期末复习：二项分布、正态分布 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 以实际问题为载体，系统覆盖二项分布与正态分布核心考法，通过典例构建从概念到应用的知识逻辑，培养用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析问题的能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项分布|3例+2变式|独立重复试验的分布列、期望方差计算，结合满意度调查、抽样等实际场景|从n次独立重复试验概念出发，通过计数原理推导分布列，延伸至数字特征的应用| |正态分布|3例+3变式|参数意义理解、区间概率计算，联系零件质量、考试成绩等统计数据|基于正态分布特征（μ,σ），结合3σ原则实现概率推断，衔接实际问题中的数据分析与决策|

期末复习：二项分布、正态分布专项训练 期末复习：二项分布、正态分布专项训练 考点目录 二项分布 正态分布 考点一 二项分布 例1．（2026·江苏徐州·模拟预测）某商业综合体对场内81家美食店进行满意度调查，已知每店均已获得（为正整数）位顾客的星级评价（一星至五星评价），且每店获得任一顾客五星评价的概率均为.假设顾客给予评价时互不影响． (1)当时，记某店获得的五星评价率（五星评价数与评价人数之比）为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)随机选择一店了解评价情况，当为奇数时，求该店五星评价率超过的概率． 例2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，． (1)若从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，求这两人恰好都是男生的概率． (2)现从这100名女生中，按喜欢联欢晚会与不喜欢联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和方差； (3)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 例3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）袋中有5个形状、质地完全相同的小球，其中3个红球，2个白球．从中一次性随机抽取2个小球． (1)求抽取的2个小球中至少含有1个红球的概率； (2)现进行3次独立的上述抽取试验，记“3次试验中抽到至少含1个红球的次数”，求的分布列与数学期望． 变式1．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 变式2．（25-26高三上·浙江宁波·期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 考点二 正态分布 例1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）某科技公司生产精密零件，零件质量指标．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该公司生产零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测得其中有4个优质品，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望．附：若，则，． 例2．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 例3．（24-25高二下·江苏常州·期中）某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 变式1．（24-25高三上·江苏·阶段检测）比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件) 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为若第1，2条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. ①求抽取的零件为废品的概率； ②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则，， 变式2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． (1)请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) (2)通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； (3)用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 变式4．（24-25高二下·江苏泰州·期中）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：二项分布、正态分布专项训练 期末复习：二项分布、正态分布专项训练 考点目录 二项分布 正态分布 考点一 二项分布 例1．（2026·江苏徐州·模拟预测）某商业综合体对场内81家美食店进行满意度调查，已知每店均已获得（为正整数）位顾客的星级评价（一星至五星评价），且每店获得任一顾客五星评价的概率均为.假设顾客给予评价时互不影响． (1)当时，记某店获得的五星评价率（五星评价数与评价人数之比）为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)随机选择一店了解评价情况，当为奇数时，求该店五星评价率超过的概率． 【答案】(1)分布列为，数学期望； (2)所求概率为。 【分析】（1）由题意顾客给出五星评价的人数服从二项分布，据此求出五星评价率的概率，得出分布列，再由二项分布的数学期望及数学期望性质计算求解； （2）由（1）可得该店五星评价率超过的概率，再由组合数的性质求解即可. 【详解】（1）因为任一顾客给某店五星评价的概率为，且顾客给予评价时互不影响， 所以n 位顾客给某店五星评价数服从二项分布 ， 因为五星评价率， 所以当时，， 所以分布列为： X 1 P 所以. （2）由（1）知，该店五星评价率超过的概率为 , 由组合数性质知，， 记， 所以，且， 所以. 即为奇数时，该店五星评价率超过的概率为. 例2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，． (1)若从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，求这两人恰好都是男生的概率． (2)现从这100名女生中，按喜欢联欢晚会与不喜欢联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和方差； (3)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【答案】(1) (2)X的概率分布列为： 0 1 2 方差为 (3)39或40或41 【分析】（1）根据题意求出男生中喜欢春节联欢晚会的人数，结合古典概型的概率公式求解即可. （2）根据，求出10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数，得到的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，根据分布列求出期望和方差. （3）求出从全校的学生中随机抽取1名学生喜欢春节联欢晚会的概率，从而得到随机变量，求出，由当时，取得最大值，得到，列出关于的不等式组，计算求解即可. 【详解】（1）由，得女生中喜欢春节联欢晚会的人数为60人， 由，得喜欢春节联欢晚会的人数为人，则男生中喜欢春节联欢晚会的人数为30人， 故男生中不喜欢春节联欢晚会的人数为70人，女生中不喜欢春节联欢晚会的人数为40人. 所以从样本中喜欢春节联欢晚会的人里随机挑选2人，则这两人恰好都是男生的概率为： . （2）由，得10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 所以X的概率分布列为： 0 1 2 故的期望为， 所以的方差为. （3）由（1）得，喜欢春节联欢晚会的人数为90人，由频率估计概率，从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量，. 因为当时，取得最大值， 所以，即， 整理得，即，解得， 因为，所以或40或41. 故全校学生中抽取的学生可能的人数为39或40或41. 例3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）袋中有5个形状、质地完全相同的小球，其中3个红球，2个白球．从中一次性随机抽取2个小球． (1)求抽取的2个小球中至少含有1个红球的概率； (2)现进行3次独立的上述抽取试验，记“3次试验中抽到至少含1个红球的次数”，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 3 . 【详解】（1）从5个球中一次性随机抽取2个小球，总的组合数为； 抽取的2个小球中至少含有1个红球的组合数为； 抽取的2个小球中至少含有1个红球的概率为. （2）由（1）可知，一次抽取试验中抽到至少含1个红球的概率为，且每次试验相互独立，所以服从，的二项分布，即． 则，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． 变式1．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1) (2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 变式2．（25-26高三上·浙江宁波·期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)分布列见详解； (2)7个或8个 【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望； （2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可. 【详解】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 考点二 正态分布 例1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）某科技公司生产精密零件，零件质量指标．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该公司生产零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测得其中有4个优质品，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望．附：若，则，． 【答案】(1) (2) 1 2 3 2 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用独立重复试验的概率公式求解. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）由，得， 则从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取2个，恰好有1个为优质品的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 例2．（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 例3．（24-25高二下·江苏常州·期中）某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，. 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可. （2）应用，由二项分布分别求出分布列及计算数学期望. 【详解】（1）由题意得：，，，， 所以，， 所以. 所以事件发生的条件下事件发生的似然比为. （2）①已知，且，落在和落在内的概率相等， 根据正态分布的对称性，. ②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：. 所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即： 的可能取值为： 且，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. 变式1．（24-25高三上·江苏·阶段检测）比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件) 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为若第1，2条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. ①求抽取的零件为废品的概率； ②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则，， 【答案】(1)60； (2)①；② 【分析】本题主要考查全概率公式和条件概率公式，考查正态曲线的性质，属于一般题. （1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解； （2）①利用全概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【详解】（1）由题意可知，， 则， 所以 ； （2）①设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的汽车零件为废品”， 设事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 设事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； ②因为， 所以， 所以 变式2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区． (1)请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分) (2)通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望； (3)用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值． (参考数据：； ；；) 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3)0.35 【分析】（1）由题意，利用原则可求解； （2）利用超几何分布的概率公式求分布列，进而得到期望； （3）由二项分布可求. 【详解】（1）因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布， 所以， 因为， 所以这个社区中“超标”社区的个数为. （2）由题可知随机变量的取值为：0，1，2，3， 则，， ，， 所以，的分布列为： 则. （3）由（1）可知随机变量 所以， 所以的值约为0.35． 变式4．（24-25高二下·江苏泰州·期中）为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)， (3)0.2056． 【分析】（1）由题意服从超几何分布，求出对应的概率即可得到分布列以及数学期望； （2）由二项分布的概率公式以及方差公式即可得解； （3）由正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】（1）由题知，的可能取值为0，1，2，． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望． （2）由题意可知，服从二项分布， 故， 技术攻坚成功的概率为 ， ． （3）记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以． 从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056． 2 学科网（北京）股份有限公司 $