专题09 玩转两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布（4大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题9 玩转两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 【题型归纳目录】 题型一：两点分布 题型二：超几何分布 题型三：二项分布 题型四：正态分布 【知识点梳理】 【例1】两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【变式1-1】超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 【变式1-2】二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 【变式1-3】正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 【典型例题】 题型一：两点分布 【例2】（2025·高三·广东湛江·阶段练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示： 工种类别 赔付概率 对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元. (1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：. (2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议. 【变式2-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者. (1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05. ①求检测结果显示患有该疾病的概率； ②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字） (2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），取何值时，总化验次数最少？ 说明：函数先减后增. 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 【变式2-2】（2025·河南周口·二模）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 题型二：超几何分布 【例3】（2025·高二·广东深圳·期中）某科研机构为完成国家级课题，从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 4 6 3 5 (1)从这18名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； (2)课题完成后需选派两人撰写结题报告，设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 【变式3-1】（2025·高二·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【变式3-2】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 题型三：二项分布 【例4】（2025·高二·北京延庆·期中）为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2015-2024年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0 需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1 定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”. (1)从2015-2024年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率； (2)从2017-2022年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，假设该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的.在未来的年份中任取3年，试估计这3年中至少有2年产需率大于100%的概率. 【变式4-1】（2025·高二·北京东城·期中）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表． 组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比 注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群． (1)若从早睡人群中随机抽取一人，求其睡眠指数落在区间的概率； (2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望； (3)已知有两组早睡人群的睡眠指数数据，第一组为，，，第二组为，，，有同学认为两组数据平均数相同，所以方差相等，请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【变式4-2】（2025·高二·浙江温州·期中）《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题： (1)当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望； (2)当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率； (3)假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式. 题型四：正态分布 【例5】（2025·高二·福建三明·期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【变式5-1】（2025·高二·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【变式5-2】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【强化训练】 1．（2025·全国·模拟预测）已知4只白鼠中有2只患病，患病白鼠的血液检验呈阳性，不患病的呈阴性. (1)若随机逐个进行抽检，直至能确定所有患病白鼠为止，求抽检次数的期望； (2)若随机地将白鼠平均分成A，B两组，首先对A组2只白鼠的血液进行一次混检，若呈阴性，则可确定B组2只白鼠患病；若呈阳性，再对B组2只白鼠的血液进行一次混检.若B组混检呈阴性，则可确定A组2只白鼠患病；若B组混检也呈阳性，则只需在A，B两组中各随机检验1只白鼠的血液，便可分辨出所有患病白鼠.求检验总次数的期望，并比较上述两种检测方案哪个更便捷. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）2022年我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p． (1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验（即为一人一检），若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率； (2)设X为个人一组混合检验时所需要的检验总次数． ①当时，求X的分布列及平均检验次数（不必计算，只列式即可）； ②某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数．并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？（注：感染率，即为每个人受感染的概率；） 3．（2025·高二·天津滨海新·期中）一个袋子中装有5个黑球，3个白球，它们除颜色外完全相同． (1)现每次从袋子中不放回地随机取出一个球，在第一次取到黑球的条件下，求第二次取到白球的概率； (2)若从袋子中任取3个球，设为取到黑球的个数，求随机变量的分布列和数学期望． 4．（2025·高二·山西·期中）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球． (1)求摸出的红球个数多于黄球的概率； (2)记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望． 5．（2025·高二·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的分布列； (2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？ 6．（2025·高二·湖南娄底·期中）慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示． (1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）； (2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率； (3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望． 7．（2025·高二·云南昆明·期中）泊松分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在固定时间或空间内，稀有事件发生次数的概率.若某次试验中，随机变量取值的概率，，，为自然对数的底数，则随机变量的分布称为参数为的泊松公布，记为. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知某种粒子在一个周期内经过计数器的粒子数服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，各周期相互独立，在20个周期内，至少有2个粒子经过计数器的周期数记为，求的数学期望；（保留整数） (3)若，且，求.（表示不超过的最大整数） 参考数据：；若，则有，，. 8．（2025·高二·江西景德镇·期中）健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间（单位：分钟），通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：    (1)根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； 附参考数据：若，则，， 9．（2025·高二·江苏常州·期中）某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 10．（2025·高二·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 11．（2025·高二·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 12．（2025·高二·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 13．（2025·高二·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 玩转两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 【题型归纳目录】 题型一：两点分布 题型二：超几何分布 题型三：二项分布 题型四：正态分布 【知识点梳理】 【例1】两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【变式1-1】超几何分布 （1）超几何分布模型是一种不放回抽样 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … （2）超几何分布的期望 （p为N件产品的次品率）． （3）超几何分布的特征： ①样本总体分为两大类，要么类，要么类； ②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思； ③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件； ④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间． 【变式1-2】二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 若，则，． 【变式1-3】正态分布的期望与方差 若，则，． 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 【典型例题】 题型一：两点分布 【例2】（2025·高三·广东湛江·阶段练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示： 工种类别 赔付概率 对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元. (1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：. (2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议. 【解析】（1）设工种，，对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，，（单位：元），则，，的分布列分别为 ， ， . 所以 ， 整理得. （2）方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为 （元）. 方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为 （元）. 因为，所以建议单位选择方案二. 【变式2-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者. (1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05. ①求检测结果显示患有该疾病的概率； ②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字） (2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），取何值时，总化验次数最少？ 说明：函数先减后增. 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 【解析】（1）设A表示患病，B表示检测结果显示患病，则 ， （2）设总居民人数为M，每小组检验次数为X，X的可能取值为1， ，，则， 总化验次数为， 根据附表计算，时，化验次数最少. 【变式2-2】（2025·河南周口·二模）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【解析】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件， 小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件， ， 故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为， （2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王）， 则， 由数学期望的性质可知， 对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布， ； ； 则. 题型二：超几何分布 【例3】（2025·高二·广东深圳·期中）某科研机构为完成国家级课题，从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下： 实验室 人工智能实验室 生物医学实验室 量子计算实验室 环境工程实验室 人数 4 6 3 5 (1)从这18名研究员中随机抽取两人合作实验，求两人来自同一实验室的概率； (2)课题完成后需选派两人撰写结题报告，设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望. 【解析】（1）＂从这 18 名研究员中随机抽取两人合作实验，两人来自同一实验室＂记作事件 ， 则 （2） 的所有可能取值为 ． ，，. 的分布列为： 0 1 2 【变式3-1】（2025·高二·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【解析】（1）由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. （3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 【变式3-2】（2025·高二·江苏泰州·期中）已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 【解析】（1）根据题意可得， 则,, ,, 则的分布列为： 所以 （2）根据每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或投完5次，可得，则 则的分布列， . 题型三：二项分布 【例4】（2025·高二·北京延庆·期中）为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2015-2024年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0 需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1 定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”. (1)从2015-2024年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率； (2)从2017-2022年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，假设该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的.在未来的年份中任取3年，试估计这3年中至少有2年产需率大于100%的概率. 【解析】（1）记事件A为“这款设备的产需率大于100%”. 由表中数据，这款设备的产需率大于100%的年份为2015年，2017年，2020年，2023年，共4年. 所以. （2）由表中数据，从2017-2022年这6年中，这款设备的产需率大于100%的年份为2017年，2020年，共2年. 的所有可能的取值为0，1，2. ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 故的数学期望. （3）用频率估计概率，该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的，则在未来每年产需率大于100%的概率为. 在未来的年份中任取3年产需率大于100%有年，则 . 【变式4-1】（2025·高二·北京东城·期中）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表． 组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比 注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群． (1)若从早睡人群中随机抽取一人，求其睡眠指数落在区间的概率； (2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望； (3)已知有两组早睡人群的睡眠指数数据，第一组为，，，第二组为，，，有同学认为两组数据平均数相同，所以方差相等，请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【解析】（1）睡眠指数落在区间的概率为. （2）由题意可知，，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 的分布列为： 由二项分布的期望公式得. （3）这种说法不正确，理由如下：平均数反映的事一组数据的平均水平，而方差反映的事一组数据的离散程度或波动大小. 第一组数据的平均数，其方差为； 第二组数据的平均数，其方差为. 虽然两组数据平均数相同，但第二组数据中和距离平均数比第一组数据中的和距离平均数更远， 数据更为分散，所以方差更大，即两组数据方差并不相等. 【变式4-2】（2025·高二·浙江温州·期中）《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题： (1)当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望； (2)当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率； (3)假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式. 【解析】（1）当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为， 设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即， 所以救援人数的期望值. （2）当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救. 所以本题即求.而， 则. 故 （*） 故. 附注：（*）式的证明如下： 因， 则， 即， 故. （3）村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救. 故正常情况下，村民前往营救的概率为， 当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为. 记事件为第i次村民前往营救， 则, 故牧童第次呼救，有， 即， 整理可得， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 故.其中， 故 经检验也符合，故 题型四：正态分布 【例5】（2025·高二·福建三明·期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【解析】（1）（i）依题意得，，所以. 设，因为， 则； （ii）由（i）得. 因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且， 所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由. （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则. 设，由， 得 ， 根据题意，得随机变量，故. 【变式5-1】（2025·高二·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【解析】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 【变式5-2】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） (2)结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； (3)用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【解析】（1）由题意得； （2）由（1）得， 则， 所以， 故估计得分超过95.8分的居民约有18人. （3）用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为. 所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布. 故得分超过80分的居民人数可能的取值为，且， 所以， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 . 【强化训练】 1．（2025·全国·模拟预测）已知4只白鼠中有2只患病，患病白鼠的血液检验呈阳性，不患病的呈阴性. (1)若随机逐个进行抽检，直至能确定所有患病白鼠为止，求抽检次数的期望； (2)若随机地将白鼠平均分成A，B两组，首先对A组2只白鼠的血液进行一次混检，若呈阴性，则可确定B组2只白鼠患病；若呈阳性，再对B组2只白鼠的血液进行一次混检.若B组混检呈阴性，则可确定A组2只白鼠患病；若B组混检也呈阳性，则只需在A，B两组中各随机检验1只白鼠的血液，便可分辨出所有患病白鼠.求检验总次数的期望，并比较上述两种检测方案哪个更便捷. 【解析】（1）由题意知，可取2，3. 表示前两次抽出的全是患病白鼠或全是未患病白鼠，表示前两次恰好抽出1只患病白鼠和1只未患病白鼠. ， ， 所以. （2）由题意知，可取. 表示B组中2只白鼠均患病，. 表示组中2只白鼠均患病，. 表示两组中的白鼠均为1只患病，另1只未患病，， 所以. 因为，所以，所以第一种方案更便捷. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）2022年我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p． (1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验（即为一人一检），若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率； (2)设X为个人一组混合检验时所需要的检验总次数． ①当时，求X的分布列及平均检验次数（不必计算，只列式即可）； ②某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数．并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？（注：感染率，即为每个人受感染的概率；） 【解析】（1）设3人中恰好有1人检测结果为阳性为事件，. （2）①的值可取1，11， ，， 1 11 . ②， 所以进行“10合1混采检测”，10万人所需检测的平均次数大概为， 这样混检比一人一检大约少使用份检测试剂. 3．（2025·高二·天津滨海新·期中）一个袋子中装有5个黑球，3个白球，它们除颜色外完全相同． (1)现每次从袋子中不放回地随机取出一个球，在第一次取到黑球的条件下，求第二次取到白球的概率； (2)若从袋子中任取3个球，设为取到黑球的个数，求随机变量的分布列和数学期望． 【解析】（1）设“第一次取到黑球”为事件，“第二次取到百球”为事件， 则，， 所以； （2）设为取到黑球的个数，则的可能取值为， ，， ，， 随机变量的分布列为 . 4．（2025·高二·山西·期中）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球． (1)求摸出的红球个数多于黄球的概率； (2)记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望． 【解析】（1）由题意可知，从7个球中取3个球，基本事件总数， 设事件表示“取出的红球个数多于黄球”，表示“恰好取出3个红球”， 表示“恰好取出2个红球1个黄球”，则，彼此互斥， 且，，， 所以摸出的红球个数多于黄球的概率； （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为 所以. 5．（2025·高二·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的分布列； (2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？ 【解析】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7． ， ， ， ， 则的分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 P （2）由（1）得，， 的分布列为： Y 0 1 5 10 P 则， 小州同学能盈利． 6．（2025·高二·湖南娄底·期中）慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示． (1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）； (2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率； (3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望． 【解析】（1）根据题意可得，解得； 因为前3组的频率依次为0.1，0.2，0.3，， 所以中位数在50和60之间，设中位数为，则，解得， 所以该市群众每天慢跑时长的中位数约为56.7. （2）慢跑时长在分钟内有人， 因为男生数与女生数之比为，所以其中男生6人，女生4人， 记“随机抽取2人进行采访，2人均为男生”为事件， 所以. （3）因为用样本估计总体，所以任取1人时长在的概率为， 随机变量服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列如下表： X 0 1 2 3 P . 7．（2025·高二·云南昆明·期中）泊松分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在固定时间或空间内，稀有事件发生次数的概率.若某次试验中，随机变量取值的概率，，，为自然对数的底数，则随机变量的分布称为参数为的泊松公布，记为. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知某种粒子在一个周期内经过计数器的粒子数服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，各周期相互独立，在20个周期内，至少有2个粒子经过计数器的周期数记为，求的数学期望；（保留整数） (3)若，且，求.（表示不超过的最大整数） 参考数据：；若，则有，，. 【解析】（1）当时，泊松分布近似于正态分布， 即，要计算， 根据正态分布的性质，因，故. （2）已知，且，根据泊松分布的概率公式， 当时，，则， 则， 因20个周期内，至少有2个粒子经过计数器的周期数记为，则， 根据二项分布的期望公式，其中，可得 （3）由可得， 根据泊松分布的概率公式：，可得， 设，由可知在上为减函数， 设，则设 则，即函数在上单调递减， 则，即，故函数在上单调递增， 则，即在上恒成立，故时， ①； 利用泰勒展式（下面提供证明）： 当时，，可得， 则，于是 ②, 故由①②可得，则，故. 下面证明泰勒展式：时，. 设，，则，设， 则，故函数在上递增，又， 故可得时，，即，故函数在上为增函数，又， 故当时，. 8．（2025·高二·江西景德镇·期中）健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间（单位：分钟），通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：    (1)根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； 附参考数据：若，则，， 【解析】（1）由频率分布直方图可知，这为年轻人每天健身时间的平均数为 （分钟）. （2）由（1）可得，， 所以 . 9．（2025·高二·江苏常州·期中）某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 【解析】（1）由题意得：，，，， 所以，， 所以. 所以事件发生的条件下事件发生的似然比为. （2）①已知，且，落在和落在内的概率相等， 根据正态分布的对称性，. ②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：. 所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即： 的可能取值为： 且，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. 10．（2025·高二·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【解析】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 11．（2025·高二·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【解析】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该公司预期的平均成绩大约是（分）. （2）①记选出甲、乙参加面试为事件，选出甲、丙参加面试为事件，选出乙、丙参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件， 则，，， ②的可能取值为， 故，， ，， ，. 故的分布列为： 0 6 10 12 16 20 则. 12．（2025·高二·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【解析】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 13．（2025·高二·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【解析】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$