期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列不等式恒成立证明与参数求解两大核心模块，通过精选例题与变式构建知识逻辑链，强化数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明数列不等式恒成立问题|3例+3变式|函数与数列结合证明、通项/求和不等式证明|函数性质→数列不等式推导、放缩法应用| |数列恒成立求参数问题|3例+3变式|等差/等比数列背景下参数范围求解、不等式恒成立转化|数列通项/求和→不等式恒成立→参数最值分析|

期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点目录 证明数列不等式恒成立问题 数列恒成立求参数问题 考点一 证明数列不等式恒成立问题 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)求函数在区间上的最值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1)最大值为1，最小值为0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，结合其符号讨论单调性后可求函数的最值； （2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围； （3）先证明，设，利用分析法结合前述不等式可得，据此可证题设中的不等式. 【详解】（1）由可得， 当时，，当时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 而，，，故的最大值为1，最小值为0． （2）当，即时，不等式可化为恒成立， 令，需．其中为在上的最大值. 而， 当时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减，故， 故． 当，则恒成立，此时； 当，即时，， 故，其中为在上的最小值. 同理在为减函数，在为增函数，故， 综上， . （3）我们再证明一个不等式：， 证明：设，则， 故在上为增函数，故， 故恒成立. 设，则， 下证：. 要证，即证， 设，故即证， 故即证，即证，其中. 因为，故，故， 故对任意恒成立，故对于任意，总有， 而，且，故由累乘可得， 故 . 例2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)， (2) 由上知:， 故， 易知单调递增， 时，， 又，即，证毕. 【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式； （2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明. 【详解】（1）已知， 当时，； 当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； （2）略 例3．（24-25高三上·河北·开学考试）已知函数. (1)求证； (2)求方程解的个数； (3)设，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)有两个解 (3)证明见解析 【分析】（1）作差构造函数，结合导数求出构造函数的最小值即可得解； （2）作差构造函数，将方程的解个数问题转化为了函数的零点个数问题，结合导数求出构造函数的极值点和单调区间，即可得解； （3）借助第1小问的结论，通过换元转化为，设得，等价于然后利用裂项相消法进行计算即可得证. 【详解】（1）令，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，单调递增，则，所以得证. （2）由得，即， 令， 所以函数的零点个数，即为方程解的个数， ，令，即，解得， - 0 + 单调递减 单调递增 因为，所以在上有唯一一个零点， 又，所以在上有唯一一个零点. 综上所述，方程有两个解. （3）由（1）知，， 令，则，即， 设，则满足，所以，即， 所以 所以 即. 变式1．（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知函数，数列满足正整数 (1)求的最大值； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)最大值为0； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数，研究函数单调性，进而得到极值最值； （2）借助前面证明，运用对数的性质进行裂项，再累加求和即可； （3），所以，得，适当放缩后，再累加即可. 【详解】（1）因为的定义域为，所以 当时，，在上递增， 当时，，在上递减， 所以在时有最大值，所以，即的最大值为0； （2）由（1）知，，所以， 所以，即， 所以，，， 累加得，即. （3）因为，所以，得， ，，， 所以，即， 所以， 所以，，， 所以， ， 所以得证． 变式2．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知对于恒成立．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由递推关系，结合等比数列定义证明结论； （2）利用累加法求数列的通项公式； （3）结合证明，由此证明，结合等比数列求和公式证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 所以 又， 所以， 所以数列是首项为12，公比为4的等比数列， （2）由（1）可得： 则有；；…， 累加可得： 所以， 又也满足故选， 所以， （3）因为， 所以对于恒成立， 所以对于，恒成立 当时，，即对于恒成立 所以对于恒成立 所以． 变式3．（25-26高二下·甘肃兰州·月考）如果数列满足：且 则称为n阶“归化”数列. (1)若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； (2)若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式； (3)若为n阶“归化”数列，求证 【答案】(1) (2)答案见解析. (3)证明见解析 【分析】（1）设成公差为r的等差数列，显然，由得到，由得到，得到答案； （2）设公差为，根据等差数列求和公式得到，当，和，求出首项和公差，得到通项公式； （3）设为中所有大于0的数，为中所有小于0的数，故，，所以. 【详解】（1）设成公差为r的等差数列，显然， 则由得， 由得，解得， 数列为所求3阶“归化”数列. （2）设等差数列的公差为， 因为，所以，所以，即. 当时，此时， 与归化数列的条件相矛盾. 当时，由， 故，又， 联立解得， 所以 当时，由，，同理解得， 所以. 综上，当， （3）由已知可得：必有 也必有（，）， 设为中所有大于0的数，为中所有小于0的数， 由已知得，， 所以. 考点二 数列恒成立求参数问题 例1．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）由题干等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，进而可求得数列的通项公式； （2）根据解出满足条件的正整数的个数，可得出数列的通项公式，再利用错位相减法可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，求出数列最大值和最小值，结合已知条件可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1），即， 又，为等差数列，其首项为，公差为. ，. （2）由得，， ，满足不等式的正整数的个数为， ，， ①， ②， ①②得：， . （3）由已知可得， 当为奇数时，， 因为数列为递增数列，所以当时，取最小值，此时， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以当时，取最大值，此时， 所以且，所以，解得. 因此，实数的取值范围为. 例2．（24-25高二下·重庆巴南·期中）已知数列的首项为3，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若对任意的都成立，求的范围． 【答案】(1)证明见详解， (2) 【分析】（1）将递推关系变形，利用等比数列的定义证明，并求出通项公式； （2）由（1）可得，对任意均成立，令，判断数列的单调性，求出最大项得解. 【详解】（1）由，则，又， 所以，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， . （2）由，则，即对均成立， 所以，对任意均成立， 令，由，， 当时，，即， 当时，，即， 所以， ，即的取值范围为. 例3．（24-25高二下·四川广元·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）结合数列新定义，利用完全平方公式直接证明即可； （2）①由（1）数列是“平方递推数列”，即可求得，进而得到，然后利用错位相减法，求解数列的前项和即可；②由①代入不等式，则将不等式转化为恒成立，结合基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）由题知，， 即， 当时，， 所以， 所以数列是“平方递推数列”. （2）①由（1）知，数列是“平方递推数列”，且， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减得， ， 则， 当时，，符合上式， 当时，，符合上式， 所以. ②由①知，， 则， 所以恒成立， 可得恒成立， 即，即， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，取等， 所以，即实数的最大值为. 变式1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，是等比数列，且，. (1)求，的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据等差数列和等比数列的基本性质及前项和公式，列方程求通项公式. (2)根据对数的运算方法,对数列的通项公式进行化简,再使用裂项求和方法求出数列的前项和为,列出不等式,使用变量恒成立思想求范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意，得，即，解得， 所以， 所以，，所以， 所以. （2）因为，由，得，， 所以， 所以， 所以不等式可转化为，即. 因为在上单调递减，且，所以， 即，所以的取值范围为. 变式2．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式； （2）需要先用错位相减法求得数列{}的前项和为，代入不等式中对分类讨论，转化为最值问题，求出范围即可． 【详解】（1）解：等差数列{}中，设公差为d， 则 数列{}中的前n项和为，且① 当时， 当时，② ②－①得： 故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. （2）解：数列{}中，. 则 所以 故 所以 ∵对恒成立． 当为奇数时，， 当为偶数时， 综上：实数的取值范围为． 变式3．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系求出数列的通项公式， （2）由（1）的结论，用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，成立， 所以 （2）由（1）得， 所以， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 当时，， 所以当时，取最小值为42，所以， 所以实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点目录 证明数列不等式恒成立问题 数列恒成立求参数问题 考点一 证明数列不等式恒成立问题 例1.(25-26高二下黑龙江哈尔滨期中)已知函数f()=+ 1 (1)求函数f(x)在区间[-1，上的最值； (②若a2x+≥f八-。恒成立，求实数a的取值范围： 45+…+ 2+1x2x3 1x2x3x..x(n+1<2c(nEN) 3)求证：3+ (n+23 例2.(24-25高三上重庆沙坪坝开学考试)己知数列(a,}满足，a+4+4+…+a=n(n+1),n∈N 23 n (1)求数列{an}的通项公式： ②设色=2，数列么的前项和为S,求证，咖eN君S<号 an·am+l 期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 例3.(24-25高三上河北开学考试)已知函数f(x)=e-2x(x≥0) (1)求证f(x≥e; (2)求方程∫(x=x解的个数； (6)设m≥2，neN,证明2-23-写m-n 1 1 +…+ 变式1.(25-26高二下-辽宁大连月考)已知函数f)=n(x+1)-x,数列a,}满足4=1，a,1=a,+,n>2m∈正 a 整数 (1)求f(x)的最大值； (2)求证： 11 2n-32n(2m-3): (3)求证：2n-1<a<2n+ln(2n-3). 2 期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 变式2.(25-26高二下·江西景德镇·期中)已知数列{an}满足a+2=5an+1-4an+6n+1,n∈N,且a1=3,42=12 (1)求证：数列a+1-an+2n+1是等比数列； (②)求数列{an}的通项公式： (3)已知2"≥1+n对于n∈N恒成立.求证： a az a 9 变式3.(25-26高二下.甘肃兰州月考)如果数列{an}满足：a,+a2+a+…+an=0且 a,+la+a+…+a,=1n≥3，neN),则称{an}为n阶“归化”数列. (1)若某3阶“归化”数列{an}是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项： (②)若某11阶“归化”数列{an}是等差数列，求该数列的通项公式： 11 111 (3)若{a,}为n阶“归化"数列，求证a+2a,+a,+…+n0≤ 22n 期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点二 数列恒成立求参数问题 例1.(2425高二下-辽宁期中)已知数列1a,}满足a1=0neN),4=1 a+1 1 (1)证明：数列一 为等差数列，并求数列{an}的通项公式： a. 若记么为满是不等式s4<”（eN)的正整数大的个数.求数列 b. 的前项和Sn; a (3)在(2)的条件下，cn= -2”+1-S.+l,若不等武22-3<c.<元对neN都成立，求实数i的取值范围 (-1)” 例2.(24-25高二下·重庆巴南期中)己知数列{an}的首项为3，且满足an1=2an-1n∈N),令cn=an-1. (I)证明：{cn}是等比数列，并求{cn}的通项公式： (2)若cn-2n+1≥0对任意的n∈N都成立，求1的范围. 期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 例3.(2425高二下四川广元期中)若数列p.}满足p+1=p2，则称数列{P}为平方递推数列”.已知数列{a} 中，a,=7,点(a,a在函数f(x)=x2+6x+6的图象上，其中n为正整数. (1)证明：数列{a,+3是“平方递推数列”； (2)设bn=（2n-1lgan+3),数列bn}的前项和为Sn ①求Sn; ②若S,n+13-(n-141≥1lgan+3)恒成立，求实数1的最大值. 变式1.(2025·陕西安康·模拟预测)己知等差数列{a}的前n项和为Sn,a6=11,S。=100,{bn}是等比数列，且 b3=a5,b4=a14 (1)求{an},{bn}的通项公式： 2 ②设c,og,么+log,+,数列c,}的前项和为，若不等式2，+1>0对任意正整数恒成立，求2的 取值范围. 5 期末培优：证明数列不等式恒成立问题、数列恒成立求参数问题专项训练 变式2.(24-25高二下山东淄博期中)已知数列{an}为等差数列，a2=3,a4=3a,数列{b,}的前n项和为Sn, 且满足2Sn=3b。-1. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn=(a,+l·bn,数列{cn的前n项和为，且Tn-n3”<(-l)·m对n∈N恒成立，求实数m的取值范围. 变式3.(24-25高二下·辽宁大连期中)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n. (1)求{an}的通项公式： (②)设6，，。，T为数列b的前硕和，若对任意的n∈N,不等式I,<n+5恒成立，求实数元的取值范围 6