正四面体的棱长为. 例4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 【答案】 【分析】先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径， 因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，. 所以，球的表面积为. 例5．（25-26高一下·福建·阶段检测）若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 【答案】 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示， 则其外接球球心在直线上， 设，，设， 因为该棱台的体积为， 所以， 所以，， 当球心在线段延长线时，由，设， 可得，即， 解得， 所以外接球半径即， 当球心在线段上时， 同理可得，即， 解得舍去， 所以其外接球表面积为. 变式1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 变式2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定球心，利用勾股定理求出球的半径，进而求解外接球的体积. 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. 变式3．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接将三棱锥看成一个正方体截得的，因而三棱锥的外接球即为正方体的外接球，从而可得所求表面积. 【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥可以看成由一个边长为的正方体截得的， 因此三棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径， 故三棱锥的外接球的表面积为. 变式4．（25-26高一下·广东东莞·期末）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点， 即上、下底面中心，是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接， 则，， 若在线段上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此在的延长线上（如图），即在平面下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． 变式5．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______． 【答案】 【详解】在三棱锥中，， 则，，两两垂直， 三棱锥与以，，为棱的长方体有相同的外接球， 因此球的半径，所以球的表面积为． 考点二 截面问题 例1．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测·多选）在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为，，的中点，则下列说法正确的是（     ） A． B．直线与所成的角为 C．若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D．过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据线面垂直判定定理证明平面，即可判断；对于B，说明直线与所成的角为，结合余弦定理验算即可；对于C，只需求出三棱锥的外接球的半径，再结合球的表面积公式验算即可；对于D，说明截面为边长为的正六边形，然后根据面积公式验算即可. 【详解】对于A，因为四边形为正方形，所以， 由正方体性质可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以，A正确； 对于B，如图所示， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以直线与所成的角为或其补角， 而， 所以，所以，故B错误； 对于C，如图所示， ， 所以三角形的外接圆半径为， 显然平面，且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以球的表面积为，故C正确； 对于D，如图所示，取中点，顺次连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 同理可证，， 而，，平面， 所以平面， 根据前面的假设有，，所以四点共面， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以六点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面， 所以六边形即为过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形， 显然这是一个边长为的正六边形，其面积为，故D正确. 例2．（25-26高一下·山西太原·阶段检测·多选）如图所示，已知圆台的轴截面为ABCD，其中，，M为圆弧AB的中点，则（    ）．    A．圆台的体积为 B．与AB所在直线垂直的母线有2条 C．圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为 D．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】求出圆台的高，根据体积公式判断选项A；把圆台补成圆锥，根据线面垂直的性质判断选项B；把圆台补成圆锥，根据母线与平面所成的角最大判断选项C；利用两条母线所在直线夹角为时截面面积最大判断选项D. 【详解】对于A，因为，， 所以圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 所以圆台的高 ， 所以圆台的体积 ，故A正确； 由，,得， 因为，所以， 如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T，底面圆的圆心记为O，连接TO，MO，MT，    则与底面圆垂直，故,因M为AB中点，则． 因为平面，则平面,又平面, 则,即对应的圆台的母线与垂直，由对称性可知，在直径的另一侧也仅有一条母线与垂直，故与AB所在直线垂直的母线有2条，故B正确. 因为平面，所以平面平面ABCD， 此时母线所在直线TM与平面ABCD所成的角最大为， 而，故C正确； 由∠，，可得，，所以， 因,则当两条母线所在直线夹角为时，过这两条母线的截面面积最大，为，故D错误. 变式3．（25-26高一下·陕西西安·期中·多选）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，证明即可判断；对于B，当时，截面为梯形，当时，截面为五边形，即可判断；对于C，求出截面为正六边形的面积即可判断；对于D，设的中点为，对平面和平面沿展开，求出线段的长即可判断. 【详解】对于A，当时，连接， 因为分别为和的中点，所以， 又，所以， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，延长交于点，连接交于点， 当时，在线段上，截面为梯形， 当时，在延长线上，交于点，连接交于点，截面为五边形， 所以，当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形，故B正确； 对于C，当时，为中点， 因为平面平面，所以截面可以为正六边形，如图： 因为正方体的棱长为，所以正六边形的边长为， 所以面积，故C错误； 对于D，设的中点为，由A可知， 所以四点共面， 对平面和平面沿展开，如图： 四边形为等腰梯形，，， 所以， 又三角形为等腰三角形，， 所以，即， 所以， 又， 所以的最小值为，故D正确. 例4．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测·多选）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，为正方体内一点，则以下命题正确的是（   ）    A．取得最小值 B．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体的外接球的表面积为时， D．当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项 A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面，进而得到的最小值. 选项B，取中点，通过计算得到四边形是菱形，即可判断；选项C，当时得到两两垂直，则四面体的外接球的直径，从而得到，求出外接球表面积；选项 D，正方体外接球的球心为体对角线中点，求出球的半径，当截面垂直于时，截面圆半径最小，求的最大值为球心到的距离，从而得到即可判断. 【详解】选项 A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面， 则， 此时、、三点共线时，等号成立，则取得最小值， 故A正确.    选项B，取中点，连接，正方体的棱长为2，为线段中点， 则，则四边形是菱形， 则平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确.    选项C，当时，因为两两垂直， 所以四面体的外接球的直径, 则，此时外接球表面积为，故C错误. 选项 D，正方体外接球的球心为体对角线中点， 半径， 当截面垂直于时，截面圆半径最小，， 的最大值为球心到的距离， 即，故， 截面面积最小值为，故D正确. 变式1．（25-26高一下·山东淄博·期中·多选）如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（     ） A．若，则点的轨迹长度为 B．若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 因为，则， 则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图， 所以点的轨迹长度为，故A正确； 对于B选项，如下图所示： 延长分别交直线、于点、， 连接交于点，连接交于点，连接、， 所以五边形为所求截面， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 又因为，故，所以， 因为，所以，所以， 由勾股定理可得， ，， 同理可得，，， 故截面周长为，故B正确； 对于C选项，如图所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 所以外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，则， 过点作底面的垂线，由于底面， 设为三棱锥的外接球的球心，则， 而，则，又， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D选项，因为平面，所以与的夹角为， 故，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，， 则，故， 如图在平面中，过点作于点， 则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确． 变式2．（25-26高一下·江苏镇江·期中·多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（   ） A．底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线 B．异面直线和所成角的范围 C．存在点，使得 D．若，则过点的截面面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据异面直线的判定定理即可判断； 对于B，异面直线和所成角即直线与所成角（或补角），结合正方体的性质即可求解； 对于C，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，求出即可判断； 对于D，延长交于点，利用相似可得为的中点，取的中点，连接，可得过点的截面为菱形，利用菱形的面积公式即可求解. 【详解】对于A，由异面直线的判定定理可知：底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线，故A正确； 对于B，由于在正方体，,所以异面直线和所成角即直线与所成角（或补角） 由于，当位于中点时，异面直线和所成角最大，最大角为， 当位于或点时，异面直线和所成角最小，最小角为，所以异面直线和所成角的范围，故B正确； 对于C，如图所示，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值， 在，可得 所以不存在点，使得，故C错误； 对于D，延长交于点 因为，所以，所以，即为的中点， 取的中点，连接， 所以，且，即四边形为平行四边形， 则过点的截面为平行四边形， 由于，则平行四边形为菱形， 由于，， 则菱形的面积为，即过点的截面面积为,故D正确. 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中·多选）已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为2 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】由扇形的面积公式计算判断A；根据圆锥的性质计算判断B；设内切球球心为，半径为，过作，根据相似三角形计算判断C；根据异面直线所成角的求法计算判断D. 【详解】对于A，设圆锥的母线长为，由题意可知， 所以圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，因为过两条母线的截面为等腰三角形， 且， 所以顶角为锐角，故过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积， 其面积为，故B正确； 对于C，设内切球球心为，半径为，过作， 则，，则与相似， 则，即，故C正确； 对于D，过点作交底面圆于，如图所示： 则即为与所成角或其补角， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以为弧的中点，为弧的中点， 故， 所以， 所以则与所成角的余弦值为，故D正确. 变式4．（25-26高一下·广西南宁·期中·多选）在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（   ） A．与异面 B．C、M、N、Q四点共面 C．过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形 D．三棱锥的体积是定值 【答案】ABD 【详解】对于A选项，平面，平面， 而与异面，A正确； 对于B选项，M为底面的中心， 与确定平面，平面， 、M、N、Q四点共面于平面，B正确； 对于C选项，当Q与重合时，该截面为，C错误； 对于D选项，（定值），D正确． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：外接球问题、截面问题专项训练 期末复习：外接球问题、截面问题专项训练 考点目录 外接球问题 截面问题 考点一 外接球问题 例1．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 例5．（25-26高一下·福建·阶段检测）若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 变式1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·广东东莞·期末）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 变式5．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______． 考点二 截面问题 例1．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测·多选）在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为，，的中点，则下列说法正确的是（     ） A． B．直线与所成的角为 C．若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D．过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 例2．（25-26高一下·山西太原·阶段检测·多选）如图所示，已知圆台的轴截面为ABCD，其中，，M为圆弧AB的中点，则（    ）．    A．圆台的体积为 B．与AB所在直线垂直的母线有2条 C．圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为 D．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 变式3．（25-26高一下·陕西西安·期中·多选）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．的最小值为 例4．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测·多选）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，为正方体内一点，则以下命题正确的是（   ）    A．取得最小值 B．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体的外接球的表面积为时， D．当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 变式1．（25-26高一下·山东淄博·期中·多选）如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（     ） A．若，则点的轨迹长度为 B．若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 变式2．（25-26高一下·江苏镇江·期中·多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（   ） A．底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线 B．异面直线和所成角的范围 C．存在点，使得 D．若，则过点的截面面积为 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中·多选）已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为2 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 变式4．（25-26高一下·广西南宁·期中·多选）在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（   ） A．与异面 B．C、M、N、Q四点共面 C．过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形 D．三棱锥的体积是定值 2 学科网（北京）股份有限公司 $