期末复习：概率中的最值问题、全概率公式与数列综合问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦概率最值与全概率公式数列综合，通过实际情境题培养数学应用与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率中的最值问题|3例+3变式|结合比赛/抽奖等情境求概率最值，涉及期望计算|以概率基本概念为基础，通过变量关系构建函数模型求解最值| |全概率公式与数列综合问题|2例+3变式|全概率公式与数列递推结合，需证等比数列求通项|以全概率公式为桥梁，建立概率递推关系，通过数列知识解决复杂概率问题|

期末复习：概率中的最值问题、全概率公式与数列综合问题专项训练 期末复习：概率中的最值问题、全概率公式与数列综合问题专项训练 考点目录 概率中的最值问题 全概率公式与数列综合问题 考点一 概率中的最值问题 例1．（25-26高二下·江苏徐州·月考）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， (1)若，且，请列举所有满足条件的和； (2)求随机变量的数学期望； (3)设在处取得最大值，试建立与的关系． 【答案】(1)；；；；；. (2) (3)，其中为自然数. 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分类讨论，根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可； （3）列出不等式组，求出取值范围，分类求与的关系即可. 【详解】（1）由题意，；；；； ；. （2）根据集合的子集个数，可知集合A的可能情况有种；同理，集合B也可能有种. 因此，两集合的所有可能情况数为 X的所有取值为 当时，先从n个元素中选出k个元素，记为，有种可能情况； 对于这k个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况. 因此，事件“”的所有可能情况数为，则 由，可知，则. （3）若，由，，则，矛盾. 若，由，可知，当时，满足； 当时，满足 若，由，即， 即，解得， 从而，，其中为自然数. 例2．（24-25高二下·江苏南京·期末）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行6轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．6轮比赛中，至少获得5次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准． (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了， ①设该同学赛前强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为p，请写出p关于，的表达式，并求p的最大值； ②以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？ 【答案】(1)该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率 (2)①p的最大值为；②该同学没有希望进入决赛 【分析】（1）根据题意，分类讨论所有情况，再求其概率之和即可; （2）①由题可得，根据题意可得，进而计算强化训练后该同学某一轮可获得巧手奖的概率的最大值；②再根据6轮比赛中获得巧手奖的次数服从二项分布，求得数学期望，结合题意可判断结论. 【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有： ①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率， ②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率， ③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率， 故该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率. （2）①强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为， 则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为： ， 因为且， 也即，即， 故可得：， ， 所以， 令，则， 当时，p取得最大值，最大值为； ②该同学在6轮比赛中获得“巧手奖”的次数， 所以，故该同学没有希望进入决赛． 例3．（25-26高二下·江苏南通·月考）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． (1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率； (2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； (3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 【答案】(1) (2) (3)最大值为 ，此时 ，实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大 【分析】（1）根据三局二胜制规则，乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜，因此概率为 代入 即可. （2） 的期望通过加权平均的方式计算，需分别计算 、 和 的概率，并结合 的取值进行加权求和. （3）打满3局的概率 是一个关于 的二次函数，其最大值出现在对称轴 处，最大值为 .这表明当两队实力相当时，比赛最有可能打满3局. 【详解】（1）乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为 ，因此乙队以2:0获胜的概率为： 代入 ，得： （2）比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为0、1或2.计算各情况的概率如下： ：甲队一局未胜，即乙队以2:0获胜，概率为 . ：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为： ：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），概率为： 因此， 的期望为： 代入 ，得： 化简后得 . （3）比赛打满3局的概率 表示比赛进行到第3局才分出胜负. 这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此： 将 视为关于 的函数，其最大值出现在 处，最大值为： 实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大. 变式1．（25-26高二下·江苏泰州·月考）中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求他今年能取得教师资格证书的概率； (2)某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将今年能拿到证书的事件分拆成互斥事件的和，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求解. （2）今年取得教师资格证的人数服从二项分布，再利用二项分布的概率最大问题列式求解. 【详解】（1）设“笔试第次考试合格”为事件，“面试第次考试合格”为事件，， 则今年能拿到证书的事件为， ， ， 所以他今年能取得教师资格证书的概率为. （2）依题意，今年取得教师资格证的人数， 则，， 由，解得， 当时，，当时，， 所以取最大值时. 变式2．（24-25高三上·河北唐山·期末）某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． (1)若，，，求p； (2)若，，求p取最大值时的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用分类思想及相互独立事件同时发生，即概率乘法公式来求解即可； （2）利用同（1）方法，引入变量，可得三次函数，再用导数来求最值即可. 【详解】（1）根据，，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为; （2）根据，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为 ， 求导得：， 当时， ，函数在上单调递增； 当时， ，函数在上单调递减； 所以当时，取到最大值，此时， 故取最大值时， 变式3．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方鴍得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； (2)当时， （i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用，表示），无需写出过程． 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）明确四局比赛后甲学员赢得比赛的具体情况，然后根据独立事件概率乘法公式进行运算即可求解； （2）（i）先确定X的所有可能取值，在计算每个取值对应的概率即可求得分布列，再根据期望公式计算期望即可. （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，根据当甲，乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同结合即可求出. 【详解】（1）4局比赛结束后甲学员赢得比赛，甲乙学员的得分情况为2：0，3：1， 若甲乙学员得分情况为2：0，概率， 若甲乙学员得分情况为3：1，概率， 所以4局比赛结束甲学员赢得比赛的概率为． （2）（i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即， 由题意得X的所有可能取值为2，4，6，则， ， ， 所以X的分布列为： X 2 4 6 P 所以X的期望， 因为，所以，当且仅当时，等号成立．所以， 所以． 故的最大值为； （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，当甲，乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同， 所以， 所以，即， 因为，所以． 考点二 全概率公式与数列综合问题 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析② 【分析】(1)由全概率公式：求解； (2) ①由全概率公式得的递推式，从而转化为等比数列问题；②通过求出的最小值，求得m的取值范围. 【详解】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：． （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得： ， 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 存在，使得成立，则，所以， 所以实数m的取值范围是． 例2．（25-26高二下·江苏无锡·月考）某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率; (2)证明:数列为等比数列; (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)37 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明； （3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解. 【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”， 则“第1天不选择B套餐”. 根据题意可知：. 由全概率公式可得. （2）设“第天选择B套餐”，则， 根据题意. 由全概率公式可得 ， 整理得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）第二天选择A类套餐的概率 由题意可得：学生第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为， 所以，则， 当取最大值时，则， 即，即， 解得，且，所以. 变式1．（25-26高二下·江苏常州·月考）有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. (1)求的值； (2)求的值，并证明：当时，； (3)求（用含的式子表达）. 【答案】(1)； (2)， 由（1）知，， 所以， 当时，由全概率公式，得 所以即； (3). 【分析】（1）由古典概率结合题意可得答案； （2）由题意及全概率公式可得答案； （3）设，由（2）可知，然后通过构造等比数列可得答案. 【详解】（1）在第一个罐子中共有糖果颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式， （2）略 （3）记，由（2）知递推关系式，变形为， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 则即. 变式2．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响. (1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性； (2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求，； ②证明：. 【答案】(1)甲猜测错误. (2)①，；②证明见解析 【分析】（1）设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，由独立事件的乘法公式分别求出若甲与丙比赛，则甲获胜的概率和甲先与乙比赛，则甲获胜的概率再比较大小即可； （2）①为1减去甲获得连续3次胜利的概率，为1减去甲获得连续3次和4次胜利的概率；②考察，分为情形一、二、三，结合独立事件的乘法公式和全概率公式计算即可； 【详解】（1）设甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙的技术比丙高， 若甲与丙比赛，则甲获胜的概率为： 若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为： 显然，故甲应先与乙比赛有优势，故甲猜测错误. （2）①， ②考察， 分为情形一：第局甲输； 情形二：第局甲赢，局甲输 情形三：第局甲赢，局甲赢，局甲输 由题意分为三种情形，如下： 情形一  第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为. 情形二  第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为. 情形三  第场赢了，第场赢了，第场输了，则前场甲未获得连续3次胜利，此时概率为. 由全概率公式得.① 因此.② ①②得，又因为， 所以当，时，. 变式3．（25-26高二下·江苏宿迁·月考）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值，并探究数列的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)第二次，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解， （2）根据，即可对分奇偶性求解. 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，， ． 因为，，， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． （2）证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：概率中的最值问题、全概率公式与数列综合问题专项训练 期末复习：概率中的最值问题、全概率公式与数列综合问题专项训练 考点目录 概率中的最值问题 全概率公式与数列综合问题 考点一 概率中的最值问题 例1．（25-26高二下·江苏徐州·月考）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， (1)若，且，请列举所有满足条件的和； (2)求随机变量的数学期望； (3)设在处取得最大值，试建立与的关系． 例2．（24-25高二下·江苏南京·期末）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行6轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．6轮比赛中，至少获得5次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准． (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了， ①设该同学赛前强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为p，请写出p关于，的表达式，并求p的最大值； ②以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？ 例3．（25-26高二下·江苏南通·月考）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． (1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率； (2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； (3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 变式1．（25-26高二下·江苏泰州·月考）中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求他今年能取得教师资格证书的概率； (2)某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值. 变式2．（24-25高三上·河北唐山·期末）某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． (1)若，，，求p； (2)若，，求p取最大值时的值． 变式3．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方鴍得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； (2)当时， （i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用，表示），无需写出过程． 考点二 全概率公式与数列综合问题 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 例2．（25-26高二下·江苏无锡·月考）某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率; (2)证明:数列为等比数列; (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 变式1．（25-26高二下·江苏常州·月考）有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. (1)求的值； (2)求的值，并证明：当时，； (3)求（用含的式子表达）. 变式2．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响. (1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性； (2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是，设为甲未获得连续3次胜利的概率. ①求，； ②证明：. 变式3．（25-26高二下·江苏宿迁·月考）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值，并探究数列的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $