期末复习：条件概率复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

期末复习：条件概率复习讲义 期末复习：条件概率复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 定义 设 为两个随机事件，，在事件 发生的条件下，事件 发生的概率，称为条件概率，记作 。 2. 核心公式 1. 条件概率基础公式 · ： 同时发生的概率；：事件 发生的概率。 1. 变形乘法公式（高频） 1. 古典概型简化公式（样本有限，等可能） · ： 包含基本事件数；： 同时包含的基本事件数。 3. 重要性质 1. ； 1. （必然事件条件概率为 1）； 1. 若 互斥，则 ； 1. 对立事件：。 4. 相互独立事件（易与条件概率结合） 若 相互独立，则 ，此时 。 含义： 发生与否不影响 发生概率。 二、常考考点 基础考点（选择、填空） 1. 直接套公式计算条件概率； 1. 区分 与 ，避免分子分母颠倒； 1. 利用对立事件简化条件概率计算； 1. 独立事件条件概率判断与求值。 中档解答考点 1. 古典概型（摸球、抽取产品、掷骰子、卡片）求条件概率； 1. 乘法公式分步概率计算（先后抽取、不放回抽样）； 1. 结合统计图表（频率分布表、列联表）求条件概率。 拔高压轴考点 1. 全概率公式综合应用题； 1. 与分布列、期望结合综合大题； 1. 实际生活场景：质检、疾病检测、概率决策。 三、通用解题思路（分题型模板） 思路 1：古典概型（有限等可能，最常用） 步骤： 1. 找出条件事件 ，数出 包含基本事件总数 ； 2. 找出 同时发生的事件 ，数 ； 3. 代入简化公式：。 示例： 袋中 3 红 2 白，不放回取两个，已知第一个是红球，求第二个也是红球。 第一次红，； 两次都红，，。 思路 2：已知概率数值，用标准公式 步骤： 1. 从题干提取 、； 2. 直接代入 ； 3. 看清问题谁是条件，区分 和 。 思路 3：不放回抽样/分步概率（乘法公式） 题干特征： 先后抽取、分批试验； 解题逻辑： - 求同时发生 ：先发生 的概率 × 发生下 的条件概率； - 已知联合概率反求条件概率，逆用基础公式。 思路 4：图表类（列联表、频率） 1. 锁定“条件”对应的行/列总频数； 1. 分子取两件同时满足的频数； 1. 频数之比即为条件概率。 例题分析 例1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若，，，则事件A与B满足（   ） A．互为对立事件 B． C． D．A与B互斥 例3．（2026·江苏无锡·三模·多选）设事件满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．若互斥，则 C．若，则 D．若独立，则 例4．（2026·福建泉州·模拟预测·多选）已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·江苏南通·模拟预测）某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为_____． 例6．（25-26高二下·江苏南京·期中）从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 例7．（25-26高二下·江苏扬州·期中）某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 例8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）南外第37届外语节系列活动之“主持人大赛”选拔出的优胜者如下：高一年级有4名女生和4名男生，高二年级有3名女生和2名男生，高三年级有2名女生和3名男生，现在需要从中选两名学生主持配音比赛，规则如下：先随机选一个年级，再从该年级中先后随机选两名同学. (1)求第一次选出的是女同学的概率； (2)求第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率. 变式训练 变式1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）袋子中有大小相同的5个球，其中红球3个，白球和蓝球各一个，从中任取2个，已知取出的2个球中有一个是红球，则另外一个也是红球的概率（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏盐城·期中）设为两个事件，已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测·多选）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件， ，，则（     ） A．与不互斥 B．与相互独立 C． D． 变式4．（24-25高二下·江苏连云港·期中）在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 变式5．（25-26高二下·江苏无锡·期中）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求： (1)求第次抽到黑球且第次也抽到黑球的概率； (2)已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率； (3)判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立． 实战演练 1．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知随机事件满足，．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·江苏·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2026·江苏·二模·多选）已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲､乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（） A．若抽取后放回，则 B．若抽取后不放回，则 C．若抽取后放回，则 D．若抽取后不放回，则 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段检测）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，移动了3次，该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，该质点竖直方向移动两次的概率_____. 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）盒中装有6个同种产品，其中4个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率； (2)取两次，第二次取得一等品的概率； (3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率. 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知袋中有12个同型号零件，其中合格品有10个，次品有2个. (1)若检测员有放回地连续从该袋中取零件2次，每次取1个零件，求恰有1次取到正品的概率； (2)若检测员从该袋中一次性取2个零件，求在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：条件概率复习讲义 期末复习：条件概率复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 定义 设 为两个随机事件，，在事件 发生的条件下，事件 发生的概率，称为条件概率，记作 。 2. 核心公式 1. 条件概率基础公式 · ： 同时发生的概率；：事件 发生的概率。 1. 变形乘法公式（高频） 1. 古典概型简化公式（样本有限，等可能） · ： 包含基本事件数；： 同时包含的基本事件数。 3. 重要性质 1. ； 1. （必然事件条件概率为 1）； 1. 若 互斥，则 ； 1. 对立事件：。 4. 相互独立事件（易与条件概率结合） 若 相互独立，则 ，此时 。 含义： 发生与否不影响 发生概率。 二、常考考点 基础考点（选择、填空） 1. 直接套公式计算条件概率； 1. 区分 与 ，避免分子分母颠倒； 1. 利用对立事件简化条件概率计算； 1. 独立事件条件概率判断与求值。 中档解答考点 1. 古典概型（摸球、抽取产品、掷骰子、卡片）求条件概率； 1. 乘法公式分步概率计算（先后抽取、不放回抽样）； 1. 结合统计图表（频率分布表、列联表）求条件概率。 拔高压轴考点 1. 全概率公式综合应用题； 1. 与分布列、期望结合综合大题； 1. 实际生活场景：质检、疾病检测、概率决策。 三、通用解题思路（分题型模板） 思路 1：古典概型（有限等可能，最常用） 步骤： 1. 找出条件事件 ，数出 包含基本事件总数 ； 2. 找出 同时发生的事件 ，数 ； 3. 代入简化公式：。 示例： 袋中 3 红 2 白，不放回取两个，已知第一个是红球，求第二个也是红球。 第一次红，； 两次都红，，。 思路 2：已知概率数值，用标准公式 步骤： 1. 从题干提取 、； 2. 直接代入 ； 3. 看清问题谁是条件，区分 和 。 思路 3：不放回抽样/分步概率（乘法公式） 题干特征： 先后抽取、分批试验； 解题逻辑： - 求同时发生 ：先发生 的概率 × 发生下 的条件概率； - 已知联合概率反求条件概率，逆用基础公式。 思路 4：图表类（列联表、频率） 1. 锁定“条件”对应的行/列总频数； 1. 分子取两件同时满足的频数； 1. 频数之比即为条件概率。 例题分析 例1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件概率公式，分别计算事件和事件的概率后代入求解即可. 【详解】由题意得，事件的对立事件为“两个班级都不选择鼋头渚”，因此 ， 事件即“恰好一个班级选择鼋头渚，另一个选择其余个景点之一”，因此 ， 代入条件概率公式得 ，故D正确. 例2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若，，，则事件A与B满足（   ） A．互为对立事件 B． C． D．A与B互斥 【答案】C 【分析】根据对立事件、互斥事件判断AD，利用概率加法公式判断B，根据条件概率公式判断C. 【详解】对于A，，因为，所以A与B不是对立事件，A错误. 对于B，，B错误. 对于C，，C正确. 对于D，互斥事件要求，而，故D错误. 例3．（2026·江苏无锡·三模·多选）设事件满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．若互斥，则 C．若，则 D．若独立，则 【答案】ABD 【详解】选项A：，，所以； 选项B：因为互斥，所以； 选项C：，解得， 所以； 选项D：因为独立，所以. 例4．（2026·福建泉州·模拟预测·多选）已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件概率公式，变形求解，可判断A、D的正误；根据概率加法公式，可判断B的正误，根据概率的范围，结合二次函数的性质，可判断C的正误； 【详解】选项A：由条件概率公式得，故A错误； 选项B：由概率加法公式得， 因为，所以， 则，故B正确； 选项C：， 所以，则， 令，， 则， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当或时，才有， 但，， 无法确定是否为0及是否等于，故D错误. 例5．（2026·江苏南通·模拟预测）某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为_____． 【答案】 【分析】先根据“答完4题结束游戏”的条件，算出事件的概率；再结合“第2题答对”的限制，算出事件的概率；最后代入公式，即可得到所求概率. 【详解】设事件为“答完4题就结束游戏”，事件为“第2题答对”， 则所求为条件概率 ， ， ， 所以. 例6．（25-26高二下·江苏南京·期中）从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动，在女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率为______. 【答案】 【详解】记事件“女生甲被选中”，事件“两名男生被选中”， 从5名女生和3名男生中选取3人参加学校活动共有种选法. 女生甲被选中的概率，女生甲被选中且两名男生被选中的概率. 女生甲被选中的情况下，有两名男生被选中的概率. 例7．（25-26高二下·江苏扬州·期中）某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】(1)480 (2)， 【分析】（1）利用插空法求解； （2）①利用古典概型的概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【详解】（1）先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种. （2）①设事件表示“男生甲被选中”，则. ②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 例8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）南外第37届外语节系列活动之“主持人大赛”选拔出的优胜者如下：高一年级有4名女生和4名男生，高二年级有3名女生和2名男生，高三年级有2名女生和3名男生，现在需要从中选两名学生主持配音比赛，规则如下：先随机选一个年级，再从该年级中先后随机选两名同学. (1)求第一次选出的是女同学的概率； (2)求第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率的加法和乘法公式即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解. 【详解】（1）第一次选出的是女同学的概率. （2）第一次选出的是女同学的前提下，第二次选出的是男同学的概率. 变式训练 变式1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）袋子中有大小相同的5个球，其中红球3个，白球和蓝球各一个，从中任取2个，已知取出的2个球中有一个是红球，则另外一个也是红球的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出“有一个红球”的情况数，再求出“有一个红球且另外一个也是红球”的情况数，最后根据条件概率公式求解. 【详解】从5个球中任取2个球，共有种情况数. “没有红球”即从白球和蓝球这2个非红球中取2个球的情况数有种， 那么“取出的2个球中至少有一个红球”的情况数为种. “有一个红球且另外一个球也是红球”的情况数有种. 记“至少有一个红球”，“取出的两个球都是红球”. ，即有一个红球，则另外一个也是红球的概率为. 变式2．（25-26高二下·江苏盐城·期中）设为两个事件，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得， 因为， 所以. 变式3．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测·多选）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件， ，，则（     ） A．与不互斥 B．与相互独立 C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以与不互斥，A正确； 对于B，因为，所以，又， 所以，与相互独立，B正确； 对于C，因为，所以，C错误； 对于D，因为，又，则， 所以，，D正确. 变式4．（24-25高二下·江苏连云港·期中）在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可； （2）根据概率乘法公式计算即可. 【详解】（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球， 故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率. （2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件， 所以 变式5．（25-26高二下·江苏无锡·期中）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求： (1)求第次抽到黑球且第次也抽到黑球的概率； (2)已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率； (3)判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立． 【答案】(1) (2) (3)不相互独立 【分析】（1）先记事件为“第一次取到黑球”，事件为“第二次取到黑球”，则事件为“两次都取到黑球”，由古典概型的概率，即可求出结果； （2）由条件概率公式即可求得； （3）计算出，得到，则可判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”不互相独立. 【详解】（1）设“第1次抽到黑球”，“第2次抽到黑球”， 第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率为 . （2）依题意知，又， 则在第1次抽到黑球的条件下第2次抽到黑球的概率为 . （3）第1次抽到黑球的概率， 第2次抽到黑球的概率. 所以， 由（1）知， 所以， 则事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”不相互独立. 实战演练 1．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知随机事件满足，．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件概率公式结合充分条件和必要条件即可求解. 【详解】由题得：，， 所以由， 由，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（25-26高二下·江苏·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，所以. 3．（2026·江苏·二模·多选）已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲､乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（） A．若抽取后放回，则 B．若抽取后不放回，则 C．若抽取后放回，则 D．若抽取后不放回，则 【答案】ABC 【分析】分别分析有放回和无放回两种抽取方式，计算了事件（甲中奖）与（乙中奖）的概率及条件概率.在有放回时，每次独立，且；在无放回时，，但，从而判断出选项A、B、C正确，D错误. 【详解】选项A：因每次抽取后放回，故抽取条件相同，，故A正确； 选项B：不放回时，，下面计算：事件发生有两种情况： ①甲中且乙中（）；②甲不中且乙中（）， 故，所以成立，故B正确. 选项C：放回时，；因事件相互独立， 则，即成立，故C正确. 选项D：不放回时，；求：已知甲中奖，剩2张奖券中有1张有奖， 所以，，故D错误. 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段检测）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，移动了3次，该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，该质点竖直方向移动两次的概率_____. 【答案】 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“竖直方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向下，向上，向右，向左， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）盒中装有6个同种产品，其中4个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率； (2)取两次，第二次取得一等品的概率； (3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）根据题意，求得第1次取得一等品的概率和第2次取到一等品的概率，结合互独立事件的概率公式，即可求解； （2）根据题意，可分为第1次取得一等品，第2次取得一等品和第1次取得二等品，第2次取得一等品，求得其概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解； （3）设第2次取得一等品为事件，得到，设第1次取得二等品为事件，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，第1次取得一等品的概率为，第2次取到一等品的概率为， 根据相互独立事件的概率公式，可得两次都取得一等品的概率为. （2）解：根据题意，可分为两类情况： ①第1次取得一等品，第2次取得一等品，其概率为； ②第1次取得二等品，第2次取得一等品，其概率为， 由互斥事件的概率加法公式，可得第二次取得一等品的概率. （3）解：设第2次取得一等品为事件，由（2）知：， 设第1次取得二等品为事件，可得， 所以所求概率为. 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知袋中有12个同型号零件，其中合格品有10个，次品有2个. (1)若检测员有放回地连续从该袋中取零件2次，每次取1个零件，求恰有1次取到正品的概率； (2)若检测员从该袋中一次性取2个零件，求在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式即可求解； （2）利用条件概率的计算公式即可求解. 【详解】（1）从该袋中取零件1次，取到正品的概率为， 设恰有1次取到正品为事件，则. （2）设2个零件中有次品，2个零件都是次品分别为事件， 则， 所以， 即在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $