8.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第2课时　条件概率的性质及应用

课标要求

　　三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”.

【问题】　（1）事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？

（2）P（AB）、P（B｜A）与P（B）、P（A）有什么关系？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　概率的乘法公式

由条件概率的公式可知P（AB）＝　P（B｜A）P（A）　.通常将此公式称为概率的乘法公式.

　　提醒：（1）在P（B｜A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB）中，样本空间为所有事件的总和；（2）当P（B｜A）＝P（B）时，事件A与事件B是相互独立事件.

知识点二　条件概率的性质

条件概率有如下性质：

（1）P（Ω｜A）＝　1　；

（2）P（⌀｜A）＝　0　；

（3）若B1，B2互斥，则P（（B1＋B2）｜A）＝　P（B1｜A）＋P（B2｜A）　；

（4）设和B互为对立事件，则P（｜A）＝　1－P（B｜A）　.

　　提醒：（1）B1与B2互斥，即B1，B2不同时发生，则P（B1B2）＝0，故P（B2｜B1）＝0；（2）互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）P（B｜A）＜P（AB）.（　×　）

（2）对任意两个事件A与B，必有P（AB）＝P（A）·P（B｜A）.（×）

（3）P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）.（　×　）

2.已知P（A）＝0.3，P（B｜A）＝0.6，且事件A与B相互独立，则P（AB）＝0.18.

解析：由概率的乘法公式可得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝0.3×0.6＝0.18.

3.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，求这粒水稻种子能成长为幼苗的概率.

解：记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，P（B｜A）＝.∴P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝0.9×0.8＝0.72.

题型一｜概率的乘法公式

【例1】　（链接教科书第103页例2）（1）已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（C）

A. B.

C. D.

解析：由题意，知P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝×＝.

（2）已知某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，则该厂产品的一等品率是72%.

解析：记A：合格品， 记B：一等品，由于B⊆A，则P（B）＝P（AB），由题意，P（A）＝1－4%＝96%，P（B｜A）＝75%，故P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝96%×75%＝0.72，即一等品率为72%.

通性通法

应用乘法公式求概率的一般步骤

　　概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直接计算P（AB）时，则可按下列步骤求“积事件”的概率：

（1）首先判断事件A与事件B，是否有P（A）＞0或P（B）＞0；

（2）根据已知条件表示出相应事件的概率P（A）、P（B｜A）或P（B）、P（A｜B）；

（3）代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）或P（AB）＝P（B）P（A｜B）求解.

【跟踪训练】

1.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（　　）

A.　　　  B.

C.　　　  D.

解析：B　设“每年七月份刮台风”为事件A，“每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P（A）＝，P（B｜A）＝，由概率的乘法公式得P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝×＝.故选B.

2.盒中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为.

解析：没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”，记事件R1表示第一次取到红球，R2表示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球，则P（R1）＝，P（G1R2）＝P（G1）P（R2｜G1）＝×＝，所以没有取到黄球的概率为P＝＋＝.

题型二｜条件概率性质的应用

【例2】　已知P（）＝，P（｜A）＝，P（B｜）＝.则P（B）＝（　　）

A.　　　  B.

C.　　　  D.

解析：C　由题知，P（A）＝1－P（）＝，P（｜A）＝＝⇒P（A）＝P（A）×＝，P（BA）＝P（A）－P（A）＝－＝，又P（B｜）＝＝⇒P（B）＝P（）×＝，则P（B）＝P（BA）＋P（B）＝＋＝.

通性通法

应用条件概率的性质解题的方法

　　在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若B与C互斥，那么P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A），此公式可推广到多个事件互斥的情况.